一次函数综合练习全等三角形勾股定理答案教材.docx

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一次函数综合练习全等三角形勾股定理答案教材

1.如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限

（2）如图2，直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证：

BE=DE

__5

（3）如图3,在

（1）的条件下，直线AC交x轴于M,P（:

k）是线段BC上一点，在

线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分ABCM的面积？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：

一次函数综合题。

分析：

（1）如图1,作CQ丄x轴，垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明△ABO^ABCQ,

根据全等三角形的性质求OQ,CQ的长，确定C点坐标；

（2）同

（1）的方法证明ABCH^ABDF,再根据线段的相等关系证明ABOE^ADGE,得出结论；

1

（3）依题意确定P点坐标，可知ABPN中BN变上的高，再由Sa，bN=-Sabcm,求BN,进而得出ON.

解答：

解：

（1）如图1,作CQ丄x轴，垂足为Q,

•••/OBA+ZOAB=90，/OBA+ZQBC=90,

•••/OAB=ZQBC,

又•••AB=BC,ZAOB=ZQ=90,

ABO^ABCQ

•BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,

•C（-3,1）,

1

由A（0,2）,C（-3,1）可知，直线AC:

y=:

x+2;

（2）如图2,作CH丄x轴于H,DF丄x轴于F,DG丄y轴于G,

•/AC=AD,AB丄CB,

•BC=BD,

•ABCH^ABDF,

•BF=BH=2,

•OF=OB=1,

•DG=OB,

•ABOE^ADGE,

•BE=DE

11__5

（3）如图3,直线BC:

y=-X-:

P（:

:

k）是线段BC上一点,

53

二P（-:

-）,

丄

由y=；x+2知M（-6,0）,

5

BM=5，贝US^BCMF二

假设存在点N使直线PN平分ABCM的面积，

丄315

则BN?

=:

X:

]3

•••BN=,ON=,

•/BNvBM,

•••点N在线段BM上，

*

■7

J

K

A

A

\L

p

>I

\/o

\f>片

0

B

0

iH

rb

0

X

E

xV

G

•N（-,0）.

图1图2图3

点评：

本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角

形，利用全等三角形的性质求解.

2.如图直线?

:

y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,点B的坐标是（-8,0）,点A的坐标为（-6,0）

（1）求k的值.

（2）若P（x,y）是直线?

在第二象限内一个动点，试写出AOPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）当点P运动到什么位置时，AOPA的面积为9,并说明理由.

AO

X

考点：

一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。

专题：

动点型。

分析：

（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；

（2）用0A的长，y分别表示AOPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式;

（3）将S=9代入

（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置.

解答：

解：

（1）将B（-8,0）代入y=kx+6中，得-8k+6=0,解得k=:

;

3

（2）由

（1）得y=x+6，又0A=6,

19

S=:

X6Xy=x+18,（-8vxv0）;

9

（3）当S=9时，：

x+18=9，解得x=-4,

3

此时y=：

x+6=3,

.P（-4,3）.

点评：

本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法•关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示.

3.如图①，过点（1,5）和（4,2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点.

（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）；

（2）设点C（4,0）,点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标（6,2）;

（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使ACMN的周长最短，在图②中作

图①图②

考点：

一次函数综合题。

分析：

（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=-x+6;再分别把x=2、3、4、5代

入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；

（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则此时ACMN的周长最短.由DE两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标.

解答：

解：

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,

把（1,5）,（4,2）代入得,

kx+b=5,4k+b=2,

解得k=-1,b=6,

•••直线AB的解析式为y=-x+6;

当x=2,y=4;

当x=3,y=3;

当x=4,y=2;

当x=5,y=1.

•图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：

（1，1），（1，2），（1,3）,（1，4）,

（2，1），（2，2），（2,3），

（3，1）,（3，2），

（4，1）•

一共10个；

（2）•••直线y=-x+6与x轴、y轴交于A、B两点，

•A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），

.••OA=OB=6,/OAB=45•

••点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），

•AD=AC=2,AB丄CD,

•/DAB=ZCAB=45,

•/DAC=90,

••点D的坐标为（6,2）;

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则NC=NE点E（-4,0）•

又••点C关于直线AB的对称点为D,.CM=DM,

•△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE,此时周长最短.

