小学数学奥数专题讲练.docx
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小学数学奥数专题讲练
小学四年级下册数学奥数讲练
等差数列求和
（一）
我们先来认识什么是等差数列，如：
1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。
这两列数都有共同的规律：
每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。
像这样的数列我们将它称之为等差数列。
我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。
如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：
n＝（b－a）÷d＋1
典型例题
例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。
分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（1＋1999）×1999÷2
＝2000×1999÷2
＝1000×1999
＝1999000
例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。
分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（111＋289）×179÷2
＝400×179÷2
＝200×179
＝35800
例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。
分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（2＋198）×99÷2
＝200×99÷2
＝100×99
＝9900
例【4】求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。
分析297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项a＝3，末项b＝297，公差d＝3，项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（3＋297）×99÷2
＝300×99÷2
＝150×99
＝14850
例【5】求5000－124－128－132－……－272－276的和。
分析5000－124－128－132－……－272－276＝5000－（124＋128＋132＋……＋272＋276），对于124＋128＋132＋……＋272＋276，可以利用等差数列的求和公式先计算出来，a＝124，b＝276，d＝4，n＝（276－124）÷4＋1＝38＋1＝39。
所以：
124＋128＋132＋……＋272＋276
＝（124＋276）×39÷2
＝400×39÷2
＝200×39
＝7800
小结对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和求项数的公式。
区分a，b，d代表的数字分别是多少，有时要将数列顺序调换，才能使得后项减去前项等差。
第十一讲推理问题
在日常生活中我们常碰到这样的情况：
看到一个人的面孔，可以推断出这个人的大概年龄；甲比乙长得高，乙比丙长得高，我们可以推断甲一定比丙长得高。
这样根据一些已经知道
的事实，推断出某些结果，就是推理。
典型例题
例[1]王菲、李娜、莫文蔚都穿着连衣裙去参加游园会。
她们穿的裙子一个是花的，一个是白的，一个是蓝的。
只知道莫文蔚没有穿蓝裙子，王菲既不穿蓝裙子，也不穿花裙子。
请你想一想：
穿白裙子的是哪位？
穿蓝裙子的是哪位？
穿花裙子的是哪位。
分析在所给的条件中，“王菲既不穿蓝裙子，也不穿花裙子”是关键条件。
因为3个人穿的裙子只有花、白、蓝3种颜色，因此蓝花两种颜色，王菲只能穿白色裙子。
又知道“莫文蔚没有穿蓝的”，结合已推断出的“王菲穿白色裙子”，因此莫文蔚只能穿花裙子。
3种颜色中已确定了两种，剩下的李娜必定穿蓝色裙子。
解穿白裙子的是王菲，
穿蓝裙子的是李娜，
穿花裙子的是莫文蔚。
例[2]有甲、乙、丙、丁4人同住在一座4层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生。
如果已知：
①甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第4层。
②医生住在教师的楼上，在工人楼下，工程师住最低层。
问：
甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？
各自的职业是什么？
分析我们分别对本例的两个问题加以讨论
（1）由已知条件①可知，丁住在第4层，是最高层，于是甲、乙、丙只能住在1、2、3这三层之中了，因为条件①还告诉我们，“甲比乙住的高，比丙住的低“，所以甲肯定住在第二层，而丙住在第3层，乙住在第1层。
（2）由条件②知道，工程师住在最低层，这说明工程师是住在第1层的。
那么，医生、教师、工人一定住在2、3、4层。
条件②还告诉我们：
“医生住在教师的楼上”，这说明医生不是住3层就是4层。
又由于“医生住在工人的楼下”，所以医生只能住在3层，工人住在第4层，教师住在第2层。
我们把
（1）、
（2）联系起来，就得到最后的答案。
解甲：
教师——住2层。
乙：
工程师——住1层。
丙：
医生——住3层。
丁：
工人——住4层。
例[3]对某班同学进行了调查，知道如下情况：
①有哥哥的人没有姐姐。
②没有哥哥的人有弟弟。
③有弟弟的人有妹妹。
请问：
（1）有姐姐的人没有哥哥，对吗？
（2）有弟弟的人没有哥哥，对吗？
（3）没有哥哥的人有妹妹，对吗？
分析
（1）由已知条件①知道：
“有哥哥的人就没有姐姐”，所以有姐姐的人就不可能有哥哥。
如果有姐姐的人有哥哥，由条件①，有哥哥的人没有姐姐。
这样，既说有姐姐，又说没有姐姐，就自相矛盾了。
