高考数学总复习 96 空间向量及其运算理但因为测试 新人教B版.docx

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高考数学总复习96空间向量及其运算理但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习9-6空间向量及其运算（理）但因为测试新人教B版

1.（2011·广东揭阳一模）已知a＝（－2,1,3），b＝（－1,2,1），若a⊥（a－λb），则实数λ的值为（　　）

A．－2　　　　　　　B．－

C.D．2

[答案]　D

[解析]　a－λb＝（λ－2,1－2λ，3－λ），由a⊥（a－λb），

得－2（λ－2）＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.

2．（2011·日照模拟）若a＝（2，－2，－2），b＝（2,0,4），则a与b的夹角的余弦值为（　　）[来源:

Z。

xx。

k.Com]

A.B.

C．－D．0

[答案]　C

[解析]　cos〈a，b〉＝＝＝－.

3．空间直角坐标系中，A（1,2,3），B（－2，－1,6），C（3,2,1），D（4,3,0），则直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．垂直B．平行

C．异面D．相交但不垂直

[答案]　B

[解析]　＝（－3，－3,3），＝（1,1，－1），

＝－3，

又＝（5,3，－5），∥\'，

∴AB∥CD.

4．（2011·天津模拟）已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，

即有，

解得m＝，n＝，λ＝.

5．（2011·济宁月考）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝（　　）

A.aB.a

C.aD.a

[答案]　A

[解析]　＝－＝－

＝＋－

＝＋－.

∴||＝＝a.

6．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是（　　）

A．a　　　B．b　　　

C．c　　　D．无法确定

[答案]　C

[解析]　∵a，b，c不共面，

∴p，q，c不共面，若存在x、y∈R，使

c＝xp＋yq＝（x＋y）a＋（x－y）b，

∴a，b，c共面，矛盾．

7．已知a＝（1－t,1－t，t），b＝（2，t，t），则|b－a|的最小值为________．

[答案]　

[解析]　b－a＝（1＋t,2t－1,0），

∴|b－a|＝

＝，

∴当t＝时，|b－a|取得最小值为.

8．（2010·广东理，10）若向量a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），满足条件（c－a）·（2b）＝－2，则x＝______.

[答案]　2

[解析]　∵a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），∴（c－a）·（2b）＝（0,0,1－x）·（2,4,2）＝2（1－x）＝－2，解得x＝2.

9．若a＝（3x，－5,4）与b＝（x,2x，－2）之间夹角为钝角，则x的取值范围为________．

[答案]　

[解析]　∵a与b的夹角为钝角，

∴a·b<0，

∴3x2－10x－8<0，∴－

又当a与b方向相反时，a·b<0，

∴存在λ<0，使a＝λb，

∴（3x，－5,4）＝（λx,2λx，－2λ），

∴，此方程组无解，

∴这样的λ不存在，综上知－

10．（2011·福州模拟）已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．

（1）求以、为边的平行四边形的面积；

（2）若|a|＝且a分别与、垂直，求向量a的坐标．

[解析]　＝（－2，－1,3），＝（1，－3,2）．

（1）因为cos〈，〉＝

＝＝.

所以sin〈，〉＝.

所以S＝||·||sin〈，〉＝7.

即以、为边的平行四边形面积为7.

（2）设a＝（x，y，z），由|a|＝，a⊥，a⊥，

可得

⇒或，

所以a＝（1,1,1）或（－1，－1，－1）.

11.如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若＝a，＝b，＝c，则向量等于（　　）

A．－a＋b＋c

B.a＋b－c

C.a－b－c

D．－a－b＋c

[答案]　C

[解析]　＝＋＝＋

＝（－）－

＝a－b－c.

12．（2011·天津模拟）正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为（　　）

A．1B.

C.D．2

[答案]　C

[解析]　＝＋＝－（＋）＋，

由条件知||＝||＝||＝2，·＝·＝·＝2，

∴||2＝[||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·]＝2，∴||＝.

