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立体几何组卷

2014年11月20日zng的高中数学组卷

一．选择题（共10小题）

1．（2013•婺城区模拟）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．

若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．

若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β

C．

若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β

D．

若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

2．（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．

棱柱

B．

棱台

C．

圆柱

D．

圆台

3．在空间，下列命题正确的是（　　）

A．

平行直线在同一平面内的射影平行或重合

B．

垂直于同一平面的两条直线平行

C．

垂直于同一平面的两个平面平行

D．

平行于同一直线的两个平面平行

4．（2014•临汾模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（　　）

A．

没有

B．

有一条

C．

有无数条

D．

a内所有直线

6．已知直线a、b和平面M、N，且a⊥M，那么（　　）

A．

b∥M⇒b⊥a

B．

b⊥a⇒b∥M

C．

N⊥M⇒a∥N

D．

a⊄N⇒M∩N≠φ

7．下列说法中，正确的个数是（　　）

（1）平行于同一平面的两条直线平行．

（2）直线a平行于平面α内的一条直线b，那么直线a∥平面α．

（3）若两平行直线中的一条与平面α相交，那么另一条也与平面α相交．

（4）直线a与平面α内的无数条直线相交，那么直线a在平面α内．

A．

B．

C．

D．

8．m，n为异面直线，P为m，n外一点，则过点P与m，n都平行的平面有（　　）

A．

1个

B．

0或1个

C．

1或2个

D．

无法确定

9．三个不重合的平面，能把空间分成n个部分，则n的所有可能值为（　　）

A．

4、6、7

B．

4、7、8

C．

4、6、7、8

D．

4、5、6、8

10．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）

A．

平行

B．

相交

C．

异面

D．

以上都有可能

二．填空题（共4小题）

11．（2014•河西区三模）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为

，底面边长为

，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　_________　．

12．（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　_________　．

13．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有　_________　个．

14．如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有　_________　条．

三．解答题（共5小题）

15．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

（1）线段MP和NQ相交且互相平分；

（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

16．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；

（Ⅰ）求证：

MN∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：

MN⊥CD．

17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是下底面ABCD的中心，E、F、G分别是DC、BC、CC1的中点．求证：

C1O∥平面EFG．

18．已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β=c，β∩γ=a，γ∩α=b，若a和b不平行．求证：

a，b，c必过同一点．

19．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

2014年11月20日zng的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2013•婺城区模拟）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．

