高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章27.docx
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高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第阶段二章27
§2.7 函数的图象
最新考纲
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、【解析】法）表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
1.描点法作图
方法步骤:
（1）确定函数的定义域；
（2）化简函数的【解析】式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）；（4）描点连线,画出函数的图象.
2.图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x）
y＝－f（x）；
②y＝f（x）
y＝f（－x）；
③y＝f（x）
y＝－f（－x）；
④y＝ax（a>0且a≠1）
y＝logax（a>0且a≠1）.
（3）伸缩变换
①y＝f（x）
y＝f（ax）.
②y＝f（x）
y＝af（x）.
（4）翻折变换
①y＝f（x）
y＝|f（x）|.
②y＝f（x）
y＝f（|x|）.
概念方法微思考
1.函数f（x）的图象关于直线x＝a对称,你能得到f（x）【解析】式满足什么条件？
提示 f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）.
2.若函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象关于点（a,b）对称,求f（x）,g（x）的关系.
提示 g（x）＝2b－f（2a－x）
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数y＝f（1－x）的图象,可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位得到.（ × ）
（2）当x∈（0,＋∞）时,函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象相同.（ × ）
（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（ × ）
（4）函数y＝f（x）的图象关于y轴对称即函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称.（ × ）
题组二 教材改编
2.[P35例5（3）]函数f（x）＝x＋
的图象关于（ ）
A.y轴对称B.x轴对称
C.原点对称D.直线y＝x对称
答案 C
【解析】 函数f（x）的定义域为（－∞,0）∪（0,＋∞）且f（－x）＝－f（x）,即函数f（x）为奇函数,故选C.
3.[P32T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是.（填序号）
答案 ③
【解析】 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除①.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除②.故③正确.
4.如图,函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是.
答案 （－1,1]
【解析】 在同一坐标系内作出y＝f（x）和y＝log2（x＋1）的图象（如图）.由图象知不等式的解集是（－1,1].
题组三 易错自纠
5.下列图象是函数y＝
的图象的是（ ）
答案 C
6.把函数f（x）＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数【解析】式是________________.
答案 y＝ln
【解析】 根据伸缩变换方法可得,所求函数【解析】式为y＝ln
.
7.（2018·太原调研）若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解,则实数a的取值范围是__________.
答案 （0,＋∞）
【解析】 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象,如图所示.由图象知,当a>0时,方程|x|＝a－x只有一个解.
题型一 作函数的图象
分别画出下列函数的图象:
（1）y＝|lg（x－1）|；
（2）y＝2x＋1－1；（3）y＝x2－|x|－2；（4）y＝
.
解
（1）首先作出y＝lgx的图象,然后将其向右平移1个单位,得到y＝lg（x－1）的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y＝|lg（x－1）|的图象,如图①所示（实线部分）.
（2）将y＝2x的图象向左平移1个单位,得到y＝2x＋1的图象,再将所得图象向下平移1个单位,得到y＝2x＋1－1的图象,如图②所示.
（3）y＝x2－|x|－2＝
其图象如图③所示.
（4）∵y＝2＋
故函数的图象可由y＝
的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图④所示.
思维升华图象变换法作函数的图象
（1）熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋
的函数.
（2）若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
题型二 函数图象的辨识
例1
（1）函数y＝
的图象大致是（ ）
答案 D
【解析】 从题设提供的【解析】式中可以看出函数是偶函数,x≠0,且当x>0时,y＝xlnx,y′＝1＋lnx,可知函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.由此可知应选D.
（2）设函数f（x）＝2x,则如图所示的函数图象对应的函数【解析】式是（ ）
A.y＝f（|x|）B.y＝－|f（x）|
C.y＝－f（－|x|）D.y＝f（－|x|）
答案 C
【解析】 题图中是函数y＝－2－|x|的图象,
即函数y＝－f（－|x|）的图象,故选C.
思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手:
（1）从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性,判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性,判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性,判断图象的循环往复；
（5）从函数的特征点,排除不合要求的图象.
跟踪训练1
（1）函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝
x在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
答案 B
【解析】 因为函数g（x）＝
x为减函数,且其图象必过点（0,1）,故排除A,D.因为f（x）＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位得到的,所以f（x）为增函数,且图象必过点（1,1）,故可排除C,故选B.
