答案 A
3.(2016·浙江卷)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关
解析 因为f(x)=sin2x+bsinx+c=-+bsinx+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,f(x)的周期为π;b≠0时,f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b有关但与c无关,故选B.
答案 B
4.(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9
C.7D.5
解析 因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图象的对称轴,所以-=+,得T=(k∈Z),则ω=2k+1(k∈Z),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,又当k=5时,ω=11,φ=-,f(x)在上不单调;当k=4时,ω=9,φ=,f(x)在上单调,满足题意.由此得ω的最大值为9,故选B.
答案 B
考点整合
1.常用三种三角函数的易误性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增;
在(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);
对称轴:
x=+kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z);
对称轴:
x=kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
热点一 三角函数的图象
[微题型1] 三角函数的图象变换
【例1-1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解
(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
π
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由
(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=,
解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
探究提高 在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
[微题型2] 由三角函数图象求其解析式
【例1-2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f的值为______.
解析 根据图象可知,A=2,=-=,
所以周期T=π,由ω==2.
又函数过点,
所以有sin=1,而0<φ<π.
所以φ=,则f(x)=2sin,
因此f=2sin=1.
答案 1
探究提高 已知图象求函数y=Asin(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练1】(2016·绍兴模拟)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得的函数图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
解
(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知
A=1,=-=,
即T=π,所以π=,解得ω=2,
故f(x)=sin(2x+φ).
由0=sin可得+φ=kπ,k∈Z,
即φ=kπ-,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-,
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.
(2)根据条件得g(x)=sin,
当x∈时,4x+∈,
所以当x=时,g(x)取得最小值,且g(x)min=.
热点二 三角函数的性质
[微题型1] 三角函数性质的应用
【例2-1】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)为奇函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递增区间.
解
(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=2
=2sin.
因为f(x)为奇函数,所以f(0)=2sin=0,
又0<|φ|<,
可得φ=-,所以f(x)=2sinωx,
由题意得=2·,所以ω=2.
故f(x)=2sin2x.
因此f=2sin=.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,
得到f的图象,
所以g(x)=f=2sin
=2sin.
当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递增,
因此g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
探究提高 对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的求解,其基本方法是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间),但是当A>0,ω<0时,需先利用诱导公式变形为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.
[微题型2] 由三角函数的性质求参数
【例2-2】
(1)(2015·湖南卷)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
(2)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
解析
(1)由得sinωx=cosωx,
∴tanωx=1,ωx=kπ+(k∈Z).
∵ω>0,∴x=+(k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1=,x2=,则|x2-x1|==.
又结合图形知|y2-y1|==2,
且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2,
∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=
(2)2,
∴+
(2)2=12,∴ω=.
(2)由f(x)在上具有单调性,得≥-,
即T≥;因为f=f,所以f(x)的一条对称轴为x==;又因为f=-f,所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.所以T=-=,即T=π.
答案
(1)
(2)π
探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证.
[微题型3] 三角函数图象与性质的综合应用
【例2-3】设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在x∈上的值域.
解
(1)因为f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ=-cos2ωx+
sin2ωx+λ=2sin+λ,由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得
sin=±1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),
即ω=+(k∈Z).
又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,
即λ=-2sin=-2sin=-,
即λ=-.
故f(x)=2sin-,
∵x∈,
∴x-∈,
∴函数f(x)的值域为[-1-,2-].
探究提高 求三角函数最值的两条思路:
(1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,结合三角函数的性质或图象求解;
(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解.
【训练2】(2016·浙江五校联考)已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(x)的值域.
解
(1)f(x)=cos2x+sin2x-cos2x
=sin.
则f(x)的最小正周期为π,
由2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z),
所以函数图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2+sin=-.
当sin=-时,g(x)取得最小值-,
当sin=1时,g(x)取得最大值2,
所以g(x)的值域为.
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=,B=.
(2)由函数的周期T求ω,ω=.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性
类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.
(1)令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程;
(2)令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;
(3)将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用的求解思路
第一步:
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角一函数)的形式;
第二步:
把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
一、选择题
1.(2016·山东卷)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( )
A.B.π
C.D.2π
解析 ∵f(x)=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)=sin2x+cos2x=2sin,∴T=π,故选B.
