一次函数综合练习全等三角形勾股定理答案教材.docx

1、一次函数综合练习全等三角形勾股定理答案教材1.如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限(2) 如图2，直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点 D,连接AD,若AD=AC,求证：BE=DE_5(3) 如图3,在(1)的条件下，直线 AC交x轴于M , P( :, k)是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点 N，使直线PN平分ABCM的面积？若存在，请求出点 N的坐标； 若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题。分析：(1)如图1 ,作CQ丄x轴，垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明 ABOA BCQ,根据全等三角形的性质求 OQ, CQ的长，确

2、定C点坐标；(2) 同(1)的方法证明 ABCHA BDF,再根据线段的相等关系证明 ABOEA DGE,得出 结论；1(3) 依题意确定 P点坐标，可知 ABPN中BN变上的高，再由 Sa，bN= -Sabcm,求BN,进而 得出ON.解答：解：(1)如图1,作CQ丄x轴，垂足为Q,/ OBA+Z OAB=90，/ OBA+Z QBC=90,/ OAB=Z QBC,又 AB=BC, Z AOB=Z Q=90 ,ABOA BCQ BQ=AO=2 , OQ=BQ+BO=3, CQ=OB=1, C (- 3 , 1),1由 A (0 , 2), C (- 3 , 1)可知，直线 AC: y= :x

3、+2;(2)如图2,作CH丄x轴于H , DF丄x轴于F, DG丄y轴于G ,/ AC=AD, AB 丄 CB, BC=BD, A BCHA BDF, BF=BH=2, OF=OB=1 , DG=OB, A BOEA DGE , BE=DE1 1 _5(3)如图3,直线BC: y= - X- :, P ( :, k)是线段BC上一点,5 3二P (-:,-),丄由 y= ；x+2 知 M (- 6, 0),5BM=5，贝U SBCMF 二假设存在点N使直线PN平分ABCM的面积，丄 3 15则 BN? = :X :,3 BN= , ON=,/ BNv BM,点N在线段BM上，*7JKAA Lp

4、 I/of 片0B0i Hr b0XExVG N (- , 0).图1 图2 图3点评：本题考查了一次函数的综合运用. 关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解.2.如图直线?: y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,点B的坐标是(-8, 0),点A的坐 标为(-6, 0)(1 )求k的值.(2) 若P (x, y)是直线?在第二象限内一个动点，试写出 AOPA的面积S与x的函数关系 式，并写出自变量 x的取值范围.(3) 当点P运动到什么位置时， AOPA的面积为9,并说明理由. A OX考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题

5、：动点型。分析：(1)将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；(2) 用0A的长，y分别表示AOPA的底和高，用三角形的面积公式求 S与x的函数关系式;(3) 将S=9代入(2)的函数关系式，求 x、y的值，得出P点位置.解答：解：(1)将 B (- 8, 0)代入 y=kx+6 中，得-8k+6=0,解得 k=:;3(2 )由(1 )得 y= x+6，又 0A=6,1 9S= :X 6X y=x+18, (- 8v xv 0);9(3 )当 S=9 时，：x+18=9，解得 x= - 4 ,3此时 y= ：x+6=3,.P (- 4, 3).点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求

6、一次函数解析式，三角形面积的求 法关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示.3 .如图，过点(1, 5)和(4, 2)两点的直线分别与 x轴、y轴交于A、B两点.(1 )如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包 括边界)所含格点的个数有 10个(请直接写出结果)；(2) 设点C(4, 0),点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点 D的坐标 (6, 2);(3) 如图，请在直线AB和y轴上分别找一点 M、N使ACMN的周长最短，在图 中作图 图考点：一次函数综合题。分析：(1)先利用待定系数法求得直线 AB的解析式为y=- x+6;再分别把x=2、3、

7、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标；(2) 首先根据直线 AB的解析式可知OAB是等腰直角三角形， 然后根据轴对称的性质即可 求出点D的坐标；(3) 作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则此时ACMN 的周长最短.由 D E两点的坐标利用待定系数法求出直线 DE的解析式，再根据 y轴上点 的坐标特征，即可求出点 N的坐标.解答：解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把(1, 5), (4, 2)代入得,kx+b=5, 4k+b=2,解得 k=- 1, b=6,直线AB的解析式为y=-x+6;当 x=2, y=4;

