山西省山大附中届高三月考数学理.docx

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山西省山大附中届高三月考数学理

山西大学附中2014年高三第一学期12月月考

数学试题（理科）

考试时间：

120分钟满分：

150分

1．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）

1.设不等式的解集为，函数的定义域为，则

A.B.C.D.

2.若复数满足，则的虚部位

A.B.C.1D.

3.命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是

A.若不是偶数，则都不是偶数B.若不是偶数，则不都是偶数

C.若都不是偶数，则不是偶数D.若不都是偶数，则不是偶数

4.已知等差数列且，则数列的前13项和为

A.24B.39C.52D.104

5.若抛物线的焦点坐标是（0,1），则

A.1B.C.2D.

6.已知函数在处取得最大值，则函数是

A.偶函数且它的图像关于点对称B.偶函数且它的图像关于点对称

C.奇函数且它的图像关于点对称D.奇函数且它的图像关于点对称

7.执行如图所示的程序框图，若，取，则输出的值为

A.B.C.D.

8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

9.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为

A.B.C.D.

10.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数的图像上，那么实数的取值范围为

A.B.C.D.

11.已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

12.已知椭圆C:

的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

A.B.C.D.

2．选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量，如果向量与垂直，则的值为

14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有种.

15.圆关于直线对称，则的取值范围是

16.函数，则此函数的所有零点之和等于

3．解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）

17.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．

（1）若的面积为，求的长；

（2）若，求角的大小．

18.已知函数为偶函数，数列满足，且

（1）设，证明：

数列为等比数列

（2）设，求数列的前项和

19.如图，在三棱锥中，

（1）求证：

平面⊥平面

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若动点在底面三角形ABC上，二面角的余弦值为，求的最小值.

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两恻的动点，

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②当运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

21.已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。

把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为

（1）已知函数，若且，求实数的取值范围

（2）已知，且存在常数，使得对任意的，都有，求的最小值

请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）

22.己知抛物线的顶点M到直线（t为参数）的距离为1

（1）求；

（2）若直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，求的值

23.设，其中

（1）当时，求不等式的解集

（2）若时，恒有，求的取值范围

BABCDBADABAD

13.已知向量，如果向量与垂直，则的值为

14.（理科）有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1，2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有1020种.

（文科）在三棱锥中，侧棱两两垂直，，则三棱锥的外接球的表面积为

15.圆关于直线对称，则的取值范围是

16.函数，则此函数的所有零点之和等于8

17.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．

（1）若的面积为，求的长；

（2）若ED＝，求角的大小．【解析】

（1）由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝.

在△BCD中，由余弦定理，得

CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝.∴CD＝.

∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cosA＝，所以A＝

18.已知函数为偶函数，数列满足，且

（1）设，证明：

数列为等比数列

（2）设，求数列的前项和

19.（理科）如图，在三棱锥中，

（1）求证：

平面⊥平面

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.

（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面4分

（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O（0,0,0）,B（2,0,0）,A（0,-2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,）,5分

∴设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取6分

∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.8分

（3）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵又因为

∴取

∴∴11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离.

（文科）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，

为的中点，

（1）求证：

平面；

（2）过点作于点，求证：

直线平面

（3）若四棱锥的体积为3，求的长度

【解析】

（1）连接设,连接OD,证明即可.

（2）解本题的关键是证明和即可.

（3）设,然后把高BE用x表示出来,再根据,利用体积公式建立关于x的方程即可解出x的值

（1）证明:

连接设,连接1分

是平行四边形,点O是的中点,

是AC的中点,是的中位线,

2分

又

AB1//平面BC1D4分

（2）

6分,

又7分

直线BE平面8分

（2）的解法2:

5分

直线BE平面8分

（3）由

（2）知BE的长度是四棱锥B—AA1C1D的体高

设9分

10分

11分

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P（2，3），Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

试题解析：

解：

（1）设椭圆的方程为，则.由，得∴椭圆C的方程为.

（2）①解：

设，直线的方程为，代入，

得由，解得

由韦达定理得.四边形的面积∴当，.……4分

②解：

当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为

则的斜率为，的直线方程为由

（1）代入

（2）整理得

同理的直线方程为，可得

∴

所以的斜率为定值.…………12分.

22.已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。

把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为

（1）已知函数，若且，求实数的取值范围

（2）已知，且存在常数，使得对任意的，都有，求的最小值

22.己知抛物线的顶点M到直线（t为参数）的距离为1

（1）求；

（2）若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值

试题解析：

（1）M（0，m）,直线l的一般方程

M到直线的距离为，解得或4分

（2）直线与抛物线相交于A、B两点，故．

将直线l的一个标准参数方程为代入抛物线得，

故,=10分

24.设，其中

（3）当时，求不等式的解集

（4）若时，恒有，求的取值范围

（1）

（2）