九年级圆与圆位置经典教案.docx

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九年级圆与圆位置经典教案

九年级数学学案编写人：

江南闵

圆与圆的位置关系

【使用说明】

1、结合本导学案自学课本98-100页内容，认真自觉地完成预习任务。

2、独立完成导学案，用红色笔勾画出疑惑点。

【学习目标】

1、掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。

2、通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力。

3、通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力，动手操作能力和数形结合能力。

【学习重、难点】：

1、重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．

2、难点：

两圆位置关系及判定．

【学法指导】

认真阅读，用类比的方法，动手操作，尝试探究，总结规律。

【学前准备】圆规，三角板，一大一小圆形物品两枚

【学习过程】

知识链接：

直线和圆的位置关系有种，分别是，，。

你有哪几种判断方法？

学案自学：

自学内容

（一）：

课本98页—99页内容（初步探究---圆和圆的位置关系）

师：

前面我们学习了直线和圆的位置关系，首先从直观上观察直线和圆有无公共点这一特征入手，确定了直线和圆有三种位置关系，那么你能用类似的方法动手试一试：

看圆和圆又有哪几种位置关系吗？

最好用你身边的材料，聪明的你赶紧动手吧。

1、把你实验观察的结果画出来，并写出每种位置关系的公共点的个数和名称。

想一想：

两个半径相等的圆的位置关系有几种?

2、说出98页生活实例中两圆的位置关系:

（1）

（2）　　　　　　（3）　　　　　　　　（4）　　　

自学内容

（二）：

自学课本100页内容（深度探究---实现数与形的转化）

师：

在研究点和圆的位置关系以及直线和圆的位置关系时，我们都还从一些数量关系方面作了进一步的探讨。

那么圆和圆的位置关系又和哪些数量有关系呢？

1、结合所画图形测量：

ｄ（两圆圆心之间的距离）、Ｒ、ｒ三个数据，比较d、R+r、R-r的大小，完成下列表格：

两圆的位置关系d与Ｒ和ｒ之间的数量关系

外离

外切

相交

内切

内含

2、小试牛刀：

①⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、4cm，当两个圆的圆心距如下时，两个圆的位置关系如何？

（1）O1O2=8cm             

（2）O1O2=7cm             

（3）O1O2=5cm             （4）O1O2=1cm             

（5）O1O2=0.5cm             （6）O1O2=0cm             

②已知两圆半径分别为3和7，如果两圆相交，则圆心距d的取值范围是.如果两圆外离，则圆心距d的取值范围是_______.

3、实践操作：

例、⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm,

（1）以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径应是多少？

（2）以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？

（3）以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少？

4、模仿练习：

定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是1cm,

①设⊙O和⊙P相外切，点P与点O的距离是多少？

点P可以在什么样的线上移动？

2设⊙O和⊙P相内切，情况又怎样？

小组交流：

各小组交流课前预习成果，准备展示，组长汇总存在问题。

班级展示：

组织展示交流自学成果，老师引导交流，掌握学情。

质疑探究：

对各小组出现的问题，其他小组帮助解决，老师适时点拨，及时矫正补充，强调出现的问题用红笔在学案上纠正。

自悟自得：

本节课你都收获了什么？

【达标检测】

1、若⊙O1与⊙O2的半径分别为4和9，根据下列给出的圆心距d的大小，写出对应的两圆的位置关系：

（1）当d=4时，两圆_______;

（2）当d=10时，两圆_______;（3）当d=5时，两圆_______;（4）当d=13时，两圆_______;（5）当d=14时，两圆_______.

2、两圆的半径分别为10cm和R、圆心距为13cm，若这两个圆相切，则R的值是____.

3、如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，求∠O1AB的度数。

4、分别以1cm,2cm,4cm为半径画圆，使它们两两外切。

《圆和圆的位置关系》

教学设计

一、教材分析

1、教材的地位和作用

“圆”是平面几何中最基本的图形之一，不仅在几何中占有重要地位，而且是进一步学习数学及其他学科的重要基础.与圆有关的位置关系包括三部分内容，本节课是在“点和圆的位置关系”、“直线和圆的位置关系”的基础上，进一步学习“圆和圆的位置关系”.

