学年下学期高一数学必修5期中复习导学案专题1 解三角形.docx

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学年下学期高一数学必修5期中复习导学案专题1解三角形

2017-2018学年下学期高一数学必修5期中复习导学案

专题1解三角形

思维导图

知识点1：

利用正、余弦定理求解三角形的基本问题

【要点回顾】

解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少一条边）求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素（边和角）和非基本元素（中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径），解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．

解斜三角形共包括四种类型：

（1）已知三角形的两角和一边（一般先用内角和求角或用正弦定理求边）；

（2）已知两边及夹角（一般先用余弦定理求第三边）；（3）已知三边（先用余弦定理求角）；（4）已知两边和一边的对角（先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数）．

【典例分析】

例1已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.

（1）求角B的大小；

（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.

【分析】　

（1）用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解．

（2）先求角C，然后利用正弦定理求边a，c.

【解析】　

（1）由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，

故cosB＝，因此B＝45°.

（2）sinA＝sin（30°＋45°）＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.

故a＝b×＝1＋.

由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，

c＝b×＝.

【迁移训练】

1．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）

A．5B.

C．2D．1

【答案】　B

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和

＝＋，求A和tanB的值.

【解析】　由余弦定理cosA＝＝，因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.

由已知条件，应用正弦定理

＋＝＝＝＝＝＋，

从而tanB＝.

知识点2：

正、余弦定理的综合应用

【要点回顾】

正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．

（1）解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．

（2）解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．

【典例分析】

例2在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

【分析】　

（1）由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．

（2）由

（1）结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公理求解．

（2）在△ABC中，

sinB＝＝＝，

由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.

因为a＝b＞c，所以C为锐角，

因此cosC＝＝＝.

于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC

＝×＋×＝.

【迁移训练】

3．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的长．

【解析】　

（1）在△ADC中，因为cos∠ADC＝，

所以sin∠ADC＝.

所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.

（2）在△ABD中，由正弦定理得

BD＝＝＝3.

在△ABC中，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.

所以AC＝7.

4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【解析】　

（1）由已知及正弦定理得

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

即2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知得absinC＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.

所以△ABC的周长为5＋.

知识点3：

正、余弦定理的实际应用

【要点回顾】

正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．

【典例分析】

例3如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5km.

（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；

（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）

（参考数据：

＝1.73，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73，sin53°＝0.80，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78）

【分析】　

（1）以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.

（2）以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．

【解析】　

（1）设BD＝xkm，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9km.

（2）在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin（∠CBD＋∠BDC）＝sin（∠CBD＋75°）＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9km.

【迁移训练】

5．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．

【解析】　法一：

设该扇形的半径为r米，由题意，得CD＝500米，DA＝300米，∠CDO＝60°.

在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，

即5002＋（r－300）2－2×500×（r－300）×＝r2，

解得r＝≈445（米）．

6.已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．

（Ⅰ）计算渔政船C与渔港O的距离；

（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？

（参考数据：

sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，≈3.61）

【解析】

（1）依题意：

BO=160海里，

海里

在中，，由全余弦定理得

（2）

可在3小时内赶到出事地点

知识点4：

三角形形状的判断

【考向解读】

三角形形状的判断是近几年高考的热点题型，难点中等偏上，在试题设计上灵活多变，选择题、填空题、解答题都有涉及，常常会跟其他知识进行综合考查.

【典例分析】

例4下列是有关的几个命题，

①若，则是锐角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是等腰三角形；④若，则是直角三角形；其中所有正确命题的序号是

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】A

【解析】对于①,

是锐角三角形正确;对于②,由正弦定理,,即,则或,则是等腰三角形或直角三角形,命题错误;对于③,由正弦定理,,则是等腰三角形正确;对于④,,或,即或,则不一定是直角三角形,命题错误;综上可得,正确命题的序号是①③,故选A.

【技能点拨】

一般来说，判断三角形的形状问题常用的方法有两种：

（1）通过边之间的关系判断形状；

（2）通过角之间的关系判断形状.正弦定理、余弦定理在解题中起到将已知条件中的边、角互化，把条件化为边之间的关系或化为角之间的关系的作用.

【迁移训练】

7．在中，已知，则的形状是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】C

【解析】由余弦定理知，，所以，即，故三角形是等腰三角形，故选C.

8．若的三个内角满足，则是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

【答案】B

【解析】由正弦定理可得，△ABC的三边之比 a：

b：

c=5：

11：

13，设a=5k，则 b=11k，c=13k，

由余弦定理可得故角C为钝角，故△ABC为钝角三角形，故选B

9．对于，有如下四个命题:

①若，则为等腰三角形，

②若，则是直角三角形

③若，则是钝角三角形

④若，则是等边三角形.其中正确的命题个数是（）

A.B.C.D.

【答案】B

知识点5：

解三角形中的转化与化归思想

【考向解读】

转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．

【典例分析】

例5在△ABC中，角的对边分别为，满足．

（1）求角的大小

（2）若，求的周长最大值．

【分析】

（1）由，根据正弦定理，得，

可得，进而可得的值；

（2）由

（1）及正弦定理，得，可得的周长，，结合范围，即可求的最大值.

【解析】

（1）由及正弦定理，得

（2）解：

由（I）得，由正弦定理得

所以

的周长

当时，的周长取得最大值为9．

【技能点拨】

本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．

【迁移训练】

10．在中,，那么满足条件的（  ）

A.有一个B.有两个C.不存在D.不能确定

【答案】C

【解析】由正弦定理可得：

，满足条件的不存在，满足条件的不存在，故选C.

11.若为钝角三角形