13．△ABC的顶点分别为A（1，－1,2），B（5，－6,2），C（1,3，－1），则AC边上的高BD等于（　　）

A．5B.

C．4D．2

[答案]　A

[解析]　设＝λ，D（x，y，z），则（x－1，y＋1，z－2）＝λ（0,4，－3），

∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.

∴＝（－4,4λ＋5，－3λ），

又＝（0,4，－3），⊥，

∴4（4λ＋5）－3（－3λ）＝0，

∴λ＝－，∴＝，

∴||＝＝5.

14．（2011·东营期末）若a＝（1,5，－1），b＝（－2,3,5）．

（1）若（ka＋b）∥（a－3b），求k；

（2）若（ka＋b）⊥（a－3b），求k.

（3）以坐标原点O为起点作向量＝a，＝b，求O到直线AB的距离．

[解析]　ka＋b＝（k－2,5k＋3，－k＋5），

a－3b＝（1＋3×2,5－3×3，－1－3×5）

＝（7，－4，－16）．

（1）∵（ka＋b）∥（a－3b），

∴＝＝，解得k＝－.

（2）∵（ka＋b）⊥（a－3b），

∴（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0.

解得k＝.

（3）由条件知A（1,5，－1），B（－2,3,5），

∴＝（－1，－5,1），＝（－3，－2,6），

·＝19，||＝7，

∴O到直线AB的距离d＝＝.

15．已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k（0≤k≤1），求证：

三向量、a、c共面．

[解析]　＝＋＝＋k

＝＋k（－）

＝a＋k（b－a）＝（1－k）a＋kb，

＝k＝k（＋）＝kb＋kc，

＝－＝（1－k）a－kc.

∵向量a和c不共线，∴、a、c共面．

16.如下图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（3）设AB＝BE，证明：

平面ADE⊥平面CDE.

[解析]　

由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如上图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A－xyz.

（1）设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A（0，0,0），B（a,0,0），C（a，b,0），D（0,2b,0），E（a,0，c），G（0,0，c），H（0，b，c），F（0,0,2c）．

所以，＝（0，b,0），＝（0，b,0），

于是＝.又点G不在直线BC上，则GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．理由如下：

由题设知，F（0,0,2c），所以

＝（－a,0，c），＝（－a,0，c），＝，

又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．

（3）由AB＝BE，得c＝a，所以＝（－a,0，a），＝（a,0，a）

又＝（0,2b,0），因此·＝0，·＝0

即CH⊥AE，CH⊥AD，

又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.

故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.

[点评]　如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找（作）出时，可不用向量法求解，本题解答如下：

（1）由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD.

又BC綊AD，故GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以EF∥BG，

由

（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．

又点D直线FH上，

所以C、D、F、E四点共面．

（3）连结EG，由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°知ABEG是正方形，

故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，∴BG⊥ED.

又EC∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.

由

（1）知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由

（2）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.

1．（2011·郑州一中月考）已知向量a＝（1,2,3），b＝（－2，－4，－6），|c|＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．150°

[答案]　C

[解析]　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，

故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，

而|a|＝＝，

所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.

2．（2010·山东青岛）在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为（　　）

A．0B.

C．1D．无法确定

[答案]　A

[解析]　·＋·＋·

＝·（－）＋（－）·＋（－）·

＝·－·＋·－·＋·－·＝0，故选A.

3．如下图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（　　）

A．0

B．1

C．0或1

D．任意实数

[答案]　C

[解析]　可为下列7个向量：

，，，，，，，其中一个与重合，·＝||2＝1；，，与垂直，这时·＝0；，与的夹角为45°，这时·＝×1×cos＝1，最后·＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故选C.

4．（2011·泰安模拟）如下图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于________．

[答案]　－a＋b＋c

[解析]　＝－＝（＋）－

＝（b＋c）－a＝－a＋b＋c.

[点评]　空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．