武汉市七一中学八年级数学专题面积问题含答案.docx

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武汉市七一中学八年级数学专题面积问题含答案

武汉市七一中学八年级数学专题——面积问题（含答案）

平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．

计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：

1．直接法：

根据面积公式和性质直接进行运算．

2．割补法：

通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．

3．等积法：

根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．

4．等比法：

将面积比转化为对应线段的比．

熟悉以下基本图形中常见的面积关系：

注等积定理：

等底等高的两个三角形面积相等．

等比定理：

（1）同底（或等底）的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高（或等高）的两个三角形面积之比等于对应底之比；

（2）相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．

例题求解

【例1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为

，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则

=．

（山东省竞赛题）

思路点拨本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：

S△AOD=S△BOC=

，S梯形ABCD=S1+S2+

=

（读者证明），于是将问题转化为求梯形ABCD的面积．

【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）

A．12B．14C．16D．18

（全国初中数学联赛试题）

思路点拨由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．

【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：

S矩形ABCD=S△APQ．（重庆市竞赛题）

思路点拨把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．

【例4】如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC=

·

（1）如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?

请说明理由；

（2）如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?

试证明你的结论．（安徽省中考题）

思路点拨对于

（1），因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：

对于

（2），由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．

注本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．

通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．

【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F．

求证：

（1）

；

（2）

．

思路点拨过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．

注有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．

用面积法解题的基本步骤是：

（1）用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．

（2）化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．

当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．

学力训练

1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案（图中尺寸单位为米），如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花株．

（第14届“希望杯”邀请赛试题）

2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为．

（2003年上海市中考题）

3．如图，在△ABC中，∠B=∠CAD，

，则

=．

（重庆市竞赛题）

4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b（a

，则

=．

5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=2

，AD=2，则四边形ABCD的面积为（）

A．4

B．4

C．4D．6（湖北省荆州市中考题）

6．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为（）

A．

B．

C．

D．

（武汉市选拔赛题）

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为（）

A．S1=S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定，与

的大小有关

（2002年

8．有一块缺角矩形地皮ABCDE（如图），其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（）（2003年广州市中考题）

9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．

（2000年山东省竞赛题）

10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形（阴影部分）的面积．

11．探究规律：

如图a，已知：

直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．

（1）请写出图a中，面积相等的各对三角形；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是：

．

解决问题：

如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图c中折线CDE）还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．

（不计分界小路与直路的占地面积）

（1）写出设计方案，并在图c中画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．（河北省中考题）

12．如图，△ABC中，AD与BE相交于F，已知S△AFB=12cm2，S△BFD=9cm2，S△AFE=6cm2，那么四边形CDFE的面积为cm2．（我爱数学夏令营竞赛题）

13．如图，分别延长△ABC的三边AB、BC、CA至A′、B′、C′，使得AA′=3AB，BB′=3BC，CC′=3AC，若S△ABC=1，则S△A'B'C'=．

14．如图，设△ABC的面积是1，D是边BC上一点，且

，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为

，则

的值为．（天津市竞赛题）

15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为．（全国初中数学联赛试题）

16．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连结AF、CE，设AF与CE的交点为G，则

等于（）

A．

B．

C．

D．

（全国初中数学竞赛题）

17．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）

A．50B．62C．65D．68

（山东省竞赛题）

18．如图，在△ADC中，EF∥BC，S△AEF=S△BCE，若S△ABC=1，则S△CEF等于（）

A．

B．

C．

D．

（四川省竞赛题）

19．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是（）

A．165°D．135°C．150°D．120°（“希望杯”邀请赛试题）

20．如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．

（1）求△DEF与△ABC的面积比；

（2）求△PDF与△ADF的面积比；

（3）求多边形PDQERF与△ABC的面积比．（“希望杯”邀请赛试题）

21．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，

求证：

S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK．

22．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的值．

23．如图，在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直线都将△ABC分成等积的两部分?

为什么?

24．如图，以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：

以EF，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍．（北京市竞赛题）

思考如图，设G（也称重心）为△ABC三条中线AD、BE、CF的交点，则

，请读者证明．