导数单调性分类讨论.docx

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导数单调性分类讨论

类型二：

导数单调性专题

类型1.导数不含参。

类型2.导数含参。

类型3:

要求二次导

求单调性一般步骤：

（1）第一步：

写出定义域，一般有Inxx0

（2）第二步：

求导，（注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比o大，故去死

若无分母，因式分解（提公因式，十字相乘法）或求根

（观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）“一」「fx0解出是增区间

⑶第三步由fxo解出是减区间

（4）下结论

一次型f,xkxb如：

3x2

类型一：

导函数不含参：

二次型f,xax2bxc如:

2x2x1

指数型f,xexm如ex2

对于这类型的题，直接由导函数大于0,小于0即可（除非恒成立）例题1求函数fxx3ex的单调递增区间

解：

fxexx3exexx2

由fx

xo

ex2

0

x

2

所以函数在区间2,

单调递增

由f'x

exx2

0

x

2

所以函数在区间

2单调递减

例题2:

求函数f

x

x

xe

1

丄x2的单调区间

2

解:

f'

xex1

xex

x

ex

1xex1ex11x

由f'x

ex1x1

0x1或x0所以函数在区间

1和0,

由f'x

ex1x1

01x0所以函数在区间1,0

单调递减

例题3:

求函数fx

lnx的单调区间

x

单调递增

例题4:

已知函数fx

x1exkx2kR

（1）若k1时，求函数fx的单调区间

例题5.（2010新课标全国文，21）设函数f（x）=x（ex—1）—ax2.

1

（1）若a=2，求f（x）的单调区间;

例题6:

已知函数fxax1e2xx1

（1）若a0，求函数fx的单调区间

7.【2012高考天津文科20】（二次不含参）

已知函数f（x）-^x31ax2axa，x其中a>0.

32

（I）求函数f（x）的单调区间；

8•已知函数f（x）

Inx

（I）求函数f（x）的单调区间;

一次参型

f,x

axb

类型二：

导函数含参类型：

二次参型

f,x

2.2.2

axxc/xaxc/xxa

指数参型

f，x

x

em

9:

求函数fxexax的单调区间（指数参）

例题10.（2009北京理）（一次参）设函数f（x）xekx（k0）

（I）求曲线yf（x）在点（0,f（0））处的切线方程；

（U）求函数的单调区间；

例题11.（二次参）设函数f（x）-x3（1a）x24ax24a，其中常数a1

3

（I）讨论的单调性;

（n）若当x>0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围

例题12:

求函数fx1aexa0在一，0上的单调区间

x

例题13.（2009安徽卷理）（二次参）

2

已知函数f（x）x-a（2Inx）,（a0），讨论的单调性.

x

14.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）

已知函数fx2x2axa1|nx，其中，讨论函数的单调性。

15.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

已知函数f（x）x33ax1,a0

求的单调区间；

16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f（x）=e<—ax—2

（I）求f（x）的单调区间

17.【2012高考全国文21】

已知函数f（x）-x3x2ax

3

（I）讨论f（x）的单调性；

18.【2018高考全国文21】

已知函数fxaexlnx1.

（1）设x2是fx的极值点.求a，并求fx的单调区间;

训练：

⑴求函数fxexax1的单调区间

训练:

（2）求函数fxInxax

1x2的单调区间

2

训练:

（3）求函数fxInxax

的单调区间

训练：

（4）求函数fxaxa1ln（x1）a1的单调区间

训练：

（5）求函数fxxekx的单调区间

近3年全国高考导数试题

x1alnx

1.（2017全国卷3）已知函数fx

（1）若fx0，求a的值

（1）求a的值

x，

3.（2017全国卷1）已知函数fxae2xa2ex

（1）讨论fx的单调性

证明：

fx在

0上单调递减，在0,

上单调递增

Inx

1

5.（2015全国卷1）已知函数fxx3axgx

4

（1）当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线。

6.（2017全国卷文1）已知函数fxexexaa2x,

（1）讨论fx的单调性

7.（2017全国卷文2）已知函数fxex1x2

（1）讨论fx的单调性

8.（2016全国文卷2）已知函数fx

x1lnxax1,

⑴当a4时，求曲线yfx在1,f1处的切线。

2

9.（2016全国文卷1）已知函数fxx2exax1有两个零点,

（1）求实数a的取值范围

（2）若fx有两个零点，求a的取值范围

（1）讨论函数fx的导函数f,x的零点个数

11..（2018全国文卷1）

已知函数f（x）aexlnx1.

（1）设x2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间

12（2011湖南）

1已知函数fxx—ainxaR.

x

（1）讨论函数f（x）的单调性

13.（2018全国文卷2）

1

已知函数.fx」x2a（x2x1）

3

1.设a3时，并求f（x）的单调区间

1

14.（2018全国理科）已知函数fxxalnxaR.

x

（1）讨论函数f（x）的单调性

这三道选择题是引入课题不用多讲，然后总结做单调性步骤

1.函数壬曲口恣一詡的递增区间为（）

A&—哲+切BE，+x）

C.r-fid.

2.函数心）-2启血的递增区间是（）

3函数•—单调递增区间是（）

4.已知函数.：

_乩

匕1:

求函数&■的单调区间；

5.已知函数躯）=世学.

（1）求函数「的单调区间;

6.已知函数ii•[二心】:

血•1.

〔I”：

当已一1时，求躯）的单调区间;

7.已知函数缺；一_「

⑴若,1=3，求|（却的单调区间；

8.已知函数[■；；j讨论性寸的单调性;

H）设齐】，试讨论&■单调性;

10.已知函数.二缺-汨mb

[■「.讨论十；：

£的单调性；

11.设疋义在]..上的函数|•，一.i.•

/求函数总的单调区间；

12.已知函数I-

（i）讨论”工：

的单调性；

13.已知函数严I

匕I”：

讨论函数f閱的单调性;

（1）讨论层，■在区间匕：

二八上的单调性;

15.已知函数

（1）讨论卜的单调性;

代.已知函数*•..-

（1）讨论，的单调性；

仃.已知函数肛）_-卄乱缺已皂R）|-

（1）讨论卜丸■:

的单调性；

18.已知函数gx）=ax"+x+lnx（a€R）-

19.I讨论•的单调性；

20.

答案

4.I依题意

令hx）.-o,得ors，

令hx）

••仮p的单调增区间为他扫，单调减区间为（匕+切;

5.函数的导数卅小“們-，

怒）二—再—二Kr血t）

议或对=》】nxT，玉"7，则酌―则驭为减函数，

又.I,

则当k“T时，或刘⑴=0，此时f（x）<<■，此时旳）为减函数，当0

（2）=0，此时|f（x）>0，此时良）为增函数・即函数」加的增区间为（减区间为h*4菠*

15.解：

厂•函数的定义域为4-汀

16.函数的导数

17.设或対二M-axJI，

18.当比恵时，卜冥小寸恒成立，即「•■,■恒成立，此时函数亍拥在述，上是减函数，

19.当|时，判别式二^

20.①当I）0，即代刈屹殆恒成立，此时函数血◎在復+眄上是减函数,

21・②当22时，也卜〔对，欣）的变化如下表：

22.

11-A2-4」

ijijflr一4a+',1'I

i+J/"

a+Jac4

（0，2）

2

C2*2

rX

（2、+9）

kx）

-

0

+

J■

-

&）

递减

递增

递减

综上当.•时，•在|..上是减函数,

则"曲讣‘口上是增函数.

23.解:

）|函数卜制的定义域为庄；址」

24=1】・d+x+Hd+xU（-x+!

）（.»+

'1E-严？

二=二'

25.令f⑴丸，则A1，£讦吕沙1,/0）舍去•

26.令则x>!