两圆位置关系的实例在生活中很常见，本节课将从公共点的个数，圆心距与两圆半径间的关系两方面去探索圆和圆的位置关系.在探索过程中，渗透了分类讨论的数学思想.同时在两圆的位置关系和两圆圆心距与半径的数量关系的探索上，体现了由位置关系确定数量关系，反之也可由数量关系确定位置关系的数形转换的方法，这一探索过程可以类比前两种位置关系得出，所以本节课还渗透了类比的思想.因此，本节课不仅仅要学习数学知识，更要在探索过程中，对数学知识进行感悟，对数学思想、方法进行体会.

2、教学目标

（1）了解圆和圆的几种位置关系，及几种位置关系中圆心距与两圆半径的数量关系.

（2）能由两圆的位置关系确定两圆圆心距与两圆半径的数量关系，反之能由圆心距与两圆半径的数量关系来确定两圆的位置关系.从中体会数形问题间的相互转换.

（3）经历探索两圆之间位置关系的过程，体会数学源于实践，培养学生的观察、想象、比较、分析、概括的逻辑思维能力.同时，体会运动变化的观点及“分类讨论”“类比”的数学思想.

（4）通过学生动手实践、自主探索去体验数学活动充满探索，同时鼓励学生合作学习，促进学生之间共同发展，也促进师生之间教学相长.

3、教学重难点

重点：

探索并了解两圆的位置关系以及相切时对于两圆的圆心距与两圆半径的数量关系的理解.

难点：

两圆相交和相切时圆心距与两圆半径的数量关系的理解.

二、学生状况分析

认知情况及障碍预测

学生已经学习了点和圆、直线和圆的位置关系.并对用圆心距和半径描述位置关系有了初步的认识.同时，九年级的学生对两圆位置关系的实际经验也有了一定的积累，具备了一定的探索能力.但是，两圆在运动过程中，相交正处于两圆外切和两圆内切的中间状态，对于此时两圆的圆心距与两圆半径的数量关系的探索上会有一定困难，同时对两圆位置关系相切的分析，可能存在不透彻的问题，在应用时，易漏某种情况.

三、教学方法的选择

教法：

采用设疑、讨论、引导、归纳等启发式教学方法.

学法：

类比迁移法、数形结合法、自主探究、合作交流学习方法等.

四、教学过程分析

教学环节

师生活动

设计意图

1.复习回顾，导入新知

（1）通过复习点和圆、直线和圆的位置关系，让学生利用类比的方法，推出圆和圆的位置关系.

（2）通过观察“奥运五环”“箭靶”“自行车”图片，导入新课.

教师演示课件，提出问题．学生观察、思考、回答问题．此次活动中，教师应重点关注：

（1）学生能否准确描述点和圆、直线和圆的位置关系；

（2）学生能否用点到圆心的距离与半径的数量关系判别点和圆的位置关系，能否用圆心到直线的距离与半径的数量关系判别直线和圆的位置关系．

（1）教学中通过把学生所熟悉的直线和圆的位置关系做为起点，引入圆和圆的位置关系，为下一步运用类比的思想探索圆和圆的位置关系做好铺垫.

（2）通过观察生活中的实际图片，初步感知圆和圆的位置关系，充分体现是数学是源于实践又运用于生活.

2.合作交流、探索新知

这一环节通过以下三个活动来完成

活动一:

探究两圆的五种位置关系

要求学生在纸上画一个半径为3cm的⊙O1，把一枚硬币平放在纸上作为另一个圆，将这枚硬币向⊙O1不断移动，提出在这一过程中两圆出现了哪几种位置关系？

1、

（1）先让学生利用自制学具自己实践操作过程，探究圆和圆的位置关系，小组内归纳总结.

（2）学生展示探究过程，并完成探究结论总结.