设直线DE的解析式为y=mx+n.

把D（6,2）,E（-4,0）代入，得

6m+n=2,-4m+n=0,

14

解得m=■,n=■,

14

•直线DE的解析式为y=x+■.

4

令x=0,得y=',

4

•点N的坐标为（0,'）.

故答案为10;（6,2）.

图①图②

点评：

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方

法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度.

4.若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B,与y轴分别交于A、C

（1）填空：

写出A、C两点的坐标，A（0,8）,C（0,3）;

（2）若/ABO=2/CBO,求直线AB和CB的解析式；

（3）在

（2）的条件下若另一条直线过点B,且交y轴于E,若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）.

考点：

一次函数综合题。

分析：

（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；

88

（2）由直线y=mx+8得B（-丨0）,即OB",而AO=8,利用勾股定理求AB,根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；

（3）根据

（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标.

解答：

解：

（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0,8）,C（0,3）,

故答案为：

（0,8）,（0,3）;

88

（2）令直线y=mx+8中y=0,得B（-,0）,即卩OB=,

又AO=8,•••AB=|一」=8丁：

\•••/ABO=2/CBO,

ABAC/1+A8

•••：

」=I即卩24：

=5X,

4

解得m=:

381

又由y=nx+3经过点B,得-i=-.，解得n=:

41

•直线AB:

y=；x+8,直线CB:

y=：

x+3;

12~2

（3）由

（2）可知0B=6,AB='L-’m=10,

当AABE为等腰三角形时，

14_77

直线BE的解析式为：

y=3x+18或y=-；x—2或y=-；x—8或y=：

、x+\点评：

本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性

利用比例，勾股定理求一次函数解析式.

5.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P（x,y）,PA丄x轴于点A,PB丄y轴于点B,C（a,0）,点E在y轴上，点D,F在x轴上，AD=OB=2FCEO是MEF的中线，AE交PB于点M，-x+y=1.

（1）求点D的坐标；

（2）用含有a的式子表示点P的坐标；

考点：

一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。

分析：

（1）根据P点坐标得出A,B两点坐标，进而求出-x+y=DO,即可得出DO的长，即可得出D点坐标；

（2）利用C点坐标得出CO的长，进而得出y与a的关系式，即可得出P点坐标；

（3）利用三角形面积公式以及AO与FO的关系，进而得出等底等高的三角形.

解答：

解：

（1）vP（x,y）,PA丄x轴于点A,PB丄y轴于点B,

•A（x,0）,B（0,y）,

即：

OA=-x,BO=-y,

•/AD=BO,

••-x-DO=-y,

••-x+y=DO,

又T-x+y=1,

•••0D=1,即：

点D的坐标为（—1,0）.

（2）TEO是△AEF的中线,

•AO=OF=-x,••9F+FC=CO又•••OB=2FC=-y,OC=a

y

••-x-=a,

又T-x+y=1,

3

•-'y=1-a,

2-2a

•-y=,

-2a-1

-2a-12-2a

•-P（,）;

（3）图中面积相等的三角形有3对，

分别是：

AAEO与AFEO,AAMO与△FBO,△OME与△FBE

点评：

此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关

3

系，根据已知得出y=1-a是解题关键.

小8

y=3x--

6.如图，在平面直角坐标系中，直线I经过点A（2,-3），与x轴交于点B,且与直线'

平行.

（1）求：

直线I的函数解析式及点B的坐标；

y=3x-号

（2）如直线I上有一点M（a,-6）,过点M作x轴的垂线，交直线，于点N,在

线段MN上求一点P,使APAB是直角三角形，请求出点P的坐标.