，令畑CO,则0、八1，

27.所以当xW（l,+血）时，函数foe单调递增；当kw（01）时，函数堀X）单调递减;

28•匕i:

解：

因为丨」1阳”〕:

:

:

一

也求导忙（对€十并十（九十］严仝.号沁严山（—0），

30.①当入丸时，烬）=”1“恒成立，此时卜二Rm）在①4⑥上单调递增；

31②当a>0,由于x>0,所以（2ax+lXx^l）>0恒成立，此时y=扮在％+他）上单调递增;

32.③当*0时，令fCx）=o,解得：

兀=」■•

33.因为当k•耳尹歸沁、当•二•十母:

天:

厂一

34.所以卜“吃在上单调递增、在

35.

35.综上可知：

当［时或<|在右-■■上单调递增,

一、U，得护-玄；>0，即x>Ina，由卜（灯叱0，得x-ina-

40.「•函数的单调增区间为：

卜忌—叱，减区间为厂.；

12十:

的定义域为耸.品，I-

①当口时，枚刈C0,所以心）在（0,+怕）上单调递减,

k，旳”：

，7.-1的变化情况如下表:

\^2a

r辰、（三+）

+

-

单调递增

单调递减

所以，I在厂三上单调递增；在—上单调递减.

综上，当时，在「•上单调递减；

当时，怦和在回上单调递增；在-血上单调递减.

41.

十叱皿1-吐3

42.当■□时，他）：

川恒成立，••麻在©+00）上单调递增，

43.当时，由兀丘（①丄）时，尸（幻」0，••扳％）单调递增，

44.由=,：

+，旳时，|，•/刽单调递减，

45.综上所述：

当卜严疔时，氐在，上单调递增，

46.当时，,.在1上单调递增，在「二*.、，p单调性递减，

48.「.fp二—4二報3（1一时,

小呵]+就僅+釧_（L+axXi+1^1

49.'41丰陶H2戸＞0，•••当】-日兰。

时，即心1时，他）乙恒成立,

50.则函数「在，单调递增，

51.

当时，由得1,

52.则函数在〕

15.函数&刘的定义域是（伉4C6）,

16.|，

18.当，-.、、；:

时，II」、U

19.故在递增，在卜二詔递减,

20.山若k"，当3弓时，卜（x）»0，

21当X口时，％）£0，

13

22.故在匸—递增，在'递减；

23m+A孕x>o?

，

24.①“：

时，由于二，」，故.；：

_：

.-：

：

；,「；：

、、■■:

<|

25.••••［、,•在•r•.递减，

26.②>0时，由『（兀）=和，解得:

=a，

27.在区间（①扪上，，在区间氨斗如上，卜（对丸，

28.•函数在,递增，在「递减，

29.综上，「对时，I•在虽.递减，

30.时，函数|在，.递增，在..递减；

18.,I、

1二TaxHI--=—:

K■■-们

Ai3L

当卜R时,m3,在，上是增函数；

当」门时，由血yU：

寸，得_-—「：

1-：

辽（取正根），

X_4a

在区间…丄丄二内，H是增函数；在区间..-Y-总内，卜i】’八；，I•是减函数.

综上，当a>（i时，林刘的增区间为k伉+賞），没有减区间；

当I时，

化円的减区间是

，增区间是

，十呦

6.（【I）”］时，热）二％-21朋-1，代x）=］_?

，

7.由Fg"）,得『③）丈0，解得：

8.故在递减，在-土递增；

9.

10.67.8910**1314解：

出当b"时，胸二护-aC?

+xT｝，

11所以、7：

；£=：

F_*r时，令iJ：

-.1-广解得卜.L二上

12・当•、•匚|n时，（：

；：

：

..-打，函数是增函数，

13.当览E〔3-2点3*2勺亍I时，卜（并”0,函数是单调递减，

14.综上，血:

在［-曲£-'；』：

，—匚U“，上是增函数，在為上递减.