8、当 x=3, y=3;当 x=4, y=2;当 x=5, y=1.图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：（1，1），（1，2），（1, 3）,（ 1，4）,（2， 1）， （2， 2）， （2, 3），（3， 1）, （3， 2），（4， 1）一共10个；（2） 直线y=- x+6与x轴、y轴交于A、B两点， A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），.OA=OB=6,/ OAB=45 点C关于直线AB的对称点为D，点C （4，0）， AD=AC=2, AB丄 CD, / DAB=Z CAB=45 , / DAC=90 ,点 D的坐标为（6, 2）;（3） 作出点C关于直线y轴的对称点E,

9、连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则NC=NE 点 E （- 4, 0）又点C关于直线 AB的对称点为 D,. CM=DM, CMN 的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE,此时周长最短.设直线DE的解析式为y=mx+ n.把 D （ 6, 2）, E （- 4, 0）代入，得6m+n=2, - 4m+n=0,1 4解得 m= , n= ,1 4直线DE的解析式为y= x+ .4令 x=0,得 y=,4点N的坐标为（0,）.故答案为10 ; （6, 2）.图 图点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式， 横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，

10、综合性较强，有一定难度.4 .若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B,与y轴分别交于 A、C(1) 填空：写出 A、C两点的坐标，A (0, 8) , C (0, 3) ;(2) 若/ ABO=2/CBO,求直线 AB和CB的解析式；(3) 在(2)的条件下若另一条直线过点 B,且交y轴于E,若ABE为等腰三角形，写出 直线BE的解析式(只写结果).考点：一次函数综合题。分析：(1)由两条直线解析式直接求出 A、C两点坐标；8 8(2) 由直线y=mx+8得B (-丨0),即OB,而AO=8,利用勾股定理求 AB,根据角平 分线性质得比例求 m的值，再根据直线 BC与x轴的交点为B

11、求n即可；(3) 根据(2)的条件，分别以 A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直 平分线与y轴相交，分别求交点坐标.解答：解：(1)由直线 y=mx+8 和 y=nx+3 得 A (0, 8), C (0, 3),故答案为：(0, 8), (0, 3);8 8(2)令直线 y=mx+8 中 y=0,得 B (- , 0), 即卩 OB=,又 AO=8, AB= |一=8 丁： / ABO=2/ CBO,AB AC /1+A 8：=I 即卩 24 ： =5X ,4解得m=:,3 8 1又由y=nx+3经过点B,得-i=-.，解得n=:,4 1直线 AB: y= ；x+8,直线

12、CB: y= ：x+3;1 2 2(3)由(2)可知 0B=6, AB= L -m =10,当AABE为等腰三角形时，1 4 _7 7直线 BE 的解析式为：y=3x+18 或 y= - ；x 2 或 y= - ；x 8 或 y=：、x+ 点评：本题考查了一次函数的综合运用. 关键是根据题意求出点的坐标， 根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式.5 .如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，P ( x, y), PA丄x轴于点A, PB丄y轴于点 B, C (a, 0),点E在y轴上，点 D, F在x轴上，AD=OB=2FC EO是 MEF的中线，AE交 PB 于点 M，- x+

13、y=1.(1) 求点D的坐标；(2) 用含有a的式子表示点P的坐标；考点：一次函数综合题；列代数式；点的坐标；三角形的面积。分析：(1)根据P点坐标得出A, B两点坐标，进而求出-x+y=DO,即可得出DO的长，即 可得出D点坐标；(2) 利用C点坐标得出CO的长，进而得出y与a的关系式，即可得出 P点坐标；(3) 利用三角形面积公式以及 AO与FO的关系，进而得出等底等高的三角形.解答：解：(1)v P (x, y) , PA丄x轴于点A, PB丄y轴于点B, A (x, 0), B (0, y),即：OA=- x, BO=- y,/ AD=BO,- x- DO=- y, - x+y=DO,

14、又T- x+y=1,0D=1,即：点D的坐标为(1, 0).(2 )T EO 是AEF 的中线, AO=OF=- x, 9F+FC=CO 又 OB=2FC=- y, OC=ay- x- =a,又T- x+y=1,3- y=1 - a,2 - 2a-y= ,-2a- 1-2a - 1 2 - 2a-P ( , );(3)图中面积相等的三角形有 3对，分别是： AAEO与 AFEO, AAMO 与FBO, OME 与 FBE点评：此题主要考查了三角形面积求法以及点的坐标求法和坐标系中点的坐标与线段长度关3系，根据已知得出 y=1 - a是解题关键.小 8y=3x -6.如图，在平面直角坐标系中，直