（3）教师利用多媒体演示课件，让学生进一步理解五种位置关系.

（4）重点理解“内”、“外”、“内部”、“外部”等词语.明确圆和圆的五种位置关系的概念.

圆和圆有五种位置关系可以归纳为三类:

相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）；

（5）想一想：

若两圆相等是否也存在上述几种位置关系？

（6）分析导入新课的图片上都存在哪些位置关系，你还能举出一些生活中圆和圆位置关系的实例吗？

2、学生小组讨论思考，回答问题.

主要是让学生亲自动手实验，参与数学活动.用运动变化的观点观察两圆的位置关系的变化及两圆公共点个数的变化情况，在这一过程中，体会“分类”的数学思想，同时让学生学会用类比的方法研究两圆的位置关系.教师通过课件演示让学生认识圆和圆的五种位置关系，教学中淡化概念.其目的:

一是为了使学生从感性上熟悉五种位置关系；二是通过多次观察，为下一步利用“交点个数”对五种位置关系分类打好基础.通过组间合作也让学生感受到交流的意义，增强了合作的意识.

从一般情况转化到特殊情况的探索，让学生从不同角度思考问题，拓展学生思维，培养学生全面思考问题的习惯.通过举例，让学生对所学新知及时巩固，感受数学和生活实际的息息相关.

活动二:

探索相切两圆的性质

此处，我以问题的形式展开探究:

（1）圆是轴对称图形吗？

它的对称轴是什么呢？

（2）圆和圆组成的图形呢？

例如外切，内切呢.

（3）认识连心线.（通过两圆圆心的直线叫做连心线）

（4）你发现连心线有什么特点？

切点与对称轴有什么位置关系？

（如果两圆相切，切点一定在连心线上）

学生观察、思考，回答.教师评价后师生共同总结.

通过学生所熟悉的“圆的对称性”而延伸到到圆和圆组成的图形的对称性，符合学生的认知规律.同时使学生认识“连心线”及其特点，旨在为下一步讨论打好基础，在教学中只需学生能直观地认识就可以了，不必要求学生严格地说出理由.这一环节，主要让学生体会数学知识前后的内在联系.通过由浅入深、由易到难的设置提问，将学生思维逐渐引向深入.

活动三:

探索d和R、r的数量关系

（1）猜想：

直线和圆的位置关系可用d、r的代数表达式来表示，那么圆和圆的位置关系要用哪些量来表示？

（2）观察与思考：

怎样从两圆的圆心距（两圆圆心之间的距离）与两圆半径的数量关系来判断两圆的位置关系?

（3）小组讨论:

圆心距d和半径R、r的数量关系

外离d>R+r

外切d=R+r

相交R-r

内切d=R-r

内含d

学生猜想、观察、思考、讨论；并且回答问题，教师适时加以引导与补充.

让学生用自己的语言来表达，师生小结.

探索两圆位置关系和圆心距d与两圆半径R、r的数量关系是本节课的重点，也是难点内容.首先通过类比直线和圆的位置关系和数量关系让学生独立思考猜想两圆位置关系与哪些量有关.然后观察与思考圆心距与两圆半径的数量关系能否确定两圆的位置关系.教师再通过电脑演示，学生观察、小组讨论得出.此处充分的借助于学习过的点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系类比得出圆和圆的位置关系中圆心距d与半径R和r的数量关系.让学生对有关圆的三种位置关系的理解进一步加深认识，并体会“类比”这一重要的数学思想.这一过程，培养了学生分析问题解决问题的能力.此处课件的动态演示也起到了平常教学不可替代的作用，有利于学生直观的感知两圆相切时圆心距d与半径R和r的数量关系，进而突破本节课的难点.根据教材的设计意图，教学中重点是让学生探索和掌握两圆相切的情况，其他位置下的数量关系只作了解.

3.巩固提高，拓展思维

（1）两圆有两个交点，则两圆的位置关系是；

两圆没有交点，则两圆的位置关系是；

两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是.

