线代习题答案陈万勇版.docx
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线代习题答案陈万勇版
线性代数习题解答
——陈万勇
习题一
11利用对角线法则计算下列三阶行列式.
201
（1）141
183
2
解：
1
1
01
412（4）30
（1）
（1）1180132
（1）81（4）
（1）
83
abc
（2）bca
cab
2481644
a
解：
b
c
b
c
caacbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3
ab
1
（3）aa2
11
bc
b2c2
11
解：
ab
a2b2
1
cbc2ca2ab2ac2ba2cb2（ab）（bc）（ca）
c2
x
（4）y
xy
yxyxyx
xy
x
解：
y
xy
yxyxyx
xy
x（xy）yyx（xy）（xy）yxy3（xy）3x3
3xy（xy）
y3
3x2yx3
y3x3
2（x3y3）
1.2按自然数从小到大为标准次序
求下列各排列的逆序数.
（1）1234
（5）13
（2n1）24
（2n）
解：
逆序数为
n（n
2
1）
32（1个）
5254（2个）
727476（3个）
（2n）2（2n）4（2n）6
（2n）（2n2）（n1个）
1.3写出四阶行列式中含有因子
a11a23的项
解：
含因子a11a23的项的一般形式为：
（1）ta11a23a3ra4s
其中r、s是2和4构成的排列
这种排列共有两个
即24和42
解：
逆序数为
（2）4132
0
解逆序数为
4
41
434232
（3）3421
解：
逆序数为
（4）2413
5
32
314241,21
解：
逆序数为
3
21
4143
（2n1）2（2n1）4（2n1）6
（6）13（2n1）（2n）（2n
解：
逆序数为n（n1）
（2n
2）
1）（2n
2
2）（n1个）
32（1个）
5254（2个）
（2n1）2（2n1）4（2n1）6
（2n
1）（2n
2）（n1个）
42（1个）
6264（2个）
所以含因子a11a23的项分别是
（1）ta11a23a32a44
（1）1a11a23a32a44a11a23a32a44
（1）ta11a23a34a42
（1）2a11a23a34a42a11a23a34a42
4
1
2
4
1
2
0
2
10
5
2
0
0
1
1
7
1.4计算下列各行列式.
（1）
4
1
2
4
1
2
0
2
10
5
2
0
0
1
1
7
c2
解：
c4
4110
4
c31
7c310
0
1210
202
3214
010
4110c2
c39
910
2
3
（2）15
2
141
121
232
062
141
214
2
1
2
2
（
1）43
1
2
10
3
14
10
3
14c1
0
0
c
1
2317
21
020
1714
40
312
1
2
3
2
1
2
3
0
1
2
3
0
5
0
6
2
5
0
6
2
5
0
6
2
解：
1c4c23
122
c4c23
122
2
c4c23
140
122
2
r4r23
140
122
2
r4r23
140
122
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
5
0
6
2
2
1
4
0
2
1
4
0
2
1
4
0
r4
r1
3
1
2
2
0
1
2
3
0
0
0
0
0
abacae
（3）bdcdde
bfcfef
ab
解：
bd
bf
ac
cdcf
aede
ef
adf
bb
b
c
cc
ee
e
adfbce
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4abcdef
（4）
a
1
0
0
1
b
1
0
00
10
c1
1d
a
1
0
0
1
b
1
0
00
10
c1
1d
0
1
0
0
1
r1
ar2
解：
abb
1
0
a1
c
1
0
0
1
d
1
（1）（
1）2
1
ab
1
0
a
c
1
0
1
d
c3
dc21
ab
1
0
aad
c1cd
10
（1）
（1）3
21ab
1
1
ad
cd
abcdabcdad1
1.5证明:
a2
（1）2a
1
ab
a
b
b2
2b1
（ab）3;
1
2
证明：
a2
2a1
ab
ab
1
b2
2b1
c
2
c
1
a
ab
b
a
a
2
b
