第一章证明2九上数学.docx
《第一章证明2九上数学.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一章证明2九上数学.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第一章证明2九上数学
第一章证明
(二)知识点归纳例题讲解与单元试题
知识点归纳
※等腰三角形的“三线合一”:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的
直角三角形,其中一个锐角等于30º,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有:
①勾股定理:
(注意区分斜边与直角边)
②在直角三角形中,如有一个内角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现)
※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
(注意着重号的意义)
<直线与射线有垂线,但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
(如图1所示,AO=BO=CO)
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理:
在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
(如图2所示,OD=OE=OF)
例题讲解
(一)选择题:
1.设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个图中,能表示他们之间关系的是()
答案:
A
2.具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
答案:
C
3.△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,CD⊥AB于点D,若BC=a,则AD等于()
答案:
C
4.下列命题的逆命题是真命题的是()
A.对顶角相等B.若a=b,则|a|=|b|
C.末位是零的整数能被5整除D.直角三角形的两个锐角互余
答案:
D
5.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为()
A.30°B.36°C.45°D.70°
答案:
B
6.下列说法错误的是()
A.任何命题都有逆命题B.定理都有逆定理
C.命题的逆命题不一定是正确的D.定理的逆定理一定是正确的
答案:
B
(二)填空题:
1.如果等腰三角形的一个角是80°,那么另外两个角是____________度。
答案:
50°,50°或80°,20°
2.等腰三角形底角15°,则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是__________。
答案:
150°,75°
3.在△ABC和△ADC中,下列论断:
①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC=DC,把其中两个论断作为条件,另一个论断作为结论,写出一个真命题:
____________。
答案:
在△ABC和△ADC中,如果AB=AD,∠BAC=∠DAC,那么BC=DC。
4.如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知:
AB=8cm,BC=10cm,则△EFC的周长=____________cm。
答案:
12cm
(三)作图题:
已知:
如图,△ABC中,AB=AC。
(1)按照下列要求画出图形:
①作∠BAC的平分线交BC于点D;
②过D作DE⊥AB,垂足为点E;
③过D作DF⊥AC,垂足为点F。
(2)根据上面所画的图形,求证:
EB=FC。
答:
①②③略
(2)证:
(四)阅读下题及其证明过程:
已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,求证:
∠BAE=∠CAE。
证明:
在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:
上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪?
答:
错无SSA
(五)解答题:
1.已知,如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10cm,求△ODE的周长;
解:
△DOE的周长为10cm,提示:
证OD=BD,OE=EC
2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD。
解:
(1)先证DE=EB,
(2)证△ACD≌△AED,即得AC=AE,∴AB=AC+CD
3.已知:
如图,D是等腰△ABC底边BC上一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。
(1)当D点在什么位置时,DE=DF?
并加以证明。
(2)探索DE、DF与等腰△ABC的高的关系。
解:
(1)D为BC中点时,DE=DF,证明略。
(2)DE+EF=等腰△ABC腰上的高
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证:
AD垂直平分EF。
证:
5.如图1,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN是等边三角形,直线AN,MB交于点F。
图1图2
(1)求证:
AN=BM;
(2)求证:
△CEF为等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第
(1)、
(2)两小题的结论是否仍然成立。
(不要求证明)
解:
(1)证△ACN≌△BCM
(2)
(3)
(1)成立;
(2)不成立
单元试题
(一)
一.选择题(本题共5小题,每题3分,共15分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将所选项的字母写在题目后面的括号里.
1.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则∠B的度数为()
A.20°B.70°C.70°或20°D.无法确定
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=14,BD平分∠ABC,交AC于D,AD∶DC=5∶2,则点D到AB的距离为()A.10B.4C.7D.6
3.如图,△ABC中,AB=AC=BD,AD=DC,则∠BAC的度数为( )
A.120°B.108°C.100°D.135°
4.如图,△ABC中,∠B,∠C的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC,若BD+CE=5,则DE等于( )A.7B.6C.5D.4
5.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=a,则
等于( )
A
A.
B.2 C.
D.
二.填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分)请把下列各题的正确答案填写在横线上.
6.等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则其他两边长为________________
7.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2,则等腰三角形的顶角为
8.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,
,AB=18cm,BC=12cm,则DE=cm.
9.如图,把一张矩形纸片ABCD沿BD对折,使点C落在E处,BE与AD相交于点O,若BC=8,EO=3,则CD=
10.如图,△ABC中,BC=5,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,则△ADE的周长是.
第8题
第9题
第10题
三.解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
11.(2008中考·广东)如图,在ΔABC中,
.用尺规作图作BC边上的中线AD(保留作图痕迹,不要求写作法、证明),并求AD的长.
12.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。
(1)若CD=5,求AC的长。
(2)求证:
AB=AC+CD
13.在△ABC中,AB=BC=12,∠ABC=80°,BD是∠ABC的角平分线,
DE∥BC。
(1)求∠EDB的度数;
(2)求DE的长。
14.如图,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线D
胶AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与A相交于点F,
求∠A的度数。
15.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积。
单元试题
(二)
一、选择题
1、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数是()
(A)30°(B)36°(C)45°(D)54°
2、如图,等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是()
A.45°B.55°C.60°D.75°
3、如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF.②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、如图,以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出()
A.2个B.4个C.6个D.8个
5、如图,△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,则∠ADB的度数是()
A.36°B.45°C.60°D.72°
6、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD、BE是△ABC的角平分线,CD、BE相交于点O,则图中等腰三角形有()A.6个B.7个C.8个D.9个
7、已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为()
A.36°B.45°C.60°D.72°
8、等腰直角三角形的斜边长为a,则其斜边上的高为()
A.
B.
C.
D.
9、下列两个三角形中,一定全等的是()
(A)有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形(B)两个等边三角形
(C)有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
(D)有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC中,∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,则∠B=;
2.如果三角形有两边的长分别为5a,3a,则第三边x必须满足的条件是;
3.等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是;
4.在△ABC中,已知AB=AC,AD是中线,∠B=70°,BC=15cm,则∠BAC=,∠DAC=,BD=cm;
5.在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AB=3,AC=4,则AD=;
6.在等腰△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分线交另一腰AC于D,连结BD,如果△BCD的周长是17cm,则△ABC的腰长为.
7、如图,已知AC=DB,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是或.
8、已知,如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10cm,则△ODE的周长.
9、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB相交于D点,则∠BCD的度数是.
10、如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD的长为.
11、如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分DAB,且AB=AC,AC=AD,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC=
∠DAB;④△ABC是正三角形。
请写出正确结论的序号(把你认为正确结论的序号都填上)。
三、证明题
1、已知D是Rt△ABC斜边AC的中点,DE⊥AC交BC于E,且∠EAB∶∠BAC=2∶5,求∠ACB的度数.
2、已知:
如图,AB=AC,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,求证:
BD=CE.
3、已知:
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:
BD=DE.
4、已知:
如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为BC、AC上的点,且AE=CD,连 结AD、BE交于点P,作BQ⊥AD,垂足为Q.求证:
BP=2PQ.
5、如图,AD⊥CD,AB=10,BC=20,∠A=∠C=30°,
求AD、CD的长.