立体几何 空间垂直.docx
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立体几何空间垂直
一．解答题（共30小题）
1．（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：
B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
考点：
直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
综合题；空间位置关系与距离．
分析：
（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
解答：
（1）证明：
连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，
∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，
∵AO⊥平面BB1C1C，
∴AO⊥B1C，
∵AO∩BC1=O，
∴B1C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，
∴B1C⊥AB；
（2）解：
作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB1=60°，
∴△CBB1为等边三角形，
∵BC=1，∴OD=，
∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，
由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，
∵O为B1C的中点，
∴B1到平面ABC的距离为，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
点评：
本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
2．（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：
平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）求证：
C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．
考点：
平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
专题：
综合题；空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；
（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．
解答：
（Ⅰ）证明：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，
∴AB⊥B1BCC1，
∵AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明：
取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，
∵E是A1C1的中点，
∴FG∥EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG，
∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）解：
∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=，
∴VE﹣ABC===
点评：
本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．
3．（2014•潍坊模拟）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：
AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．
考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．
（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．
（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．
解答：
解：
（Ⅰ）证明：
∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）证明：
依题意可知：
G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）
（Ⅲ）解：
∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．
∴，（12分）∴（14分）
点评：
本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．
4．（2014•江西模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：
BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？
证明你的结论．
考点：
直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．
（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：
NA=1：
2．故应有EM：
FM=1：
2
解答：
解：
（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120
∴∠ACB=90，∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：
NA=1：
2．
∵EM=而EF=AC=，∴EM：
FM=1：
2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．
又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．
点评：
本题考查线面位置关系及判定，考查空间想象能力，计算能力，转化能力．
5．（2014•淮南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：
AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．
考点：
直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
（Ⅰ）证明四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ，证得QB⊥AD，由等腰三角形的性质可得PQ⊥AD，从而
证得AD⊥平面PBQ．
（Ⅱ）当t=1时，PA∥平面BMQ，可证四边形BCQA为平行四边形，故N为AC中点，由三角形的中位线的性质
可得MN∥PA，故有PA∥平面BMQ．
解答：
证明：
（Ⅰ）AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，
∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
（Ⅱ）当t=1时，PA∥平面BMQ．连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BC∥DQ，且BC=DQ，∴四边形BCQA为平行四边形，
且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN∥PA．
∵MN⊂平面BMQ，PA不在平面BMQ内，∴PA∥平面BMQ．
点评：
本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用．
6．（2014•海淀区二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．
（Ⅰ）求证：
AB⊥平面AA1C1C；
（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
（Ⅲ）证明：
EF⊥A1C．
考点：
直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．
（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．
（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．
解答：
（I）证明：
∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）
∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，
∴AB⊥面A1CC1．（4分）
（II）解：
∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，
面ABC∩面ABC1=AB，
∴AB∥DE，（7分）
∵在△ABC中，E是棱BC的中点，
∴D是线段AC的中点．（8分）
（III）证明：
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，
∴侧面A1ACC1是菱形，
∴A1C⊥AC1，（9分）
由（Ⅰ）得AB⊥A1C，
∵AB∩AC1=A，
∴A1C⊥面ABC1，（11分）
∴A1C⊥BC1．（12分）
又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，（13分）
∴EF⊥AC1．（14分）
点评：
本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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