3k_8

分析：

（1）设直线I的解析式为：

y=kx+b，因为直线I与直线'亠；平行，所以k=3,又直线I经过点A（2,-3）,从而求出b的值，进而直线I的函数解析式及点B的坐标可求出；

（2）点M（a,-6）在直线I上，所以可先求出a的值，再分别分：

当AB为斜边时；当PB为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求出满足题意的P点的坐标即可.

解答：

解：

（1）设直线I的解析式为y=kx+b（20,

£

•••直线I平行于y=3x-',

•••k=3,

•••直线I经过点A（2,-3）,

••-3=2X3+bb=-9,

•直线I的解析式为y=3x-9,点B坐标为（3,0）;

（2）•••点M（a,-6）在直线I上,

•a=1，则可设点P（1,y）,

N（1‘吉）~

•-,•y的取值范围是-6w,

当AB为斜边时，PA2+pB2=AB2,即1+（y+3）2+4+y2=10,解得y1=-1,y2=-2,•P（1,-1）,P（1,-2）,当PB为斜边时，PA^+ab2=pb2,即1+（y+3）2+10=4+y2,

IP（b

解得y=-',•,

当PA为斜边时,PB2+AB2=pA2,即10+4+y2=1+（y+3）2,

2

解得y=',（舍去），

（ls--•综上所述，点P的坐标为P1（1,-1）,P2（1,-2）,P3

（直角三角形）

点评：

本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息,求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

7.已知如图，直线y=-'x+4'与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.

（1）求点P的坐标；

（2）求Sxopa的值；

（3）动点E从原点0出发，沿着》P-A的路线向点A匀速运动（E不与点0、A重合）,过点E分别作EF丄x轴于F,EB丄y轴于B.设运动t秒时，F的坐标为（a,0）,矩形EBOF与A0PA重叠部分的面积为S.求：

S与a之间的函数关系式.

考点：

一次函数综合题。

分析：

（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标.

（2）把0A看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积.

（3）应该分两种情况，当在0P上时和PA时，讨论两种情况求解.

解答：

解：

（1）-';x+4'=x

x=3,

所以P（3,:

）

x=4.

故面积为2；.

（3）当E点在0P上运动时,

tF点的横坐标为a，所以纵坐标为a,

V51VsVs

•••S=a?

a-a?

a=a2.

当点E在PA上运动时，

1迪

••S=（-1：

Ja+4'叮二）a-T（-二）a=--a2+2a

点评：

本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，

坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标.

&如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上,

且A点的坐标是（1,0）.

48

y=-rK--T

33经过点C,且与l经过点E,且将正方形

0

l1经过点F（•

交x轴于点M，交直线

横纵

（1）

（2）

直线若直线

x轴交于点E,求四边形AECD的面积；

ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式;

（3）移1个单位,

AV

6「

若直线

且与直线y=3x平行•将

（2）中直线I沿着y轴向上平li于点N,求ANMF的面积.

12

45

-1°

-1

考点：

一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平

移的性质。

专题：

计算题。

分析：

（1）先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形

（2）根据已知求出直线入即可求出解析式；

1上点G的坐标，设直线I的解析式是y=kx+b,

AECD的面积；

把E、G的坐标代

（3）根据直线li经过点求出b的值即可得出直线角形的面积公式即可求出

4

解答：

解：

（1）

当y=0时，x=2,

二E（2,0）,

由已知可得：

AD=AB=BC=DC=4AB//DC,

•••四边形AECD是梯形，

_1

•四边形AECD的面积S=：

X（2-1+4）X4=10答：

四边形AECD的面积是10.

--I，0

F（）且与直线y=3x平行，知k=3,把

11,同理求出解析式y=2x-3,进一步求出M、△MNF的面积.