若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．

若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β

C．

若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β

D．

若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．

解答：

解：

选择支C正确，下面给出证明．

证明：

如图所示：

∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．

∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．

∵n⊥β，∴l⊥β，

∵l⊂α，∴α⊥β．

故C正确．

故选C．

点评：

正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．

2．（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．

棱柱

B．

棱台

C．

圆柱

D．

圆台

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答：

解：

由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，

从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，

则该几何体可以是圆台．

故选D．

点评：

考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

3．在空间，下列命题正确的是（　　）

A．

平行直线在同一平面内的射影平行或重合

B．

垂直于同一平面的两条直线平行

C．

垂直于同一平面的两个平面平行

D．

平行于同一直线的两个平面平行

考点：

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

平行直线在同一平面内的射影平行，或重合，或是两个点；由直线垂直于平面的性质定理知B正确；垂直于同一平面的两个平面平行或相交；平行于同一直线的两个平面平行或相交．

解答：

解：

平行直线在同一平面内的射影平行，或重合，或是两个点，故A不正确；

由直线垂直于平面的性质定理知：

垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；

垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故C不正确；

平行于同一直线的两个平面平行或相交，故D不正确．

故选B．

点评：

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

4．（2014•临汾模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

由三视图可知：

该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．据此即可计算出其体积．

解答：

解：

由三视图可知：

该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．

∴VP﹣ABC=

=4．

故选B．

点评：

由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

5．直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（　　）

A．

没有

B．

有一条

C．

有无数条

D．

a内所有直线

考点：

专题：

数形结合．

分析：

画出图形，结合图形举例说明即可．

解答：

解：

如图

过点B作BC⊥α，则AB在平面α内的射影是AC然后过点A作AC的垂线，

而在平面α内与AC平行的直线有若干条，如图中的直线c

故选：

点评：

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，结合数形结合的数学思想，属于基础题之列．

6．已知直线a、b和平面M、N，且a⊥M，那么（　　）

A．

b∥M⇒b⊥a

B．

b⊥a⇒b∥M

C．

N⊥M⇒a∥N

D．

a⊄N⇒M∩N≠φ

考点：

专题：

证明题．

分析：

本题要求学生要熟练运用直线与平面垂直的性质，数形结合，考虑多种情况

解答：

解：

对于A，如图A所示：

过直线b作平面N与平面M相交于直线l，由直线与平面平行的性质定理可知：

b∥l，又因为a⊥M，l⊂M，所以a⊥l，所以b⊥a，则A正确；

选项B、C均少考虑了直线在面内的情况，分别如图B、C所示，均错误；

对于D、用排除法，如图D所示，M∥N，D错误；

故选A．

点评：

这种题型属于易错题，其实难度不大，经常考虑不到的情况就是平行里面要注意排除的“直线在面内”的情况，学生可充分利用数形结合去解答

7．下列说法中，正确的个数是（　　）

（1）平行于同一平面的两条直线平行．

（2）直线a平行于平面α内的一条直线b，那么直线a∥平面α．

（3）若两平行直线中的一条与平面α相交，那么另一条也与平面α相交．

（4）直线a与平面α内的无数条直线相交，那么直线a在平面α内．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

利用线面的位置关系定理即可判断出．

解答：

解：

（1）平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故不正确．

（2）由线面平行的判定定理可知：

平面外的一条直线a平行于平面a内的一条直线b，那么直线a∥平面α．因此

（2）不正确．

（3）两平行直线中的一条与平面α相交，那么另一条也与平面α相交，利用反证法可证明正确．

（4）直线a与平面α内的无数条直线相交，那么直线a在平面α内或a与α相交，故不正确．

综上可知：

只有（3）正确．

故选B．

点评：

熟练掌握线面位置关系的有关判定定理是解题的关键．

8．m，n为异面直线，P为m，n外一点，则过点P与m，n都平行的平面有（　　）

A．

1个

B．

0或1个

C．

1或2个

D．

无法确定

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

利用“m，n为异面直线，则存在唯一一对平面α∥β，使得m⊂α，n⊂β．”如图所示．及其线面平行的判定定理即可得出．

解答：

解：

∵m，n为异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，使得m⊂α，n⊂β．如图所示．

①当点P∈α或P∈β时，不存在过点P与m，n都平行的平面；

②当点P∉α且P∉β时，存在唯一过点P的平面γ，使得γ∥m，且γ∥n．

综上可知：

过点P与m，n都平行的平面有0或1个．

故选B．

点评：

熟练掌握结论“m，n为异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，使得m⊂α，n⊂β．”及其线面平行的判定定理是解题的关键．

9．三个不重合的平面，能把空间分成n个部分，则n的所有可能值为（　　）

A．

4、6、7

B．

4、7、8

C．

4、6、7、8

D．

4、5、6、8

考点：

专题：

探究型．

分析：

分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．

解答：

C解：

若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分；

故n等于4，6，7或8．

故选C．

点评：

本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．考查学生的空间想象能力．

10．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）

A．

平行

B．

相交

C．

异面

D．

以上都有可能

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．

解答：

解：

分两种情况：

①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．

故选D

点评：

本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．

二．填空题（共4小题）

11．（2014•河西区三模）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为

，底面边长为

，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　．

考点：

专题：

压轴题；空间位置关系与距离．

分析：

先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．

解答：

解：

如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=

sh=

（

）×OH=

，

∴OH=

，

在直角三角形OAH中，OA=

所以表面积为4πr2=24π；

故答案为：

24π．

点评：

本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．

12．（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．

解答：

解：

根据三视图可知，该几何体该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，

圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，

四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．

故其体积为：

22π×4﹣22×4=16π﹣16，

故答案为：

16π﹣16．

点评：

本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．

13．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有　1　个．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

在直线l上任意取一个点O，过点O做一条与l不同的直线l′和平面α平行，直线l和直线l′确定一个平面β．再根据平面β内有2条相交直线l和直线l′平行于α，

可得β∥α，故过直线l至少有一个平面和α平行．再用反证法证明β的唯一性．

解答：

解：

设一条直线l和一个平面α平行，在直线l上任意取一个点O，过点O做一条与l不同的直线l′和平面α平行，

则直线l和直线l′是两条相交直线，故直线l和直线l′确定一个平面β．

再根据平面β内有2条相交直线l和直线l′平行于α，∴β∥α，故过直线l至少有一个平面和α平行．

下面说明过此直线l和这个平面α平行的平面只有1个：

假设过此直线l和这个平面α平行的平面还有一个是γ，显然β和γ都平行于α，故有β∥γ，这与β∩γ=l相矛盾，

故假设不对，过此直线l和这个平面α平行的平面只有1个，

故答案为1．

点评：

本题主要考查两个平面平行的判定，用反证法证明数学命题，属于中档题．

14．如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有　12　条．

考点：

专题：

常规题型；证明题．

分析：

在平面DBB1D1的一侧，AB、A1B1、A1D1、AD的中点分别为E、F、G、H，根据面面平行的性质可得这四个点的连线有6条都与平面平面DBB1D1平行．同理可得在平面DBB1D1的另一侧也存在6条直线与平面平面DBB1D1平行，故满足条件的直线一共12条．

