计算机控制系统-第三章.ppt

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1,第三章线性常系数差分方程,3.1线性常系数差分方程3.2z变换3.3z反变换3.4用z变换求解线性常系数差分方程,2,3.1线性常系统差分方程,在离散系统中，用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述表示输出和输入信号关系的数学模型。

差分方程的一般概念差分方程的求解,输入序列r=rk=r0,r1,r2,输出序列c=ck=c0,c1,c2,系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即其中，aj，bj是由系统物理参数确定的常数。

3,1.差分方程的一般概念,4,2.差分方程的求解,差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法差分方程的经典解法

（1）对应齐次方程的通解齐次方程特征方程单根重根,5,2.差分方程的求解,差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法差分方程的经典解法

（2）非齐次方程的一个特解ypk,6,2.差分方程的求解,差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法差分方程的经典解法（3）差分方程的全解,7,例3.1,求解差分方程yn+3yn-1+2yn-2=2nun初始条件为y0=0,y1=2.,8,练习：

求解差分方程yn-5yn-1+6yn-2=2nun初始条件为y1=5,y2=9.,9,2.差分方程的求解,差分方程的求解方法包括经典法、迭代法、z变换法差分方程的迭代解法如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。

原理：

根据初始条件（边界条件），逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一时刻的待求值。

10,例3.2,已知离散系统的差分方程yn-0.6yn-1=rn初始条件为y0=0,rn=1.解：

yn=0.6yn-1+rnn=1,y1=0.6y0+r1=1n=2,y2=0.6y1+r2=1.6n=3,y3=0.6y2+r3=1.96,11,练习：

已知离散系统的差分方程yn-2yn-1=r（k）初始条件为y0=0,rk=1,0,1,0,1,0,.,12,Matlab程序clear;clc;ck=0;rk=1;fork=1:

10ckplus1=2*ck+rk;a=num2str（k）;b=num2str（ckplus1）;c=y（a）=b;disp（c）rk=1-rk;ck=ckplus1;end,13,3.2Z变换,Z变换的定义Z变换的性质和定理求Z变换的方法,14,3.2.1Z变换的定义,f（t）的采样信号拉氏变换在拉氏变换中引入新复变量从而有,15,3.2.1Z变换的定义,Z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。

就是说，极限存在时，xn的Z变换才存在。

Z变换常记为连续时间函数与相应的离散时间函数具有相同的Z变换，即,离散序列xn的Z变换定义为:

（1）

（2）（3）,16,例3.3求下列离散序列的Z变化及收敛域，其中a为任意复常数,17,例3.4求下列离散序列的Z变化及收敛域，其中a为任意复常数,18,3.2.2Z变换的性质和定理,