8

3

F的坐标代入即可

N的坐标，利用三

（2）在DC上取一点G,使CG=AE=1,则S梯形AEGD=S梯形EBCG

•••G点的坐标为（4,4）,

设直线I的解析式是y=kx+b,代入得：

ir4=4k+b

\l>2k+b，

y=2x-4.

rk=2解得：

卩二-4,即：

y=2x-4,答：

直线I的解析式是

（3厂••直线h经过点设直线1i的解析式是

则：

k=3,

3

代入得：

0=3X（-：

）

9

解得：

b=',

9

•-yi=3x+

已知将

（2）中直线I沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是y=2x-4+1,

即：

y=2x-3,

3

当y=0时，x=',

3

x=15

•M（:

0）,严X+号

解方程组［尸2X-3得：

［y=-18

即：

N（-■-，-18）,

133

Sznmf=2x［-（-莓］X-18|=27.

答：

ANMF的面积是27.

点评：

本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上

点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式.

3

9.如图，直线y=4x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F,点A的坐标为（-6,0）,P（x,y）

3

是直线y=x+6上一个动点.

（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；

27

（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；

（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于CD.是否存在这样的点P,使△COXAFOE?

全等三角形的判定。

P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由.

解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积;

专题：

计算题；动点型。

分析：

（1）求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；

（2）把s的值代入解析式，求出即可；

（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①所示，求出C、D的坐标，设直线CD的解析式

是y=kx+b，把C（-6,0）,D（0,-8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和

直线y=x+6的交点坐标即可；如图②所示，求出C、D的坐标，求出直线CD的解析式,

3

再求出直线CD和直线y=：

x+6的交点坐标即可.

总3

解答：

解：

（1）：

P（x,y）代入y=-x+6得：

y=-x+6,

3

•••P（x,：

x+6）,

1139

当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=QA

x|6|x（：

x+6）=：

x+18（x>-8）

_19

当P在第三象限时，△OPA的面积是s=QA<（-y）=-x-18（xv-8）

99

答：

在点P运动过程中，AOPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x>-8）或s=-x-18（xv-8）.

解得：

x=-6.5或x=-6（舍去），

9

x=-6.5时，y=',

9

（3）解：

假设存在

P点,

•P点的坐标是（-6.5,；）.

1如图所示：

P的坐标是

②如图所示:

P的坐标是（「，*）

1682424

存在P点，使△COXAFOEP的坐标是（-「，•「）或（丄，二）•

用待

点评：

本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定,

定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:

y=x交于点C.

（1）若直线AB解析式为y=-2x+12,

1求点C的坐标；

2求AOAC的面积.

（2）如图，作/AOC的平分线ON,若AB丄ON,垂足为E,AOAC的面积为6,且OA=4,P、

Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值？

若存在,求出这个最小值；若不存在，说明理由.

考点：

一次函数综合题。

专题：

综合题；数形结合。

分析：

（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标.

2欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已

知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可.

（2）在OC上取点M,使OM=OP,连接MQ,易证APOWAMOQ,可推出AQ+PQ=AQ+MQ;若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB丄OP,可得/AEO=ZCEQ即证AAEO^ACEO（ASA）,又OC=OA=4,利用AOAC的面积为6,即可得出AM=3,AQ+PQ存在最小值，最小值为3.

ry=-2^+12

解答：

解：

（1）①由题意，〔尸陷（2分）

所以

Sack6X4=12

（6分）

（2）存在；

由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ,

•/OP平分/AOC,

•••/AOQ=ZCOQ,

又OQ=OQ,

•••△POQ^AMOQ（SAS,（7分）

•PQ=MQ,

•AQ+PQ=AQ+MQ,

当A、Q、M在同一直线上，且AM丄OC时，AQ+MQ最小.即AQ+PQ存在最小值.

•/AB丄OP,所以/AEO=ZCEO

•△AEO^ACEO（ASA）,

•OC=OA=4,

•••△OAC的面积为6,所以AM=2<6-4=3

•AQ+PQ存在最小值，最小值为3.（9分）

Vi

\

B

0

pj

X

点评：

本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解

题能力，有一定难度.

11.已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB//OC,AB=10,OC=22,BC=15,

动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出

发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动.当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动.

（1）求B点坐标；

（2）设运动时间为t秒