（2）⊙01和⊙02的半径分别为3cm和4cm,设　①0102=8cm　②0102=7cm③0102=5cm

④0102=1cm⑤0102=0.5cm⑥01和02重合，

⊙01和⊙02的位置关系怎样?

（3）若两圆的半径分别为5cm和3cm,且它们的圆心距为3cm,则此两圆的位置关系是（）

A.外离B.相交C.相切D.内含

（4）若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，则⊙O2的半径r2是（）

A.3B.5C.7D.3或7

（5）解决生活实例（P133页例）

两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线[线段PQ称为两圆的公共弦]，TP，NP分别为两圆的切线.

①图中两圆的位置关系？

②求∠TPN的度数？

③OO′与PQ有什么位置关系？

变式练习：

如图、使例题中的⊙O1、⊙O2的半径不相等，那么，O1O2与AB有什么位置关系？

你发现了什么结论？

和你的同伴交流一下.

师生共同完成例、习题的求解.

教师应当重点关注学生能否会利用两圆位置关系的性质和判定解决问题.

（1）

（2）题面向全体学生，对学生的回答给与鼓励.通过这组简单的练习，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦，树立信心.

（3）（4）题从不同角度对本节课的知识进行考察，使学生灵活运用新知的同时深刻理解新知，并且体会数学之间相互联系.

第（5）题是一道实际问题，为降低难度、拓宽知识，我把原题作了改动，同时把问题分层次设置，目的是降低难度，便于学生解决.教学中要引导学生注意新旧知识的综合运用.

关注学生的个体差异，设置层层递进的练习题，使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨.

4.反思小结，体验收获

我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化知识结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主体作用，从学习的知识、方法、体验三个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些知识；

（2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么；

（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法；

5.分层作业，延伸新知

必做题：

P135随堂练习一

选做题：

已知⊙01和⊙02的半径分别为R和r（R>r）,圆心距为d,若两圆相交,试判定关于x的方程　x2-2（d-R）x+r2=0的根的情况.

采用必做题和选做题，分层要求.必做题是基础训练题，全体同学必须完成；选做题是提高训练题，可根据自己的能力，选择完成.

学生自己总结，教师应重点关注：

（1）学生对圆和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面；

（2）是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性．

学生通过作业，回顾、梳理知识，反思提高.

锻炼学生及时总结的良好习惯和归纳能力.

作业布置做到既面向全体学生，又给基础较好的学生充分的发展空间，满足不同学生的不同需求.

五、课后反思

在整个教学过程中，学生表现积极，举出了很多生活中体现两圆位置关系的实例，较好地体会数学来源于实践.对于本节课的重点，即探索并了解两圆的位置关系，多数以小组为单位展开探索，学生兴趣很浓，对于第一个探究活动，效果很好，经过共同的讨论、分析，全体学生基本都能很好掌握五种位置关系，能从运动变化的角度对几种位置进行归类，达到了之前的预想.但在第三个探究活动，即探索圆心距与两圆半径数量关系时，有少部分学生的进度落后了，有被动接受结论的意味，这主要是因为教学设计时没有充分考虑到学生的观察能力、推理和归纳能力的差异，导致这部分学生对知识理解不透彻，更没有将知识很好地内化成能力.这需要改进，一方面，应加强知识生成过程的设计，另一方面在小组学习中，可采用互补式的分组，增加小组内的讨论时间，给每个学生分配任务，或通过小组间竞争，调动组内成员互帮互助，保证每人都能积极参与到学习中.但从整体上看学生学习的态度是主动的，师生关系和谐，学生的个性得到张显，创造性得到释放.

