第一章证明2九上数学.docx

1、第一章证明2九上数学第一章证明(二)知识点归纳例题讲解与单元试题知识点归纳等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：（注意区分斜边与直角边）在直角三角形中，如有一个内角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条

2、线段的直线。（注意着重号的意义）线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。(如图2所示，OD=OE=OF)例题讲解（一）选择题： 1. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三

3、角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（ ） 答案：A 2. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ） A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等 答案：C 3. ABC中，A：B：C=1：2：3，CDAB于点D，若BC=a，则AD等于（ ） 答案：C 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若a=b，则|a|=|b| C. 末位是零的整数能被5整除 D. 直角三角形的两个锐角互余 答案：D 5. 如图，ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度

4、数为（ ） A. 30 B. 36 C. 45 D. 70 答案：B 6. 下列说法错误的是（ ） A. 任何命题都有逆命题 B. 定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定是正确的 D. 定理的逆定理一定是正确的 答案：B（二）填空题： 1. 如果等腰三角形的一个角是80，那么另外两个角是_度。 答案：50，50或80，20 2. 等腰三角形底角15，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是_。 答案：150，75 3. 在ABC和ADC中，下列论断：AB=AD；BAC=DAC；BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：_。 答案：在ABC和ADC中，如果A

5、B=AD，BAC=DAC，那么BC=DC。 4. 如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，则EFC的周长=_cm。 答案：12cm（三）作图题： 已知：如图，ABC中，AB=AC。 （1）按照下列要求画出图形： 作BAC的平分线交BC于点D； 过D作DEAB，垂足为点E； 过D作DFAC，垂足为点F。 （2）根据上面所画的图形，求证：EB=FC。 答：略 （2）证： （四）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，D是ABC中BC边上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE。 证明：在AEB和AEC中， AEBAEC（第一步） BAE=C

6、AE（第二步） 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪？ 答：错 无SSA（五）解答题： 1. 已知，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC=10cm，求ODE的周长； 解：DOE的周长为10cm，提示：证OD=BD，OE=EC 2. 如图，在ABC中，AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD。 解：（1） 先证DE=EB， （2） 证ACDAED，即得AC=AE，AB=AC+CD 3. 已知：如图，D是

7、等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。 （1）当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明。 （2）探索DE、DF与等腰ABC的高的关系。 解：（1）D为BC中点时，DE=DF，证明略。 （2）DE+EF等腰ABC腰上的高 4. 如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高。 求证：AD垂直平分EF。证： 5. 如图1，点C为线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形，直线AN，MB交于点F。图1 图2 （1）求证：AN=BM； （2）求证：CEF为等边三角形； （3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，

8、并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。（不要求证明） 解： （1）证ACNBCM （2） （3）（1）成立；（2）不成立单元试题（一）一选择题（本题共5小题，每题3分，共15分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选项的字母写在题目后面的括号里1在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则B的度数为（ ） A20 B70 C70或20 D无法确定 2如图，在ABC中，C=90，AC=14，BD平分ABC，交AC于D，ADDC=52，则点D到AB的距离为（ ）A10 B4 C7 D6 3如图，ABC中，AB=AC=BD，AD=DC，则BAC的

9、度数为（）A120 B108 C100 D1354如图，ABC中，B，C的角平分线相交于点O，过O作DEBC，若BD+CE=5，则DE等于（ ）A7 B6 C5 D45已知在RtABC中，C=90，A=30，AB=a，则等于（ ）AA B2 C D 二填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请把下列各题的正确答案填写在横线上6等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为 _7等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形的顶角为 8如图，BD是ABC的平分线，DEAB于E，AB=18cm，BC=12cm，则DE= cm9如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，

10、BE与AD相交于点O，若BC=8，EO=3，则CD= 10如图，ABC中，BC=5，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则ADE的周长是 第8题第9题第10题三解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11(2008中考广东)如图，在ABC中，用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长12如图，在ABC中，AC=BC，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。(1)若CD=5，求AC的长。(2)求证：AB=AC+CD13在ABC中，AB=BC=12，ABC=80，BD是ABC的角平分线，DEBC。 (1)求EDB的度数；

11、(2)求DE的长。14如图，已知在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线D胶AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与A相交于点F，求A的度数。15如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。(1)求EF的长；(2)求梯形ABCE的面积。单元试题（二）一、选择题1、已知：如图，在ABC中，ABAC，BCBD，ADDEEB，则A的度数是（ ）（A） 30 （B） 36 （C） 45 （D） 542、如图，等边ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是 （ ） A.45 B.55 C.60 D.753、如图，ABC

12、AEF，ABAE，BE，则对于结论ACAFFABEAB，EFBC，EABFAC，其中正确结论的个数是 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（ ）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、如图，ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，则ADB的度数是 （ ）A.36 B.45 C.60 D.726、如图，ABC中，AB=AC，A=36，CD、BE是ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有 （ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个7、已知等腰三角形的一个角为75，则其顶角为 （ ）A.36 B.4

13、5 C.60 D.728、等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为 （ ）A. B. C. D. 9、下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）（A）有一个角是40，腰相等的两个等腰三角形 （B）两个等边三角形（C）有一个角是100，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形二、填空题1 在ABC中，A C 25，B A 10，则B ；2 如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是 ；3 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 ；4 在ABC中，已知ABAC，AD是中线，B70，BC15cm，则BAC ，DAC ，BD cm； 5在AB

14、C中，BAC90，ADBC于D，AB3，AC4，则AD ； 6在等腰ABC中，ABAC，BC5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于D，连结BD，如果BCD的周长是17cm，则ABC的腰长为 . 7、如图，已知AC=DB，要使ABCDCB，只需增加的一个条件是 或 .8、已知，如图，O是ABC的ABC、ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC = 10 cm，则ODE的周长 .9、如图，在RtABC中，B=90，A=40，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则BCD的度数是 .10、如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，则PD的长为 .11

15、、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAB ；ABC是正三角形。请写出正确结论的序号 （把你认为正确结论的序号都填上）。三、证明题1、 已知D是RtABC斜边AC的中点， DEAC交BC于E， 且EABBAC25，求ACB的度数.2、已知：如图，ABAC，CEAB于E，BDAC于D，求证：BDCE.3、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE CD求证：BD DE4、已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AECD，连结AD、BE交于点P，作BQAD，垂足为Q求证：BP2PQ.5、如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，求AD、CD的长.