解答：

解：

设AB、A1B1、A1D1、AD的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE、EG、FH，

∵平面EFGH∥平面DBB1D1，EF、FG、GH、HE、EG、FH都是平面EFGH内的直线

∴EF、FG、GH、HE、EG、FH都与平面平面DBB1D1平行，共6条直线，

同理，在平面DBB1D1的另一侧也存在6条直线与平面平面DBB1D1平行，

因此，满足条件：

“与平面DBB1D1平行的直线共有”的直线一共有12条．

故答案为12

点评：

本题给出平行六面体模型，要们找出与已知平面平行的直线的条数，着重考查了平行六面体的性质和空间平行位置关系的判定等知识，属于基础题．

三．解答题（共5小题）

15．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

（1）线段MP和NQ相交且互相平分；

（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

考点：

专题：

证明题；综合题．

分析：

（1）M、N、P、Q是相应边的中点，由中位线定理易得MN∥AC，MN=

AC．PQ∥CA，PQ=

CA，从而知MNPQ是平行四边形，对角线互相平分；

（2）由

（1）知AC∥MN．由线面平行的判定定理易证AC∥平面MNP，同理BD∥NP，由线面平行的判定定理易证BD∥平面MNP．

解答：

解：

证明：

（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=

AC．

∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=

CA．

∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．

∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

（2）由

（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC⊄α．

否则，若AC⊂α，

由A∈α，M∈α，得B∈α；

由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，

与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．

又∵MNÌα，∴AC∥α，

又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．

又∵BD∥NP，BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP

∴BD∥平面MNP．

点评：

本题主要考查平行四边形中的平行关系和线面平行的判定宝理，同时培养学生空间和平面的转化化归能力．

16．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；

（Ⅰ）求证：

MN∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：

MN⊥CD．

考点：

专题：

证明题．

分析：

（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE，AE，根据中位线可知NE∥CD且

，AM∥CD且

，则AM∥NE且AM=NE，从而四边形AMNE为平行四边形，所以AE∥MN，又因AE⊂在平面PAD，MN⊄在平面PAD，根据线面平行的判定定理可知A1C∥平面BDE，从而MN∥平面PAD．

（Ⅱ）根据PA⊥矩形ABCD则PA⊥CD，又因四边形ABCD为矩形则AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，又因AE⊂在平面PAD，根据线面垂直的性质可知CD⊥AE，根据AE∥MN，可知MN⊥CD．

解答：

证明：

（Ⅰ）取的PD中点为E，并连接NE．AE∵M、N分别为AB、PC的中点

∴NE∥CD且

，AM∥CD且

∴AM∥NE且AM=NE

∴四边形AMNE为平行四边形∴AE∥MN

又∵又AE⊂在平面PAD，MN⊄在平面PAD∴A1C∥平面BDE．

∴MN∥平面PAD（4分）

（Ⅱ）证明：

∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又

∵四边形ABCD为矩形∴AD⊥CD

∴CD⊥平面PAD

又∵AE⊂在平面PAD∴CD⊥AE

再∵AE∥MN

∴MN⊥CD

点评：

本小题主要考查直线与平面平行，以及空间两直线的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．

17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是下底面ABCD的中心，E、F、G分别是DC、BC、CC1的中点．求证：

C1O∥平面EFG．

考点：

专题：

证明题．

分析：

要证C1O∥平面EFG，只要证明C1O平行于平面EFG内的一条直线即可，结合给出的中点，可利用与三角形的中位线知识证明线线平行，从而得到线面平行．

解答：

证明：

如图，

由题意知AC∩BD=O，连结EG、FG，连结EF交AC于H，连结GH，

∵E、F分别是DC、BC的中点，∴EF∥BD，∴CH：

HO=CF：

FB，∴H为CO的中点，

又G是CC1的中点，∴GH∥OC1．

OC1⊄平面EFG，GH⊂平面EFG，

∴C1O∥平面EFG．

点评：

本题考查了直线与平面平行的判定，关键是借助于三角形的中位线找平行线，是中档题．

18．已知三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β=c，β∩γ=a，γ∩α=b，若a和b不平行．求证：

a，b，c必过同一点．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上．

解答：

解：

若c与b交于一点，可设c∩b=P．

由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；

∴P∈β∩γ=a；

所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．

点评：

本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，考查学生的推论能力．

19．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．求证：

四边形EFGH是平行四边形．

考点：

专题：

证明题．

分析：

只需证明FG∥EH，且FG=EH即可．依据是平行公理四：

和同一条直线平行的直线平行．

解答：

证明：

如图，连接BD．

因为FG是△CBD的中位线，

所以FG∥BD，FG=

BD．

又因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，EH=

BD．

根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．

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