15、线I经过点A( 2, - 3)，与x轴交于点B,且与直线 平行.(1 )求：直线I的函数解析式及点 B的坐标；y=3x-号(2)如直线I上有一点M ( a, - 6),过点M作x轴的垂线，交直线 ，于点N,在线段MN上求一点P,使APAB是直角三角形，请求出点 P的坐标.3k_ 8分析：(1)设直线I的解析式为：y=kx+b，因为直线I与直线亠 ；平行，所以k=3,又 直线I经过点A (2, - 3),从而求出b的值，进而直线I的函数解析式及点 B的坐标可求出；(2)点M (a, - 6)在直线I上，所以可先求出 a的值，再分别分：当 AB为斜边时；当 PB为斜边时；当PA为斜边时，进行讨论求

16、出满足题意的 P点的坐标即可.解答：解：(1)设直线I的解析式为y=kx+b (20,直线I平行于y=3x-, k=3,直线I经过点A (2, - 3),- 3=2X 3+b b= - 9,直线I的解析式为y=3x- 9,点B坐标为(3, 0);(2)点 M (a, - 6)在直线 I 上, a=1，则可设点P (1 , y),N( 1 吉) - , y的取值范围是-6w ,当 AB 为斜边时，PA2+pB2=AB2 ,即 1+ (y+3) 2+4+y2=10 , 解得 y1 = - 1 , y2=- 2, P (1 , - 1) , P (1 , - 2), 当 PB 为斜边时，PA+ab2

17、=pb2 ,即 1+ (y+3) 2+10=4+y2 ,I P (b解得 y=- , ,当 PA为斜边时,PB2+AB2=pA2 ,即 10+4+y2=1+ (y+3) 2 ,2解得y=,(舍去)，(ls - 综上所述，点 P的坐标为P1 ( 1, - 1 ) , P2 ( 1 , - 2) , P3(直角三角形)点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数与几何图形 问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，从已知函数图中获取信息, 求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.7 .已知如图，直线 y= - x+4 与x轴相交于点 A,与直线y= x相交于点P.(1

18、) 求点P的坐标；(2 )求Sxopa的值；(3)动点E从原点0出发，沿着P-A的路线向点A匀速运动(E不与点0、A重合), 过点E分别作EF丄x轴于F, EB丄y轴于B.设运动t秒时，F的坐标为(a, 0),矩形EBOF 与A0PA重叠部分的面积为 S.求：S与a之间的函数关系式.考点：一次函数综合题。分析：(1) P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标.(2) 把0A看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积.(3) 应该分两种情况，当在 0P上时和PA时，讨论两种情况求解.解答：解：(1)- ;x+4 = xx=3,所以P ( 3,:)x=4.故面积为2 ；.(3)当E点在0

19、P上运动时,t F点的横坐标为a，所以纵坐标为 a,V5 1 Vs Vs S= a?a- a?a= a2.当点E在PA上运动时，1 迪 S= (- 1： Ja+4叮 二)a - T (- 二)a=- - a2 +2 a点评：本题考查一次函数的综合应用， 关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标.&如图，将边长为 4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使 AB边落在x轴正半轴上,且A点的坐标是(1, 0).4 8y=-rK -T3 3经过点C,且与 l经过点E,且将正方形0l1经过点F ( 交x轴于点M，交直线横纵(1)

20、(2)直线 若直线x轴交于点E,求四边形AECD的面积；ABCD分成面积相等的两部分，求直线 l的解析式;(3) 移1个单位,A V6若直线且与直线y=3x平行将(2)中直线I沿着y轴向上平 li于点N,求ANMF的面积.1 24 5-1 -1考点：一次函数综合题； 一次函数图象上点的坐标特征； 待定系数法求一次函数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：(1)先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形(2)根据已知求出直线 入即可求出解析式；1上点G的坐标，设直线I的解析式是y=kx+b,AECD的面积；把E、G的坐标代(3)根据直线li经过点 求出b的值即可得出直线 角形的面积公式

21、即可求出4解答：解：(1)当 y=0 时，x=2,二 E (2, 0),由已知可得：AD=AB=BC=DC=4 AB/ DC,四边形AECD是梯形，_1四边形 AECD的面积 S=： X( 2 - 1+4) X 4=10 答：四边形 AECD的面积是10.-I，0F ( )且与直线y=3x平行，知k=3,把11,同理求出解析式 y=2x- 3,进一步求出 M、 MNF的面积.83F的坐标代入即可N的坐标，利用三(2)在 DC上取一点 G,使 CG=AE=1, 则 S梯形AEGD=S梯形EBCG G点的坐标为(4, 4),设直线I的解析式是y=kx+b,代入得：ir4=4k+bl2k+b，y=2

