答案 A
3.（2016·浙江卷）设函数f（x）＝sin2x＋bsinx＋c，则f（x）的最小正周期（ ）
A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关
解析 因为f（x）＝sin2x＋bsinx＋c＝－＋bsinx＋c＋，其中当b＝0时，f（x）＝－＋c＋，f（x）的周期为π；b≠0时，f（x）的周期为2π.即f（x）的周期与b有关但与c无关，故选B.
答案 B
4.（2016·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），x＝－为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ）
A.11B.9
C.7D.5
解析 因为x＝－为f（x）的零点，x＝为f（x）的图象的对称轴，所以－＝＋，得T＝（k∈Z），则ω＝2k＋1（k∈Z），又因为f（x）在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f（x）在上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f（x）在上单调，满足题意.由此得ω的最大值为9，故选B.
答案 B
考点整合
1.常用三种三角函数的易误性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
单调性
在（k∈Z）上单调递增；
在（k∈Z）上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减
在（k∈Z）上单调递增
对称性
对称中心：
（kπ，0）（k∈Z）；
对称轴：
x＝＋kπ（k∈Z）
对称中心：
（k∈Z）；
对称轴：
x＝kπ（k∈Z）
对称中心：
（k∈Z）
2.三角函数的常用结论
（1）y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数；
当φ＝kπ＋（k∈Z）时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z）求得.
（2）y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ＋（k∈Z）时为奇函数；
当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ（k∈Z）求得.
（3）y＝Atan（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
热点一 三角函数的图象
[微题型1] 三角函数的图象变换
【例1－1】某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解
（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f（x）＝5sin.
（2）由
（1）知f（x）＝5sin，
得g（x）＝5sin.
因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
[微题型2] 由三角函数图象求其解析式
【例1－2】函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f的值为______.
解析 根据图象可知，A＝2，＝－＝，
所以周期T＝π，由ω＝＝2.
又函数过点，
所以有sin＝1，而0＜φ＜π.
所以φ＝，则f（x）＝2sin，
因此f＝2sin＝1.
答案 1
探究提高 已知图象求函数y＝Asin（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练1】（2016·绍兴模拟）
已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值.
解
（1）设函数f（x）的最小正周期为T，由题图可知
A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，
故f（x）＝sin（2x＋φ）.
由0＝sin可得＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ－，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝－，
故函数f（x）的解析式为f（x）＝sin.
（2）根据条件得g（x）＝sin，
当x∈时，4x＋∈，
所以当x＝时，g（x）取得最小值，且g（x）min＝.
热点二 三角函数的性质
[微题型1] 三角函数性质的应用
【例2－1】已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
（1）求f的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间.
解
（1）f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）
＝2
＝2sin.
因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝2sin＝0，
又0＜|φ|＜，
可得φ＝－，所以f（x）＝2sinωx，
由题意得＝2·，所以ω＝2.
故f（x）＝2sin2x.
因此f＝2sin＝.
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，
得到f的图象，
所以g（x）＝f＝2sin
＝2sin.
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
即kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）时，g（x）单调递增，
因此g（x）的单调递增区间为（k∈Z）.
探究提高 对于函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）单调区间的求解，其基本方法是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间（或减区间），求出的区间即为y＝Asin（ωx＋φ）的增区间（或减区间），但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin（－ωx－φ），则y＝Asin（－ωx－φ）的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.
[微题型2] 由三角函数的性质求参数
【例2－2】
（1）（2015·湖南卷）已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
（2）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）.若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________.
解析
（1）由得sinωx＝cosωx，
∴tanωx＝1，ωx＝kπ＋（k∈Z）.
∵ω>0，∴x＝＋（k∈Z）.
设距离最短的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2），不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且（x1，y1）与（x2，y2）间的距离为2，
∴（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝
（2）2，
∴＋
（2）2＝12，∴ω＝.
（2）由f（x）在上具有单调性，得≥－，
即T≥；因为f＝f，所以f（x）的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f（x）的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.
答案
（1）
（2）π
探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.
[微题型3] 三角函数图象与性质的综合应用
【例2－3】设函数f（x）＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y＝f（x）的图象经过点，求函数f（x）在x∈上的值域.
解
（1）因为f（x）＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ＝－cos2ωx＋
sin2ωx＋λ＝2sin＋λ，由直线x＝π是y＝f（x）图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋（k∈Z），
即ω＝＋（k∈Z）.
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f（x）的最小正周期是.
（2）由y＝f（x）的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f（x）＝2sin－，
∵x∈，
∴x－∈，
∴函数f（x）的值域为[－1－，2－].
探究提高 求三角函数最值的两条思路：
（1）将问题化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；
（2）将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.
【训练2】（2016·浙江五校联考）已知函数f（x）＝cos＋sin2x－cos2x.
（1）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）设函数g（x）＝[f（x）]2＋f（x），求g（x）的值域.
解
（1）f（x）＝cos2x＋sin2x－cos2x
＝sin.
则f（x）的最小正周期为π，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），
得x＝＋（k∈Z），
所以函数图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）g（x）＝[f（x）]2＋f（x）＝sin2＋sin＝－.
当sin＝－时，g（x）取得最小值－，
当sin＝1时，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域为.
1.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的图象求解析式
（1）A＝，B＝.
（2）由函数的周期T求ω，ω＝.