《圆和圆的位置关系》教案

焦作市第十三中学黄彩云

教材分析：

《圆和圆的位置关系》是九年级下第三章第六节的教学内容。

其主要内容是两个圆的各种位置关系的概念、相切两圆连心线的性质、两圆的位置与两圆的半径、圆心距数量之间的关系等。

它是本章的重要内容之一；它是点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系的延续，它体现了事物之间的内在联系。

在获得知识的过程中蕴含着运动、数形结合、类比等数学思想和方法。

教学重点是探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点：

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．

学情分析：

本班学生基础较好,学习的自觉性和主动性较强，有一定的自主学习和探究学习能力，平时的学习养成了善于观察、分析和思考的习惯，同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好，从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍，因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系。

在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程．看学生是否能积极地投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣就成功了一半，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．

　设计理念：

学生的发展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的发展为主体，转变学生的学习方式。

“圆与圆的位置关系”这一节课，以全新的自主的探究学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研氛围，让学生感受“两圆位置关系”的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与发展打下基础。

教学方法：

采用“诱思探究”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。

教学目标

（一）教学知识点

1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

（二）能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

（三）情感与价值观要求

1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?

没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．[多媒体展示课题]

二、自主探究，合作交流

（一）整体感知圆和圆的位置关系

[师]请同学们欣赏一组图片[多媒体展示]

师：

现实生活中有关两个圆的位置关系的例子很多，你还能举出一些其他的例子吗？

[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

[师]那么圆和圆究竟有几种位置关系，这些位置关系分别是什么呢？

下面我们就来探究这个问题。

（二）探索圆和圆的位置关系

[多媒体展示]在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

小组活动，结束后小组发言，总结出共有五种位置关系，如下图：

老师用多媒体演示两圆位置关系的动画并与学生的发现进行对比。

（教师给予恰当的点评）

师：

从公共点的个数和一个圆在另一个圆的内部和外部来考虑，谁能说出五种位置关系各有什么特征。

学生做简单描述

[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

经过大家的讨论我们可知：

[多媒体展示]

（1）如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：

外离、外切、相交、内切、内含．

（2）如果只从公共点的个数来考虑分三种：

相离、相切、相交，并且

外离外切

相离相切

内含内切

，

（三）想一想

[多媒体展示]如图

（1），⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?

如果是，它的对称轴是什么?

切点与对称轴有什么位置关系?

如果⊙O1与⊙O2内切呢?

[如图

（2）]

学生完成，老师提示用反证法，学生口述证明过程。

师：

通过上面的讨论，我们可以得出结论，[多媒体展示]：

两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图

（1）和图

（2）都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．

（四）深度探究，实现数与形的转化

[多媒体展示]小组讨论：

设两圆的半径分别为R和r．两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d

（1）当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d与R和r具有怎样的关系?

反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?

（2）当两圆内切时（R>r），圆心距d与R和r具有怎样的关系?

反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?

（3）当两圆内含、外离、相交时，d与R和r又具有怎样的关系？

反之呢？

小组讨论，教师指导，结束后小组派代表发言。

[多媒体展示] 

三、反馈应用

（一）[多媒体展示]抢答：

1、填写表格（其中R、r表示两圆的半径,d表示圆心距）

两圆的位置关系

R

r

d

外离

6

5

内含

3

2

4

3

2

5

2

0

内切

1

7

外切

4

10

2、⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、4cm，当两个圆的圆心距如下时，两个圆的位置关系如何？

1、O1O2=8cm             

2、O1O2=7cm             

3、O1O2=5cm             

4、O1O2=1cm             

5、O1O2=0.5cm             

6、O1O2=0cm             

（二）应用点拨

[多媒体展示]如图,⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm.

（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，则⊙P的半径是多少？

（3）以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少？

教师提醒学生先画图再解答。

学生根据题意自己画图，画完图后解答问题。

培养学生分析问题，解决问题及空间想象能力。

（三）[多媒体展示]动手画一画：

你能作出课本138页的图形吗？

试一试

学生作图，展示作品，激发求知欲望。

四、本节课收获

问学生“本节课的收获”是什么？

并对学生的回答加以点评。

学生谈本节课的收获，培养学生总结归纳概括能力。

五、布置作业

1、⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r，圆心距d，在下列情况下，两个圆的位置关系如何？

（a级题）

1、R=6cm  r=3cm