2
a
2
2a
1
2b
2a
c3
c1
0
0
（
1）31
ab
b
a2
a
b2a2
2b2a
a
（ba）（ba）
1
ba
（ab）3
2
ax
（2）ay
az
by
bzbx
aybzazbx
azbxaxbyaxbyaybz
x
（a3b3）yz
y
zx
z
x;
y
证明：
ax
ayaz
by
bzbx
aybz
azbx
axby
azbx
axby
aybz
xaybz
ayazbx
zaxby
azbx
axby
aybz
yay
bzaz
xax
bzazbx
bxaxby
byaybz
x
ay
bz
z
y
z
az
bx
y
az
bx
x
b2z
x
ax
by
z
ax
by
y
x
y
ay
bz
x
y
z
y
z
x
y
z
x
b3z
x
y
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z
y
z
x
b3y
z
x
z
x
y
z
x
y
a2
a3
a3
（a3
a2
b2
xyz
b3）yzx
zxy
（a
1）2
（a
2）2
（a
3）2
（b
1）2
（b
2）2
（b
3）2
（3）2
c
（c1）2（c2）2
0;
（c3）2
d2
证明：
a2
b2
c2
d2
2
2
2
abcd2
（d1）2（d
2（a
1）2
（a
2）2
（a
3）2
2（b
1）2
（b
2）2
（b
3）2
2（c
1）2
（c
2）2
（c
3）2
2（d
1）2
（d
2）2
（d
3）2
2a
1
2a
3
2a
5
2b
1
2b
3
2b
5
2c
1
2c
3
2c
5
2d
1
2d
3
2d
5
abcd
2a12
2b12
2c12
2d12
2）2（d
2
20
2
2
3）2
（c4c3c3c2c2c1得）
（c4c3c3c2得）
（4）
1
a
1
b
1
c
1
d
a2
b2
c2
d2
a4
b4
c4
d4
（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;
证明：
11
1
a
1
b
1
c
1
d
a2
b2
c2
d2
a4
b4
c4
d4
0ba
0b（ba）
1
ca
c（ca）
1
da
d（da）
0b2（b2
a2）
c2（c2
a2）
d2（d2
a2）
1
1
1
（b
a）（c
a）（d
a）
b
c
d
（ba）（c
a）（d
1
a）0
b2（b
a）c2（ca）
1
cb
d2（da）
1
db
0c（c
b）（cba）d（d11
b）（d
ba）
（ba）（c
a）（d
a）（c
b）（d
b）
c（cba）
d（d
ba）
=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
x10
0x1
（5）（5）
000
00
00
xna1xn1an1xan
x1
anan1
an2
a2xa1
2
证明：
用数学归纳法证明
当n2时D2
x1
a2xa1
xa1x
a2命题成立
假设对于（n1）阶行列式命题成立即
Dn1xn1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开有
DnxDn1
an（
1000
1）n1x100
11x1
xDn1anxna1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立
1.6设n阶行列式Ddet（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依
次得
an1
D1
a11
anna1n
a1n
D2
a11
annan1
ann
D3
an1
a1na11
证明D1
D2（
n（n1）
1）2D
D3D
证明：
因为Ddet（aij）所以
an1
D1
ann
（1）n
a11
1an1
a1nann
a11
2
a11a21
a1n
a1n
a2n
a21
a2n
（1）n1（
1）
n
an1
ann
a31a3n
（1）12
（n2）
（n1）D
（1）
n（n1）
2D
同理可证
n（n1）
a11
an1
n（n1）
n（n1）
D2
（1）2
a1n
ann
（1）2DT
（1）2D
D3（
n（n1）
1）2D2
（1）
n（n1）
2（
n（n1）
1）2D
（1）n（n
1）DD
1.7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）.
