中考资料中考数学材料阅读题精品系列.docx

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中考资料中考数学材料阅读题精品系列

中考资料，中考数学材料阅读题，精品系列

一．解答题（共30小题）

1．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：

ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．

例：

分解因式：

x2﹣2xy﹣8y2．

解：

如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．

∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：

分解因式：

x2+2xy﹣3y2+3x+y+2

解：

如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；

而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；

∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）分解因式：

①6x2﹣17xy+12y2=　　

②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=　　

③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=　　

（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．

2．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，

70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；

（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．

3．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：

（1）定义一种能够被3整除的三位数

的“F”运算：

把

的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如

=213时，则：

213

36（23+13+33=36）

243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得　　，经过四次“F”运算得　　，经过五次“F”运算得　　，经过2016次“F”运算得　　．

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？

写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．

4．定义：

如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…

（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．

（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．

5．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：

例如：

五进制数（234）5=2×52+3×5+4=69，记作（234）5=69，

七进制数（136）7=1×72+3×7+6=76，记作（136）7=76

（1）请将以下两个数转化为十进制：

（331）5=　　，（46）7=　　

（2）若一个正数可以用七进制表示为（

），也可以用五进制表示为

，请求出这个数并用十进制表示．

6．村料一：

我们可以将任意三位数记为

，（其中a、b、c分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且a≠0）．显然

=100a+10b+c．

材料二：

若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由123可以产生出132，213、231、312、321这5个新原始数，将这6个数相加，得到的和1332称为由原始数123生成的终止数．

问题：

（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：

247，638；

（2）若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数．

7．如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：

321，6543，98，…都是“妙数”．

（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为　　．

（2）证明：

任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除．

（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？

若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

8．连续整数之间有许多神奇的关系，

如：

32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：

设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c）

若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；

若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；

若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”．

（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；

（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：

若有3个连续整数：

=2；

若有5个连续整数：

=2；

若有7个连续整数：

=2；

…

由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．

9．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by

=（ax+ay）+（bx+by）

=a（x+y）+b（x+y）

=（x+y）（a+b）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：

x2﹣y2﹣x﹣y；

（2）分解因式：

9m2﹣4x2+4xy﹣y2；

（3）分解因式：

4a2+4a﹣4a2b﹣b2﹣4ab2+1．

10．对于任意一个多位数，如果他的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与他自身除以这个正整数n所得余数相同，我们就称这个多位数是n的“同余数”，例如：

对于多位数1345，1345÷3=448…1，且（1+3+4+5）÷3=4…1，则1345是3的“同余数”．

（1）判断四位数2476是否是7的“同余数”，并说明理由．

（2）小明同学在研究“同余数”时发现，对于任意一个四位数如果是5的“同余数”，则一定满足千位、百位、十位这三位上数字之和是5的倍数．若有一个四位数，其千位上的数字是十位的上数字的两倍，百位上的数字比十位上的数字大1，并且该四位数是5的“同余数”，且余数是3，求这个四位数．

11．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”，例如：

23→22+32=13→12+32=10→12+02=1

91→92+12=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1．

所以23和91都是“快乐数”．

（1）13　　（填“是”或“不是”）“快乐数”；最小的三位“快乐数”是　　；

（2）若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，求出这个“快乐数”；

（3）请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到16．

12．我们来定义下面两种数：

①平方和数：

若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：

中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：

对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：

对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；

②双倍积数：

若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：

中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：

对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：

对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；

注意：

在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：

（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　　；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　　；

（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；

（3）

为一个平方和数，

为一个双倍积数，求a2﹣b2．

13．阅读下列材料，解决后面两个问题：

一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：

若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．

例如：

判断1675282能不能被17整除．167528﹣2×5=167518，16751﹣8×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．