（2）函数y＝
的部分图象大致为（ ）
答案 D
【解析】 令f（x）＝
则f（－x）＝
＝
＝f（x）,∴f（x）是偶函数,图象关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y＝
＝
显然y>0且函数单调递减,故D正确.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2
（1）已知函数f（x）＝x|x|－2x,则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数,单调递增区间是（0,＋∞）
B.f（x）是偶函数,单调递减区间是（－∞,1）
C.f（x）是奇函数,单调递减区间是（－1,1）
D.f（x）是奇函数,单调递增区间是（－∞,0）
答案 C
【解析】 将函数f（x）＝x|x|－2x
去掉绝对值,得
f（x）＝
画出函数f（x）的图象,如图,观察图象可知,函数f（x）的图象关于原点对称,故函数f（x）为奇函数,且在（－1,1）上单调递减.
（2）设f（x）＝|lg（x－1）|,若0＜a＜b且f（a）＝f（b）,则ab的取值范围是________.
答案 （4,＋∞）
【解析】 画出函数f（x）＝|lg（x－1）|的图象如图所示.
由f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1）,解得ab＝a＋b>2
（由于a＜b,故取不到等号）,所以ab>4.
命题点2 解不等式
例3函数f（x）是定义在[－4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式
＜0的解集为.
答案
∪
【解析】 当x∈
时,y＝cosx>0.
当x∈
时,y＝cosx＜0.
结合y＝f（x）,x∈[0,4]上的图象知,
当1＜x＜
时,
＜0.又函数y＝
为偶函数,
所以在[－4,0]上,
＜0的解集为
所以
＜0的解集为
∪
.
命题点3 求参数的取值范围
例4
（1）已知函数f（x）＝
若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是.
答案 （0,1]
【解析】 作出函数y＝f（x）与y＝k的图象,如图所示,由图可知k∈（0,1].
（2）已知函数f（x）＝|x－2|＋1,g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是.
答案
【解析】 先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象,如图所示,当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g（x）＝kx过A点时斜率为
故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时,k的取值范围为
.
思维升华
（1）注意函数图象特征与性质的对应关系.
（2）方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题.
跟踪训练2
（1）（2018·昆明检测）已知f（x）＝2x－1,g（x）＝1－x2,规定:
当|f（x）|≥g（x）时,h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时,h（x）＝－g（x）,则h（x）（ ）
A.有最小值－1,最大值1
B.有最大值1,无最小值
C.有最小值－1,无最大值
D.有最大值－1,无最小值
答案 C
【解析】 画出y＝|f（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f（x）|≥g（x）,故h（x）＝|f（x）|；在A,B之间,|f（x）|＜g（x）,故h（x）＝－g（x）.
综上可知,y＝h（x）的图象是图中的实线部分,因此h（x）有最小值－1,无最大值.
（2）设函数f（x）＝|x＋a|,g（x）＝x－1,对于任意的x∈R,不等式f（x）≥g（x）恒成立,则实数a的取值范围是.
答案 [－1,＋∞）
【解析】 如图作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图象,观察图象可知,当且仅当－a≤1,即a≥－1时,不等式f（x）≥g（x）恒成立,因此a的取值范围是[－1,＋∞）.
高考中的函数图象及应用问题
高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.
一、函数的图象和【解析】式问题
例1
（1）如图,长方形ABCD的边AB＝2,BC＝1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP＝x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f（x）,则y＝f（x）的图象大致为（ ）
答案 B
【解析】 当x∈
时,f（x）＝tanx＋
图象不会是直线段,从而排除A,C；
当x∈
时,f
＝f
＝1＋
f
＝2
.∵2
＜1＋
∴f
＜f
＝f
从而排除D,故选B.
（2）已知函数f（x）的图象如图所示,则f（x）的【解析】式可以是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
－1
D.f（x）＝x－
答案 A
【解析】 由函数图象可知,函数f（x）为奇函数,应排除B,C.若函数为f（x）＝x－
则x→＋∞时,f（x）→＋∞,排除D,故选A.
（3）（2018·全国Ⅱ）函数f（x）＝
的图象大致为（ ）
答案 B
【解析】 ∵y＝ex－e－x是奇函数,y＝x2是偶函数,
∴f（x）＝
是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.
当x＝1时,f
（1）＝
＝e－
>0,排除D选项.
又e>2,∴
＜
∴e－
>
排除C选项.
故选B.
二、函数图象的变换问题
例2已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f（x）的图象如图所示,则y＝－f（2－x）的图象为（ ）
答案 D
【解析】 方法一 先作出函数y＝f（x）的图象关于y轴的对称图象,得到y＝f（－x）的图象；
然后将y＝f（－x）的图象向右平移2个单位,得到y＝f（2－x）的图象；
再作y＝f（2－x）的图象关于x轴的对称图象,得到y＝－f（2－x）的图象.故选D.