（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性
类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解.
（1）令ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），可求得对称轴方程；
（2）令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），可求得对称中心的横坐标；
（3）将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号.
3.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B的性质及应用的求解思路
第一步：
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B（一角一函数）的形式；
第二步：
把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin（ωx＋φ）＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
一、选择题
1.（2016·山东卷）函数f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）的最小正周期是（ ）
A.B.π
C.D.2π
解析 ∵f（x）＝2sinxcosx＋（cos2x－sin2x）＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝π，故选B.
答案 B
2.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为（ ）
A.y＝sin2xB.y＝cos2x
C.y＝sinD.y＝sin
解析 由图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，∴ω＝2，由sin＝1，|φ|＜得＋φ＝⇒φ＝⇒f（x）＝sin，则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为y＝sin＝sin.
答案 D
3.（2016·温州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω取最小值时φ的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析 由－＝≥×，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
此时sin＝0，即sin＝0，又0＜φ＜π，
所以φ＝.
答案 D
4.（2016·北京卷）将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（ ）
A.t＝，s的最小值为B.t＝，s的最小值为
C.t＝，s的最小值为D.t＝，s的最小值为
解析 点P在函数y＝sin图象上，
则t＝sin＝sin＝.
又由题意得y＝sin＝sin2x，
故s＝＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为.
答案 A
5.（2016·唐山期末）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），f＋f＝0，且f（x）在区间上递减，则ω＝（ ）
A.3B.2
C.6D.5
解析 ∵f（x）＝2sin，f＋f＝0.
∴当x＝＝时，f（x）＝0.
∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C；
又f（x）在上递减，
把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.
答案 B
二、填空题
6.（2016·浙江卷）已知2cos2x＋sin2x＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0），则A＝________，b＝________.
解析 ∵2cos2x＋sin2x＝cos2x＋1＋sin2x
＝＋1＝sin＋1
＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0），∴A＝，b＝1.
答案 1
7.（2016·江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0，3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
8.（2015·天津卷）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.
解析 f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin，
因为f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f（ω）必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋
2kπ，k∈Z.又ω－（－ω）≤，即ω2≤，则ω2＝，所以ω＝.
答案
三、解答题
9.已知函数f（x）＝4sin3xcosx－2sinxcosx－cos4x.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.
解 f（x）＝2sinxcosx－cos4x
＝－sin2xcos2x－cos4x
＝－sin4x－cos4x
＝－sin.
（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
（2）因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.
此时－≤sin≤1，
所以－≤－sin≤，即－≤f（x）≤.
所以f（x）在区间上的最大值和最小值分别为，－.
10.设函数f（x）＝sin＋sin2x－cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域.
解
（1）f（x）＝sin2x＋cos2x－cos2x
＝sin2x＋cos2x＝sin.
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋（k∈Z），
得对称轴方程为x＝＋（k∈Z），
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，
得到函数g（x）＝sin＝－cos2x的图象，即g（x）＝－cos2x.
当x∈时，2x∈，
可得cos2x∈，
所以－cos2x∈，
即函数g（x）在区间上的值域是.
11.已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·b，且y＝f（x）的图象过点和点.
（1）求m，n的值；
（2）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间.
解
（1）由题意知f（x）＝a·b＝msin2x＋ncos2x.
因为y＝f（x）的图象经过点和，
所以
即
解得m＝，n＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝sin2x＋cos2x＝2sin.
由题意知g（x）＝f（x＋φ）＝2sin.
设y＝g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2），
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）.
将其代入y＝g（x）得sin＝1，
因为0＜φ＜π，所以φ＝.
因此g（x）＝2sin＝2cos2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g（x）的单调递增区间为，k∈Z.
第2讲 三角恒等变换与解三角形
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
真题感悟
1.（2016·全国Ⅲ卷）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝（ ）
A.B.
C.1D.
解析 tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.
答案 A
2.（2016·全国Ⅱ卷）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
解析 在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝
sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.
答案
3.（2015·全国Ⅰ卷）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.
解析 如图所示
，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
∴设AD＝x，则AE＝x，DE＝x，
令CD＝m，∵BC＝2，
∴·sin15°＝1⇒x＋m＝＋，
∴0∴AB的取值范围是（－，＋）.
答案 （－，＋）
4.（2016·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2cosC（acosB＋bcosA）＝c.
（1）求C；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解
（1）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，
2cosCsin（A＋B）＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.
（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.所以△ABC的周长为5＋.
考点整合
1.三角函数公式
（1）同角关系：
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
（2）诱导公式：
对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：
奇变偶不变，符号看象限.
（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ；
tan（α±β）＝.
（4）二倍角公式：
sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式
（1）＝＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）.
变形：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
（2）a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC；
推论：
cosA＝，cosB＝，cosC＝；
变形：
b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.
（3）S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
热点一 三角恒等变换及应用
【例1】
（1）（2015·重庆卷）若tanα＝2tan，则＝（ ）
A.1B.2
C.3D.4
（2）已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.
（3）（2016·合肥质检）已知cos·cos＝－，α∈.则sin2α＝________.
解析
（1）＝＝
＝＝＝＝3.
（2）∵α为锐角，cos＝＞0，
∴α＋为锐角，∴sin＝，
则sin＝2sincos
＝2××
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