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各种有趣的分形

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各种有趣的分形

我们看到正方形，圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形,圆是平面上与某一点距离相等的点的集合,等等。

但是，当我们看到一个山的形状时,我们会想到什么?

"这是山",没错,山是如此的不同于其他景象,以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。

可是，山到底是什么？

它既不是三角形,也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?

分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。

让我们先来熟悉几个典型的分形。

图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。

这张美丽的图片是利用分形技术生成的。

在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现,它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。

而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。

Siｅrpinski三角形具有严格的自相似特性

Koｈｎ雪花具有严格的自相似特性

分维及分形的定义

分维概念的提出

对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性,主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。

整形几何学描述的都是有整数维的对象:

点是零维的,线是一维的,面是二维的，体是三维的。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”,记为ｄ。

例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然是一维结构。

但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定是整数的。

特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”,记为Ｄ）不小于它的拓扑维,即D≥d。

维数和测量有密切关系。

如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为ｌ、面积为l２的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。

如果用长度l去测面积,就会得到无穷大；而如果用ｌ３去测这块面积，结果就是零。

这就表明,用n维的标准体lｎ去测量一个几何对象,只当n与拓扑维数d一致时,才能得出有限的数值。

如果n＜d，就会得到无穷大;如果ｎ＞d，则结果为零。

分数维也是按照这个要求来定义的。

由于分形的复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。

通常用的是“容量维”。

简单地说,分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。

一条光滑的一维直线,完全不能占领空间;但是“科赫曲线”却有无穷的长度,比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里,的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。

所以它大于一维，又小于二维,它的容量维为1.261８,这看来是理所当然的。

海岸线的分维数通常在１.15到1.2５之间。

曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。

这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。

分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。

一个分形的曲线意味着一种有组织的结构,这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。

分数维概念

我们知道0维是点,一维是线，二维是面，三维是空间。

那么,谁能告诉我1.5维是什么？

一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。

六个这样的正方形组成的正方体是三维的。

直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。

测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。

假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半,直线段长度的计量值就变为原来的两倍,正方形面积就变为原来的四倍,体积则变为原来的八倍。

我们有下式:

　　　　log4/ｌog2＝2　　lｏg8/ｌoｇ2=3 

这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:

测度维的概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1９１9年，数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

如果某图形是由把原图缩小为１/λ的相似的b个图形所组成，有:

λ＾D=ｋ

Ｄ即维数D=logｋ/logλ

其中的λ为线度的放大倍数,Ｋ为“体积”的放大倍数。

回到海岸线长度的问题。

当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。

这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。

对于英国海岸线来说，其值约为2．７,而lｏg２.7／lｏg2=1.4１,１．4１就是英国海岸线的维数。

1.4１由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。

还有其他一些分数维的定义方法,但得出的结果都比较近似。

分数维是衡量分形的基本参数之一。

自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从２.1维到２.5维画出来的都有一定的山的效果．

下面详细介绍分维及计算

１）新的维数（全维数:

整数维+分维）

a.由欧氏几何的"整数维＂引出的非欧几何－－--分维:

a）.欧氏几何的"整数维"

欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类．这些规整几何图形的点，直线,平面图形（曲线）,空间图形的维数（欧氏维数）都是整数维,分别为0,１,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:

　　i.长度=l,面积=l２,体积=l3

ii.长度（半径）=r１，面积=πr2,（球）体积=（4/3）πｒ3

上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,２,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.

归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为

长度=ｌ　面积A=al２体积V=bl3

式中a和b为常数,称为几何因子，他与具体的几何图形的形状有关．如圆a＝π;球b=4π／3.　以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了，即欧几里得测度----长度,宽度,厚度-－－-不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法，即关于维数的新想法.

ｂ）．非欧几何的＂分维"

欧氏几何中的空间是３维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是０维的.那末，一个线团的维数如何呢?

这与观察方法有关.远看,他是一个点,是０维；近些看,象球,有空间3维感;再近看，就看到了绳子,又成为1维的了．引发人们注意到几何中也具有＂相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,３,.....．的"传统整数维＂（同时也超越了传统观念）,进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家，＂外行＂，（年轻的）新手，生手,即开拓创新者（或所谓的"半瓶子醋"），他要求先自愿地暂停疑虑（思考）,再另寻它路．而对数学家或该行业保守的专家，可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破．而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.