方法二 先作出函数y＝f（x）的图象关于原点的对称图象,得到y＝－f（－x）的图象；然后将y＝－f（－x）的图象向右平移2个单位,得到y＝－f（2－x）的图象.故选D.
方法三 当x＝0时,y＝－f（2－0）＝－f
（2）＝－4.故选D.
三、函数图象的应用
例3
（1）已知函数f（x）＝
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根,则m的取值范围是.
答案 （3,＋∞）
【解析】 在同一坐标系中,作y＝f（x）与y＝b的图象.当x>m时,x2－2mx＋4m＝（x－m）2＋4m－m2,所以要使方程f（x）＝b有三个不同的根,则有4m－m2＜m,即m2－3m>0.又m>0,解得m>3.
（2）不等式3sin
－
x＜0的整数解的个数为.
答案 2
【解析】 不等式3sin
－
x＜0,即3sin
＜
x.设f（x）＝3sin
g（x）＝
x,在同一坐标系中分别作出函数f（x）与g（x）的图象,由图象可知,当x为整数3或7时,有f（x）＜g（x）,所以不等式3sin
－
x＜0的整数解的个数为2.
（3）已知函数f（x）＝
若实数a,b,c互不相等,且f（a）＝f（b）＝f（c）,则a＋b＋c的取值范围是.
答案 （2,2021）
【解析】 函数f（x）＝
的图象如图所示,不妨令a＜b＜c,
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1,而1＜c＜2020,
所以2＜a＋b＋c＜2021.
1.（2018·浙江）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
答案 D
【解析】 由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R,
令f（x）＝2|x|sin2x,则f（－x）＝2|－x|sin（－2x）
＝－2|x|sin2x.
∵f（x）＝－f（－x）,∴f（x）为奇函数.
∴f（x）的图象关于原点对称,故排除A,B.
令f（x）＝2|x|sin2x＝0,解得x＝
（k∈Z）,
∴当k＝1时,x＝
故排除C.
故选D.
2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动（与线段AB有公共点）时,把四边形ABCD分成两部分,设AE＝x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是（ ）
答案 C
【解析】 当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.
3.已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）,则函数y＝f（|x|＋1）的图象大致为（ ）
答案 A
【解析】 先作出函数f（x）＝logax（0＜a＜1）的图象,当x>0时,y＝f（|x|＋1）＝f（x＋1）,其图象由函数f（x）的图象向左平移1个单位得到,又函数y＝f（|x|＋1）为偶函数,所以再将函数y＝f（x＋1）（x>0）的图象关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x＜0时的图象,故选A.
4.若函数f（x）＝
的图象如图所示,则f（－3）等于（ ）
A.－
B.－
C.－1D.－2
答案 C
【解析】 由图象可得－a＋b＝3,ln（－1＋a）＝0,得a＝2,b＝5,∴f（x）＝
故f（－3）＝2×（－3）＋5＝－1,故选C.
5.函数f（x）的图象向右平移1个单位,所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称,则f（x）的【解析】式为（ ）
A.f（x）＝ex＋1B.f（x）＝ex－1
C.f（x）＝e－x＋1D.f（x）＝e－x－1
答案 D
【解析】 与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意,f（x）的图象向右平移一个单位,得y＝e－x的图象.∴f（x）的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到.∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.
6.（2018·承德模拟）已知函数f（x）的定义域为R,且f（x）＝
若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根,则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞,1）B.（－∞,1]
C.（0,1）D.（－∞,＋∞）
答案 A
【解析】 当x≤0时,f（x）＝2－x－1,当0＜x≤1时,－1＜x－1≤0,f（x）＝f（x－1）＝2－（x－1）－1.
类推有f（x）＝f（x－1）＝22－x－1,x∈（1,2],…,也就是说,x>0的部分是将x∈（－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的,其部分图象如图所示.
若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根,则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点,故a＜1,即a的取值范围是（－∞,1）.
7.设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞,0）∪（0,＋∞）上的偶函数,在区间（－∞,0）上是减函数,且图象过点（1,0）,则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为.
答案 {x|x≤0或1＜x≤2}
【解析】 画出f（x）的大致图象如图所示.
不等式（x－1）f（x）≤0可化为
或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}.
8.设函数y＝f（x）的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称,且f（－2）＋f（－4）＝1,则实数a＝.