（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；

（2）已知一个四位整数可表示为

，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．

14．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．

（1）有一种产生对称数的方式是：

将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：

17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；

（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？

15．若一个自然数各位数字左右对称，则称这样的自然数是对称数，如22，989，5665，12321…，都是对称数．

若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数．例如：

17与71，132与231，5678与8765，…，都互为逆序数．

有一种产生对称数的方式是：

将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与这个和的逆序数相加，连续进行下去…，便可以得到一个对称数．例如：

17的逆序数为71，17+71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39+93=132，132的逆序数为231，132+231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；

（1）猜想任意一个三位数与其逆序数之差能否被99整除？

并说明理由．

（2）若两位自然数A按上述方式的第一个对称数是484，A的十位上的数字大于个位上的数字，求A的值．

16．阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．

公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2

=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2

=（x+a）2﹣（2a）2

=（x+3a）（x﹣a）

材料2．因式分解：

（x+y）2+2（x+y）+1

解：

将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则

原式=A2+2A+1=（A+1）2

再将“A”还原，得：

原式=（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把c2﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：

（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；

②分解因式：

（m+n）（m+n﹣4）+3．

17．如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数．例如：

525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：

77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数…

（1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字所得到的新数和原数的差能够被9整除；

（2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为ab，求a，b应满足的关系．

18．阅读理解，我们来定义下面两种数：

?

平方和数：

若一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数后满足：

中间数=左边数的平方加上右边数的平方，我们就称该整数是平方和数，比如：

对于整数251，它的中间数是5，左边数谁2，右边数数1，∵22+12=5，∴251是平方和数；再比如：

3254，∵32+42=25，∴3254是一个平方和数；当然152，4253这两个数也肯定是平方和数；

‚双倍积数：

若一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数后满足：

中间数=2×左边数×右边数，我们称该整数是双倍积数；比如：

对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数；再比如：

3305，∵2×3×5=30，∴3305是一个双倍积数；当然，361，5303也是一个双倍积数；

注意：

在下列问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：

（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数字是8，则该三位整数　　；

（2）如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字是4，则该三位整数　　；

（3）若

为一个平方和数，

为一个双倍积数，求a2﹣b2．

19．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：

ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）

例：

分解因式：

x2﹣2xy﹣8y2

解：

如右图，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，

如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：

分解因式：

x2+2xy﹣3y2+3x+y+2

解：

如图2，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；

而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）分解因式：

6x2﹣7xy+2y2=　　x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6=　　

（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．

（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y=﹣1，求x，y．

20．阅读理解：

材料一、对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x4﹣3x2+1，就不能直接用公式法了，我们可以把二次三项式x4﹣3x2+1中3x2拆成2x2+x2，于是

有x4﹣3x2+1=x4﹣2x2﹣x2+1=x4﹣2x2+1﹣x2=（x2﹣1）2﹣x2=（x2﹣x﹣1）（x2+x﹣1）．

像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫拆项法．

（1）请用上述方法对多项x4﹣7x2+9进行因式分解；

材料二、把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式，如何将

表示成部分分式？

设分式

=

，将等式的右边通分得：

=

由

=

得

解得

，所以

=

．

（2）请用上述方法将分式

写成部分分式的和的形式．

21．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得

，即a=bn．例如若整数a能被整数3整除，则一定存在整数n，使得

，即a=3n．

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除．例如：

将数字306371分解为306和371，因为371﹣306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除．请你证明任意一个四位数都满足上述规律．

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：

自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：

656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除．

22．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：

将一个多项式分解因式，如多项式：

x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．

（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？

（写出三个）

（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；

（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．

23．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：

自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：

6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：

33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．

24．我们对多项式x2+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：

x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：

a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：

x+3和x﹣2．

像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．

（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值；

（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．

25．阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），求m的值．

解：

设另一个因式为（x2+ax+b），

则x3+4x2+mx+5=（x+1）（x2+ax+b）=x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，

∴a+1=4，a+b=m，b=5，∴a=3，b=5，∴m=8；

依照上面的解法，解答问题：

若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值．

26．观察下列等式：

12×231=132×21，14×451=154×41，32×253=352×23，34×473=374×43，45×594=495×54，…

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中