答案 B
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象的解析式为( )
A.y=sin2xB.y=cos2x
C.y=sinD.y=sin
解析 由图象知A=1,T=-=,T=π,∴ω=2,由sin=1,|φ|<得+φ=⇒φ=⇒f(x)=sin,则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为y=sin=sin.
答案 D
3.(2016·温州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω取最小值时φ的值为( )
A.B.
C.D.
解析 由-=≥×,解得ω≥2,故ω的最小值为2.
此时sin=0,即sin=0,又0<φ<π,
所以φ=.
答案 D
4.(2016·北京卷)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
解析 点P在函数y=sin图象上,
则t=sin=sin=.
又由题意得y=sin=sin2x,
故s=+kπ,k∈Z,所以s的最小值为.
答案 A
5.(2016·唐山期末)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),f+f=0,且f(x)在区间上递减,则ω=( )
A.3B.2
C.6D.5
解析 ∵f(x)=2sin,f+f=0.
∴当x==时,f(x)=0.
∴ω+=kπ,k∈Z,∴ω=3k-1,k∈Z,排除A、C;
又f(x)在上递减,
把ω=2,ω=5代入验证,可知ω=2.
答案 B
二、填空题
6.(2016·浙江卷)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________.
解析 ∵2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x
=+1=sin+1
=Asin(ωx+φ)+b(A>0),∴A=,b=1.
答案 1
7.(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
8.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
解析 f(x)=sinωx+cosωx=sin,
因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+
2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,即ω2≤,则ω2=,所以ω=.
答案
三、解答题
9.已知函数f(x)=4sin3xcosx-2sinxcosx-cos4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 f(x)=2sinxcosx-cos4x
=-sin2xcos2x-cos4x
=-sin4x-cos4x
=-sin.
(1)函数f(x)的最小正周期T==.
令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以≤4x+≤.
此时-≤sin≤1,
所以-≤-sin≤,即-≤f(x)≤.
所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-.
10.设函数f(x)=sin+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间上的值域.
解
(1)f(x)=sin2x+cos2x-cos2x
=sin2x+cos2x=sin.
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令2x+=kπ+(k∈Z),
得对称轴方程为x=+(k∈Z),
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,
得到函数g(x)=sin=-cos2x的图象,即g(x)=-cos2x.
当x∈时,2x∈,
可得cos2x∈,
所以-cos2x∈,
即函数g(x)在区间上的值域是.
11.已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
解
(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.
因为y=f(x)的图象经过点和,
所以
即
解得m=,n=1.
(2)由
(1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin.
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知x+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin=1,
因为0<φ<π,所以φ=.
因此g(x)=2sin=2cos2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
第2讲 三角恒等变换与解三角形
高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换,“角”的变换是三角恒等变换的核心;2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
真题感悟
1.(2016·全国Ⅲ卷)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B.
C.1D.
解析 tanα=,则cos2α+2sin2α===.
答案 A
2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
解析 在△ABC中由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=
sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.
答案
3.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是________.
解析 如图所示
,延长BA,CD交于点E,则可知在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,
∴设AD=x,则AE=x,DE=x,
令CD=m,∵BC=2,
∴·sin15°=1⇒x+m=+,
∴0∴AB的取值范围是(-,+).
答案 (-,+)
4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
解
(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC.可得cosC=,所以C=.
(2)由已知,absinC=,又C=,所以ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+.
考点整合
1.三角函数公式
(1)同角关系:
sin2α+cos2α=1,=tanα.
(2)诱导公式:
对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;
tan(α±β)=.
(4)二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)====2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
(2)a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;
推论:
cosA=,cosB=,cosC=;
变形:
b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.
(3)S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA.
热点一 三角恒等变换及应用
【例1】
(1)(2015·重庆卷)若tanα=2tan,则=( )
A.1B.2
C.3D.4
(2)已知α为锐角,若cos=,则cos=________.
(3)(2016·合肥质检)已知cos·cos=-,α∈.则sin2α=________.
解析
(1)==
====3.
(2)∵α为锐角,cos=>0,
∴α+为锐角,∴sin=,
则sin=2sincos
=2××