答案 －2
【解析】 由函数y＝f（x）的图象与y＝2x－a的图象关于直线y＝－x对称,可得f（x）＝－a－log2（－x）,由f（－2）＋f（－4）＝1,可得－a－log22－a－log24＝1,解得a＝－2.
9.已知f（x）是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f（x）＝x,且在[－1,3]内,关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R,k≠－1）有四个实数根,则k的取值范围是.
答案
【解析】 由题意作出f（x）在[－1,3]上的示意图如图所示,记y＝k（x＋1）＋1,∴函数y＝k（x＋1）＋1的图象过定点A（－1,1）.
记B（2,0）,由图象知,方程有四个实数根,
即函数f（x）与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点,
故kAB＜k＜0,kAB＝
＝－
∴－
＜k＜0.
10.给定min{a,b}＝
已知函数f（x）＝min{x,x2－4x＋4}＋4,若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.
答案 （4,5）
【解析】 作出函数f（x）的图象,函数f（x）＝min{x,x2－4x＋4}＋4的图象如图所示,由于直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为（4,5）.
11.已知函数f（x）＝
的值域为[0,2],则实数a的取值范围是.
答案 [1,
]
【解析】 先作出函数f（x）＝log2（1－x）＋1,－1≤x＜0的图象,再研究f（x）＝x3－3x＋2,0≤x≤a的图象.
令f′（x）＝3x2－3＝0,得x＝1（x＝－1舍去）,由f′（x）>0,得x>1,
由f′（x）＜0,得0＜x＜1.
又f（0）＝f（
）＝2,f
（1）＝0.所以1≤a≤
.
12.已知函数f（x）＝2x,x∈R.
（1）当实数m取何值时,方程|f（x）－2|＝m有一个解？
两个解？
（2）若不等式f2（x）＋f（x）－m>0在R上恒成立,求实数m的取值范围.
解
（1）令F（x）＝|f（x）－2|＝|2x－2|,
G（x）＝m,画出F（x）的图象如图所示.
由图象可知,当m＝0或m≥2时,函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点,原方程有一个实数解；
当0＜m＜2时,函数F（x）与G（x）的图象有两个交点,原方程有两个实数解.
（2）令f（x）＝t（t>0）,H（t）＝t2＋t,t>0,
因为H（t）＝
2－
在区间（0,＋∞）上是增函数,
所以H（t）>H（0）＝0.
因此要使t2＋t>m在区间（0,＋∞）上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为（－∞,0].
13.已知函数f（x）＝
则对任意x1,x2∈R,若0＜|x1|＜|x2|,下列不等式成立的是（ ）
A.f（x1）＋f（x2）＜0B.f（x1）＋f（x2）>0
C.f（x1）－f（x2）>0D.f（x1）－f（x2）＜0
答案 D
【解析】 函数f（x）的图象如图实线部分所示,且f（－x）＝f（x）,从而函数f（x）是偶函数且在[0,＋∞）上是增函数,又0＜|x1|＜|x2|,
∴f（x2）>f（x1）,
即f（x1）－f（x2）＜0.
14.已知函数f（x）＝
g（x）＝1＋
若f（x）＜g（x）,则实数x的取值范围是.
答案
∪
【解析】 f（x）＝
g（x）＝
作出两函数的图象如图所示.当0≤x＜1时,由－1＋
＝x＋1,
解得x＝
；当x>1时,由1＋
＝x＋1,解得x＝
.结合图象可知,满足f（x）＜g（x）的x的取值范围是
∪
.
15.已知函数f（x）＝
g（x）＝|x－k|＋|x－2|,若对任意的x1,x2∈R,都有f（x1）≤g（x2）成立,则实数k的取值范围为____________.
答案
∪
【解析】 对任意的x1,x2∈R,都有f（x1）≤g（x2）成立,
即f（x）max≤g（x）min.
观察f（x）＝
的图象可知,当x＝
时,函数f（x）max＝
.
因为g（x）＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－（x－2）|＝|k－2|,
所以g（x）min＝|k－2|,所以|k－2|≥
解得k≤
或k≥
.
故实数k的取值范围是
∪
.
16.已知函数f（x）＝
若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1,x2,x3,使得
＝
＝
＝k,求实数k的取值范围.
解 由题意知,直线y＝kx与函数y＝f（x）（x∈[0,6]）的图象至少有3个公共点.函数y＝f（x）的图象如图所示,由图知k的取值范围是
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