高中数字必修五第二章 21 数列的概念与简单表示法讲义学案.docx

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高中数字必修五第二章21数列的概念与简单表示法讲义学案

第一课时　数列的概念与简单表示法

预习课本P28～29，思考并完成以下问题

（1）什么是数列？

什么叫数列的通项公式？

（2）数列的项与项数一样吗？

（3）数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？

1．数列的概念

（1）定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列．

（2）项：

数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项（或称为首项），a2称为第2项，…，an称为第n项．

（3）数列的表示：

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

[点睛]　

（1）数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．

（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：

1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….

2．数列的分类

分类标准

名称

含义

按项的个数

有穷数列

项数有限的数列

无穷数列

项数无限的数列

按项的变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

常数列

各项相等的数列

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

[点睛]　

（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．

（2）同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）数列1,1,1，…是无穷数列（　　）

（2）数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列（　　）

（3）有些数列没有通项公式（　　）

解析：

（1）正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．

（2）错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．

（3）正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√

2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的（　　）

A．第100项　　　　　　　B．第12项

C．第10项D．第8项

解析：

选C　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝（舍去）．

3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于（　　）

A．70B．28

C．20D．8

解析：

选C　由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.

4．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________.

解析：

通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此x＝5＋8＝13.

答案：

13

数列的概念及分类

[典例]　下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（　　）

A．1，，，，…

B．sin，sin，sin，sin，…

C．－1，－，－，－，…

D．1,2,3,4，…，30

[解析]　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin，sin，sin，sin，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．

[答案]　C

1．有穷数列与无穷数列的判断

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．

2．数列单调性的判断

判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．

[活学活用]

给出以下数列：

①1，－1,1，－1，…；

②2,4,6,8，…，1000；

③8,8,8,8，…；

④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.

其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．（填序号）

解析：

有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.

答案：

②④　①③　②　④　①　③

由数列的前几项求通项公式

[典例]　

（1）数列，，，，…的一个通项公式是________．

（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．

①，，，，…；

②－3,7，－15,31，…；

③2,6,2,6，….

[解析]　

（1）数列可写为：

，，，，…，分子满足：

3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，

分母满足：

5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，

故通项公式为an＝.

[答案]　an＝

（2）解：

①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，

∴an＝.

②正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，

∴an＝（－1）n（2n＋1－1）．

③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示．

an＝4＋（－1）n·2或an＝

由数列的前几项求通项公式的解题策略

（1）分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．

（2）若n和n＋1项正负交错，那么符号用（－1）n或（－1）n＋1或（－1）n－1来调控．

（3）熟悉一些常见数列的通项公式．

（4）对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．

[活学活用]

写出下列数列的一个通项公式：

（1）0,3,8,15,24，…；

（2）1，－3,5，－7,9，…；

（3）1，2，3，4，…；

（4）1,11,111,1111，….

解：

（1）观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.

（2）数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝（－1）n＋1（2n－1）．

（3）此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.

（4）原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝（10n－1）.

判定数列中项的问题

[典例]　已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．

（1）求这个数列的第4项与第25项；

（2）253和153是不是这个数列中的项？

如果是，是第几项？

[解]　

（1）由题设条件，知an＝＋2n.

∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55.

（2）假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．

假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．

已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．

[活学活用]

数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的（　　）

A．第127项　　　　　　　B．第128项

C．第129项D．第130项

解析：

选B　把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：

；第二组两项：

，；第三组三项：

，，；第四组四项：

，，，；…容易发现：

每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．

层级一　学业水平达标

1．有下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；

②数列的项数一定是无限的；

③数列的通项公式的形式是唯一的；

④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．

其中正确的是（　　）

A．①　　　　B．①②　　　C．③④　　　D．②④

解析：

选A　结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.

2．下列说法正确的是（　　）

A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的

B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C．数列是递增数列

D．数列是摆动数列

解析：

选D　数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．

3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于（　　）

A．2　　　　　　　　　　　B．3

C．9D．32

解析：

选B　因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.

4．数列0，，，，，…的一个通项公式是（　　）

A．an＝B．an＝

C．an＝D．an＝

解析：

选C　已知数列可化为：

0，，，，，…，故an＝.

5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的（　　）

A．第20项B．第22项

C．第24项D．第26项

解析：

选C　由＝0.96，解得n＝24.

6．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．

解析：

∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，

∴an＝.

由＝2⇒3n－1＝20⇒n＝7，

∴2是该数列的第7项．

答案：

7

7．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是________．

解析：

a＝＋，b＝－，故an＝＋（－1）n＋1.

答案：

＋（－1）n＋1

8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．

解析：

由an＝19－2n>0，得n<.

∵n∈N*，∴n≤9.

答案：

9

9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：

（1），，，________，，，…；

（2），________，，，，…；

（3）2,1，________，，…；

（4），，________，，….

解：

（1）根据观察：

分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号

1　2　3　　　4　　5　6

↓　↓　↓　　↓　　↓　↓

　　　________　　

于是应填，而分子恰为10减序号，

故应填，通项公式为an＝.

（2）＝，

＝，

＝，

＝.

只要按上面形式把原数改