所以“有姐姐的人就没有哥哥”是对的。
（2）例如，马有4条腿是对的，但反过来说，有4条腿的就是马，就不对了。
类似地，由已知条件②，没有哥哥的人有弟弟，但反过来说，有弟弟的人没有哥哥，是不对的。
（3）由②知道：
“没有哥哥的人有弟弟”，又由③知道：
“有弟弟的人就有妹妹”。
把这两句话联起来分析，就能得出结论是正确的。
解正确的说法有
（1）有姐姐的人没有哥哥
（3）没有哥哥的人有妹妹
例[4]有3顶红帽子、2顶白帽子，现将其中的3顶给排成1列的3人每人戴1顶，每人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不见自己和自己后面人的帽子，同时3人也都不知道剩下的2顶帽子的颜色（但都知道他们3人的帽子是从3顶红帽子、2顶白帽子中取出的）。
先问站在最后边的人：
“你知道你戴的帽子是什么颜色吗？
”
最后边的人回答说：
“不知道。
”
接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人也回答说：
“不知道。
”
听了他们2人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的什么颜色的帽子吗？
分析前面2个人戴的帽子的颜色有下列3种可能的情况：
1．两白。
2．一白一红。
3．两红。
如果前面的两个人戴的都是白帽子，因为总共只有两顶白帽子，那么站在最后面的人就可以断定自己戴的是红帽子。
现在最后面的人说不知道自己戴的是什么帽子，也就是说他看到前面两人的帽子不都是白的。
这样，前两人戴的帽子就有两种可能情况：
一白一红或两红。
如果站在最前面的人戴的是白帽子，那么中间的人就可以断定自己戴的是红帽子（因为中间的人和最后面的人至少有一顶红帽子）。
但现在站在中间的人也说不知道自己戴的是什么帽子，也就是说他看到的最前面的人戴的是红帽子。
解站在最前面的人戴的是红帽子。
小结推理是一个比较复杂的思维过程。
要充分利用题中的已知条件，先试着用你的猜想去对照每个条件，看是否符合。
如果发现矛盾，则要调节思考的方向。
在思维推理过程中，要充分运用已经推断出的结论作为条件，逐级推进，直到作出正确的判断。
在得到结论后，还要学会把结论带到原题中检验。
如果没有矛盾，说明推理正确。
第六讲格点与面积
在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：
右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题
例[1]下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？
F
C
B
EF
D
A
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···················
···················
···················
···················
（1）
（2）（3）（4）
分析题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。
而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。
解图
（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4。
图
（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8。
图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6。
图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。
三角形ABC的面积是长方形AFBC面积的一半，三角形ACD的面积是长方形ACDE面积的一半，所以三角形ABD的面积是
（3×2）÷2
=6÷2
=3
例[2]求下图中各图的面积。
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（1）
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（2）
分析我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。
由上图可以看出，图
（1）可以分成两块：
一块是长方形，另一块是一个三角形。
可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三角形的面积。
或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图
（2）。
所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。
解法一如图
（1），左边长方形的面积是4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图形的面积是12＋6=18。
解法二如图
（2），大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：
36÷2=18。
例[3]求下列左图的面积。
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分析和例[2]的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会计算面积的图形，这样就可以计算出所给图形的面积。
解将图形ABCD分成三角形ABD和三角形BCD（上右图），又三角形ABD的面积等于长方形BDFE的面积的一半，所以三角形ABD的面积为（4×3）÷2=6，则图形ABCD的面积为6×2=12。
例[4]求下图中图形的面积。
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