a
（1）Dn
1
1
其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0
a
a
0
0
0
1
0
a
0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
0
a
0
1
0
0
0
a
解：
Dn（按第n行展开）
（1）n
1
（n1）（n1）
a
（
1）2n
a
a（n1）（n1）
a
（1）n
1
（1）n
an
an
an2an2（a2
1）
a（n2）（n2）
（2）Dn
x
a
a
x
a
a
a
a
x
解：
将第一行乘
（1）分别加到其余各行
得
x
a
a
a
x
x
x
a
a
0
Dn
0
x
a
a
0
0
a
x
0
0
0
x
a
再将各列都加到第一列上
得
x
（n
0
0
1）a
a
x
a
a
0
a
0
Dn
0
x
a
0
[x（n1）a]（xa）n1
0
0
0
0
x
a
an
an1
（a
（a
1）n
1）n1
（a
（a
n）n
n）n1
（3）Dn1
;
a
1
a1
an
1
1
解：
根据第6题结果有
0
0
0
0
1
a
0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
0
0
a
0
Dn1
（1）
111
n（n1）aa1an
2
an1
an
（a1）n1
（a1）n
（an）n1
（an）n
此行列式为范德蒙德行列式
Dn1
（1）
n（n1）
2
n1i
[（ai1）（a
j1
j1）]
（1）
n（n1）
2
n1i
[（i
j1
j）]
（1）
n（n1）
2（
（ij）
n（n1）
1）2
1
（ij）
n1ij1
n1ij1
anbn
（4）D2n
a1b1
;
c1d1
cndn
anbn
解：
D2n
a1b1
c1d1
（按第1行展开）
cn
an1
dn
bn10
0an1
bn1
a1b1
anc1d1
（1）2n1
a1b1
c1d1
b
n
cn1
0
dn10
0dn
cn1
cn
dn1
0
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n（andnbncn）D2n2
于是D2n
n
（aidi
i2
bici）D2
而
D2
a1
c1
n
b1
d1
a1d1b1c1
所以
D2n
（aidibici）
i1
（5）Ddet（aij）其中aij|ij|;
解：
aij|ij|
Dn
det（aij）
r1
r2
r2
r3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
n
2
n
3
n
4
0
c1
c3
c1
1
1
1
1
0
2
2
2
0
0
c2
2
2
0
0
0
2
0
0
0
0
n
1
2n
3
2n
4
2n
5
n
1
（1）n1（n1）2n2
（6）Dn
1
1
其中a1a2
an0
an
解：
Dn
1
1
1an
0
1
2
3
n
1
1
0
1
2
n
2
2
1
0
1
n
3
3
n
1
n
2
2
n
1
3
n
0
4
n
0
4
1a1
1
1
1a2
1
1
1
1a1
1
1
1
1a2
1
c1c2
a1
a2
0
a3
a3
0
0
1
c2c3
0
0
0
0
0
0
an
0
1
an1
an1
1
an
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
a
1
1
aa
0
a2
a
1
1
3
12
a
n
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
a
1
n1
1an
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
a
1
1
a2
1
a
1
3
a1a2
an
0
0
0
0
1
a
1
n1n
0
0
0
0
0
1
a
1
i
i1
n
（a1a2
an）（1
1
i1ai
）
1.8用克莱姆法则解下列方程组
.
x1x2
x12x2
2x13x2
3x1x2
x3
x3
x3
2x3
x45
4x4
（1）5x4
11x4
2
2
0
解：
因为
D
1
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
2
1
4
5
11
142
D1
5
2
2
0
1
2
3
1
1
1
1
2
1
4
5
11
142
D2
1
1
2
3
5
2
2
0
1
1
1
2
1
4
5
11
284
0
0
0
0
1
a2
0
0
0
1
11
12
D3
23
31
D1
所以x1
D
51
24
25
011
D2
1x2
D
426
2x3
111
121
D4
231
312
4
D33xD41
DD
5
2
142
2
0
5x1
6x2
1
x1
5x2
6x3
0
x2
5x3
6x4
0
x3
5x4
6x5
0
（2）
x45x51
5
6
0
0
0
1
6
0
0
0
1
5
6
0
0
0
5
6
0
0
D
0
1
5
6
0
665
D1
0
1
5
6
0
1507
0
0
1
5
6
0
0
1
5
6
0
0
0
1
5
1
0
0
1
5
5
1
0
0
0
5
6
1
0
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
D2
0
0
5
6
0
1145
D3
0
1
0
6
0
703
0
0
1
5
6
0
0
0
5
6
0
1
0
1
5
0
0
1
1
5
5
6
0
1
0
5
6
0
0
1
1
5
6
0
0
1
5
6
0
0
D4
0
1
5
0
0
395
D5
0
1
5
6
0
212
0
0
1
0
6
0
0
1
5
0
0
0
0
1
5
0
0
0
1
1
解：
因为
，
所以x1
1507
x2
665
1145
665
703
x3x4
665
x1x2
395
x4
665
x30
212
665
1.9问取何值时齐次线性方程组
x1x2x3
x12x2x3
0有非零解？
0
解：
系数行列式为
1
D
1
1
2
1
1
1
令D0得
0或
1
于是当0或
1时该齐次线性方程组有非零解
（1
）x1
2x2
4x3
解：
系数行列式为
12
2
3
4
1
1
D
2
3
1
4
1
（1
）3
（1
）3
2（1
）2
3
令D0得
0
2或
3
于是当
0
2或
3时该齐次线性方程组有非零解
习题二
已知A
12
03
40
3
2
3
1
1
2
，B
432
530
125
1
1
0
，求3A2B．
0
1.10
问
取何值时
齐次线性方程组
2x1
（3
）
x2x30
有非零解？
x1
x2
（1
）x3
0
1
1
1
1
0
1
（
3）4（1
）
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