分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成

　　　　　　　　M=ｌd

则由对数定义可知，指数d可以表示为以l为底的，M的对数，即d=loｇlM

经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,

分维中广泛使用的关系式d=lｎＭ/lnl

他可以被看成是各种维数的综合表达式，即广义维数（欧氏维数及各种分维）的由来或基准式.分维是一种测度，是用其它方法不能明确定义的一些性质－---一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上（放大或缩小）不规则（图形,功能等）的程度保持恒定．

２）.拓扑维和豪斯道夫维——维数的定义

连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的．对数,换底,

拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的，即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是１.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dｔ=d．拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.

对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N；若用低于它维数的"尺"去量它，结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:

N（r）～r-Dh．上式两边取自然对数,整理后可得

Dh=ｌｎＮ（r）/lｎ（1／ｒ）或Ｄh=lｉm［lnN（σ）/lｎ（1/σ）]　　σ→0

式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其Ｄ值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.

维数的其它定义

（1）信息维数Di=lｉｍ（∑PｉlnPｉ/lｎσ）　　　　σ→0

（2）关联维数Ｄｇ=lim（lnＣ（σ）/lｎ（1/σ））　σ→0

（3）相似维数Ds=lnN／lｎ（1／r）

（４）容量维数Ｄc=lim　（lnN（ε）／ｌn（1/ε））　　　　σ→0

　　　　　　Dc≥Dｈ

（5）谱维数　Ｄ（分形子维数）——是研究具有自相似分布的随机过程,如随机行走的粒子的统计性质，可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶（经络的通道及传质）等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题．

（6）填充维数Ｄｐ——由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数（PackingＤｉmensiｏｎ）.

（7）分配维数Ｄd——可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线C所得的＂长度＂．即定义为

　　　Ｄd=ｌim（lnＭσ（C）/（-lnσ））　　　σ→0

曲线的分配维数至少等于盒维数.

（8）　李雅普诺夫（Lyapunov）维数Dl——是作为混沌的吸引子维数，他是利用Lyapｕｎov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的（经络的断面切片）,因此就可以测定其分形维数.

分形维数的测量

　1.基本方法

　分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的，所以要区别对待，物适其用.

　实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:

（1）改变观察尺度求维数：

是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.

（2）根据测度关系求维数:

这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的．

（3）根据相关函数求维数;C（r）∝r-a，a=d-Ｄ

（4）根据分布函数求维数；p（r）∝ｐ（λｒ）　p（ｒ）∝r-D

　（５）根据频谱求维数.

2.盒维数（计盒维数,Kolmogorov熵，熵维数,度量维数,对崐数密度等）

３．函数图的维数

　4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.

分形定义

分形难下确切的定义。

分形的原意是“不规则的,分数的，支离破碎的”,故又可称为"碎形"。

分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序，不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统，图形,构造，功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学（物理，欧氏几何学）排斥在外的不规则"病态"，不可微的事体,形体．在尺度变换（放大,缩小）下具有＂自相似性"和"标度不变性（无特征长度）"的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分（局部）以某种方式（结构,信息,功能等广义分形）与整体相似的形体，事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸,其局部与整体的整个精细结构，形态,性质等不因此而发生改变（统计）的形体,体系、分形是整体与局部在某种意义下:

大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观（统一观）,共性观,非二分法的产物,是有规则的不规则性。

分形是没有特征长度,但具有一定意义（广义）下的自相似图形，结构，性质和形态的总称。

分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。

也就是说,在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似。

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。

即无论放大多少倍,图象的复杂性依然丝毫不会减少。

但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。

这告诉我们:

其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。

分形的数学定义

　　定义１如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dｈ恒大于其拓扑维数Ｄt,

即Ｄｈ＞Dt

则称该集合为分形集，简称为分形。

（Ｄh≥Dt）

　　这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的,四年后他又提出了一个实用的定义。

　定义2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

　它突出了分形的自相似性，反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性：

局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性．它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义．

要完整地理解分形还必需知道它的一些特性。

分形的特征和产生机制

分形特征

大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。

一般地说,分形具有以下一些特征:

该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数,而是分数,且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则,以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述;在大多数情况下,分形集合可以以非常简单的方法来定义,可能由迭代产生;通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.。

具体的说有下面几个特征。

1）1）     自相似性

是复杂系统的总体与部分，这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性，或者说从整体中取出的局部（局域）能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:

在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态，过程，信息,功能,性质，能量,物质（组份）,时间，空间等特征上,具有自相似性的广义分形。

自相似性的数学表示为:

ｆ（λｒ）=λαf（ｒ）,或f（r）~ｒα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数（分维）,它描述了结构的空间性质.函数f（r）是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度。

一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似．另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化［这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关。

人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,（中医,针灸,经络）材料科学,经济学，以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事。

2）２）     标度不变性（无特征长度）

一个具有自相似性的物体（系统，事物）必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。

标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态，复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性．

标度不变性（无特征长度）:

具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短,面积,体积等。

特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度，如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等．标度不变性是指在分形上任选一局部区域，不论将其放大还是缩小,它的结构,形态，性质（功能）,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化（或是统计性的）,故标度不变性又称为伸缩对称性．此空间称无标度空间,其内是分形,范围以外就不是分形了，它有有限与无限之分。

对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用。

人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间．在此范围以外,就不是分形了。

3）3）     层次性，递归性

自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观（分形元,不变性）--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构，特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性。

4）４）     自仿射性

自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝，其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩，拉放拷贝的比例不同。

5）5）     　分形元－初始元-生成元

是构成分形整体，相对独立的，放大与缩小均不改变，及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性（共性）的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.

分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等。

6）分形元－支（枝,肢）,岔（叉,杈）

如五行的“金，木，水，火,土”就是五行分形元的五个分形元支,五杈；阴阳有两个分形元支等。

分形图形一般都比较复杂,其复杂程度可用分形维数去定量描述。

现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数。

一般地说,如果某图形是由把全体缩小为1/a的aD个相似图形构成的,那么此指数D就具有维数的意义。

此维数被称之为相似维数。

相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用,使用范围有限。

所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的。

Hausdorｆｆ维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。

如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：

N（ｒ）＝Cr-ＤH∝r-DH式中的C为常数,则该集的维数为ＤH,该维数称为Hausdoｒff维数。

不过,Hausdorｆf维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计。

因此，在实际应用中较少采用Hausdoｒff维数，而采用便于计算的相似维数等。

分形原理

（1）自相似原理

（2）积和原理:

对S１∩S2=0的分形子集　Df＝D１+D2．

　　（３）加和原理：

　如果分形子集S1∩Ｓ2=S，则Ｄf＝D1+Ｄ２-d．

　（4）合并原理:

分形集S=Ｓａ＋Sｂ,Da>Db,则Ds＝Da.

　　（5）匹配原理:

若想S1∪Ｓ2→S,需Ｄ1=Ｄ2（=Ds）．

　（６）级差原理：

　Si∈S,i是级次（层次）．

（7）自仿射原理

　　*（８）互补原理：

S∪S'=U=1,S∩S'=0,Ｓ与S'互补.

分形几何与解析几何的关系（经络定位）

　　分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标Ａ（x,y,z）进行定位.不过将来的＂解析分形几何"应该可以有双重作用．

生命现象和社会现象都是复杂现象,具有复杂现象的系统成为复杂系统。

如生命繁殖过程是一个复杂的过程,生命系统是一个复杂系统。

所有复杂系统都存在三个基本特征：

1、复杂系统有许多基本单元（称之为细胞）组成。

ﻫ2、每个细胞的状态只有极少数几种。

３、每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定。

　例如：

雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用,整体上可以显示出多种多样的复杂形态。

生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。

在繁衍过程中产生大量的艺术图案。

产生分形的物理机制

一般认为非线性，随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件.非线性是指运动方程中含有非线性项（迭代）,状态演化（相空间轨迹）发生分支,是混沌的根本原因.随机性分为两大类，即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性.而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的"有序与无序，物质与能量与信息的相互转换的两大循环"。

系统产生分形结构的充分条件是"吸引子（Attｒａｃtor）",不严格地说,一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动,　耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子（结果）便是相间的分形结构．奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等.涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期３便是混乱（混沌）。

分形和混沌关系

分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了。

混沌的奇怪吸引子都是分形。

结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体,也使确定性动力学体系出现无规性。

奇怪吸引子都有层次的自相似性。

无穷相似结构互相套叠起来,就相当于没有规则结构，所以“无穷嵌套的自相似结构”呈现出总体的混沌。

非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域,就会随机地在吸引子内部四处游荡，但又不能充满整个区域,区域内存在着无穷多的随机空隙，从而使整个混沌区出现维数上的“空洞”,呈现分数维数。

洛仑兹吸引子就是三维背景空间中的一张分形曲面，其容量维等于2.06；若斯勒吸引子也是三维背景空间中的一张分形曲面。

所以,“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的重要工具。