22、x - 4.rk=2 解得：卩二-4, 即：y=2x - 4, 答：直线I的解析式是(3厂直线h经过点 设直线1i的解析式是则：k=3,3代入得：0=3X(-：)9解得：b=,9- yi=3x+已知将(2)中直线I沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是 y=2x- 4+1,即：y=2x- 3,3当 y=0 时，x=,3x=15 M ( :, 0), 严X+号解方程组尸2X-3得：y=-18即：N (- -，- 18),1 3 3Sznmf=2x-(-莓X- 18|=27 .答：ANMF的面积是27.点评：本题主要考查了一次函数的特点， 待定系数法求一次函数的解析式， 一次函数图象上点

23、的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析 式.39. 如图，直线y=4x+6与x轴、y轴分别相交于点 E、F,点A的坐标为(-6, 0), P (x, y)3是直线y= x+6上一个动点.(1) 在点P运动过程中，试写出 OPA的面积s与x的函数关系式；27(2 )当P运动到什么位置， OPA的面积为 ，求出此时点P的坐标；(3) 过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C D.是否存在这样的点 P,使COXA FOE?全等三角形的判定。P的坐标(不要求写解答过程)；若不存在，请说明理由.解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式； 三角形的面积;专题：计算题

24、；动点型。分析：(1)求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可； 当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；(2 )把s的值代入解析式，求出即可；(3)根据全等求出 OC、OD的值，如图 所示，求出C、D的坐标，设直线 CD的解析式是y=kx+b，把C (- 6, 0), D (0, - 8)代入，求出直线 CD的解析式，再求出直线 CD和直线y= x+6的交点坐标即可；如图 所示，求出C、D的坐标，求出直线 CD的解析式,3再求出直线 CD和直线y= ：x+6的交点坐标即可.总 3解答：解：(1)： P (x, y)代入 y=-x+6得：y=-x+6,

25、3 P (x, ：x+6),1 1 3 9当 P在第一、二象限时， OPA的面积是 s= QA- 8)_1 9当P在第三象限时， OPA的面积是s=QA- 8)或s=- x -18 (xv - 8).解得：x=- 6.5或x=- 6 (舍去)，9x=- 6.5 时，y=,9(3)解：假设存在P点, P点的坐标是（-6.5,；）.1 如图所示：P的坐标是如图所示:P的坐标是（， * ）168 24 24存在P点，使COXA FOE P的坐标是（-，）或（丄，二）用待点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定,定系数法求一次函数的解析式等知识点， 此题综合性比较强，

26、用的数学思想是分类讨论思想 和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求.10. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:y=x交于点C.（1） 若直线AB解析式为y=- 2x+12,1 求点C的坐标；2 求AOAC的面积.（2） 如图，作/ AOC的平分线 ON,若AB丄ON,垂足为E, AOAC的面积为6,且OA=4, P、Q分别为线段 OA、OE上的动点，连接 AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在, 求出这个最小值；若不存在，说明理由.考点：一次函数综合题。 专题：综合题；数形结合。分析：(1) 联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，

27、即为点 C的坐标.2 欲求OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点 A和点C的坐标即可，点 C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点 A的坐标，代入面积公式即可.(2) 在 OC上取点 M ,使 OM=OP,连接 MQ ,易证 APOWA MOQ,可推出 AQ+PQ=AQ+MQ; 若想使得 AQ+PQ存在最小值，即使得 A、Q、M三点共线，又 AB丄OP,可得/ AEO=Z CEQ 即证AAEOA CEO( ASA),又OC=OA=4,利用AOAC的面积为6,即可得出 AM=3 , AQ+PQ 存在最小值，最小值为 3.ry= - 2+12解答：解：(1)由题意，尸陷 (2分)所以Sack 6X

28、4=12（6分）（2）存在；由题意，在 OC上截取OM=OP，连接 MQ ,/ OP 平分/ AOC,/ AOQ=Z COQ,又 OQ=OQ, POQA MOQ （SAS , （7 分）PQ=MQ, AQ+PQ=AQ+MQ,当A、Q、M在同一直线上，且 AM丄OC时，AQ+MQ最小. 即AQ+PQ存在最小值./ AB丄 OP,所以/ AEO=Z CEO AEOA CEO（ASA）, OC=OA=4, OAC的面积为 6,所以 AM=2 6-4=3 AQ+PQ存在最小值，最小值为 3. （9分）ViB0p jX点评：本题主要考查一次函数的综合应用， 具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度.11. 已知直角梯形 OABC在如图所示的平面直角坐标系中， AB/ OC, AB=10, OC=22, BC=15,动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB向点B运动，同时动点 N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CO向O点运动.当其中一个动点运动到终点时，两个动 点都停止运动.(1 )求B点坐标；(2)设运动时间为t秒