（1）线性性质证明：

例3.5利用Z变换的性质，求余弦函数的Z变换,19,解：

已知,20,3.2.2Z变换的性质和定理,

（2）时移性质左位移定理（超前定理）：

右位移定理（延迟定理）：

证明：

21,例3.6,22,例3.7,23,3.2.2Z变换的性质和定理,（3）频移性质证明：

例3.8求的Z变换，k为常数,24,解：

已知,25,3.2.2Z变换的性质和定理,（4）时间反折性质证明：

例3.9利用时间反折性质，分别求奇信号和偶信号的Z变换关系式,26,解：

奇信号,偶信号,27,3.2.2Z变换的性质和定理,（5）共轭性质证明：

28,3.2.2Z变换的性质和定理,（6）卷积性质设则,例3.10求下面两个离散序列的卷积及其卷积的Z变换,29,解：

已知,利用时间平移性质,30,3.2.2Z变换的性质和定理,（7）Z域微分性质证明：

例3.11利用Z域微分性质求列序列的Z变换,31,解：

已知,利用Z域微分性质,32,3.2.2Z变换的性质和定理,（8）Z域积分性质证明：

例3.12利用Z域积分性质求下列序列的Z变换,33,解：

已知,利用Z域积分性质,34,3.2.2Z变换的性质和定理,（9）初值定理证明：

35,3.2.2Z变换的性质和定理,（10）终值定理,常用于分析系统的稳态误差,36,例3.14：

已知某离散序列的Z变换为分别求出该序列的初值和终值。

37,练习：

已知某离散序列的Z变换为分别求出该序列的初值和终值。

38,3.2.3求Z变换的方法,级数求和法利用Z变换性质法部分分式法查表法,39,1.级数求和法,其基本思想是利用Z变换的定义将Z变换直接展开成无穷级数。

40,1.级数求和法,例3.15求理想脉冲序列的Z变换。

解：

41,1.级数求和法,例3.16求指数函数的Z变换。

解：

离散信号,42,1.级数求和法,例3.17求信号的Z变换。

解：

43,2.利用Z变换性质法,例3.18已知求序列的Z变换。

解：

Z域微分性质时移性质线性性质,44,2.利用Z变换性质法,例3.19已知求序列的Z变换。

解：

频移性质Z域微分性质线性性质,45,3.部分分式法,问题：

已知连续函数的拉氏变换F（s），求其离散信号的Z变换解决思路：

利用部分分式法将F（s）展开为一些简单的部分分式之和；对每一部分取拉氏反变换，得到时间函数；对时间函数进行Z变换。

46,

（1）特征方程无重根,例3.21已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

由于故有即,练习已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

由于故有即,

（2）特征方程有重根例：

已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

由于其中,（3）特征方程有共轭虚根例：

已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

由于,练习：

已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

由于其中,52,4.查表法,利用拉氏变换和Z变换表,53,测验,1.已知某离散序列的Z变换为分别求出该序列的初值和终值。

2.已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

3.求的Z变换。

54,3.3Z反变换,所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F（z），求相应离散序列fn的过程长除法（幂级数展开法）部分分式法留数计算法查表法,由z变换的定义序列fn值是上述幂级数中z-n的系数对于用有理函数表示的z变换，可以直接用分母去除分子，得到幂级数的展开形式如果级数是收敛的，则级数中z-k的系数就是fn的值在用长除法求系数时，F（z）的分子和分母都必须写成z-1的升幂形式。

55,1.长除法,例利用长除法求下列Z变换的Z反变换解：

长除格式由长除结果得,例3.25考虑一个Z变换在|z|a|和|z|a|时分别求其反变换,58,2.部分分式法,具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分为特征方程无重根和有重根两种情况,59,

（1）特征方程无重根,例求的反变换。

解：

由于故有,例3.26分别求下列Z变换在|z|0.5和|z|0.5时|z|0.5时,例求的反变换。

解：

特征方程为所以特征方程有两重根。

设其中A,B为所以有,

（2）特征方程有重根,由于在表中查不到上式第一项的z反变换，故将上式两边都乘z-1由于|z|1时故有等价于,如果F（z），是超越函数，用留数法求Z反变换比较合适当然，这种方法对有理分式也适用设已知Z反变换函数F（z），则可证明F（z）的Z反变换fn可由下式计算即fn等于全部极点的留数（residue）之和zi为单根时zi为m重根时,64,4.留数法,解：

因该函数有两个极点：

1和0.5，先求出对这两个极点的留数：

例3.27设z变换函数，试用留数法解求其z反变换。

利用长除法、部分分式法和留数法分别求的Z反变换。

课堂练习：

（1）部分分式展开

（2）长除法,课堂练习：

（3）留数法,课堂练习：

69,测验,1.已知某离散序列的Z变换为分别求出该序列的初值和终值。

解：

初值终值,70,测验,2.已知函数f（t）的拉氏变换为求其相应的Z变换F（z）。

解：

71,测验,3.求的Z变换。

解：

已知,利用长除法、部分分式法和留数法分别求的Z反变换。

课堂练习：

课堂练习：

长除法,课堂练习：

部分分式法

（一）,课堂练习：

部分分式法

（二）,课堂练习：

留数法,77,3.4用Z变换求解线性常系数差分方程,采用Z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似解的过程是先将差分方程经Z变换后成为Z的代数方程，然后将Z变换写成有理多项式的形式，最后查Z变换表或用其他方法求得yn。

78,例3.28用z变换法解下列差分方程yn+2-3yn+1+2yn=3nun初始条件为y0=0,y1=0.,解：

对方程两端做Z变换代入初始条件做Z反变换,79,练习,用z变换法解下列差分方程yk+2+3yk+1+2yk=0初始条件为y0=0,y1=1.解：

对方程两端做z变换z2Y（z）-z2y0-zy1+3zY（z）-3zy0+2Y（z）=0代入初始条件（z2+3z+2）Y（z）=z做逆z变换,作业,80,第三章习题P39-4013151617182021,