九年级数学讲义.docx
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九年级数学讲义
九年级数学上册讲义
一、特殊的平行四边形
考点一：
直角三角形斜边上的中线的性质
1.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）
A.3B.3.5C.4D.4.5
2.如图2，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB的中点.若CE=2,则CD=（）
A.2B.3C.4D.5
总结：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
考点二：
特殊的平行四边形
1.如图3，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）
A.20B.15C.10D.5
2.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）
A.75°B.65°C.55°D.50°
3.如图5,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=（）
A.35°B.45°C.50°D.55°
【课堂练】4.如图6，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为______.
如图7，在菱形
ABCD中，∠ABC=60°，E为AB的中点，P为对角线BD上一点，AB=4，PA+PE的最小值为（
）
A.4
B.2
C.
23
D.
33
如图8，在菱形
ABCD的边长是
6，∠ABC=60°，点E、F、G是BC、CD、BD上的任意一点，则
EG+FG的最小
值是（
）
A.
33
B.2
C.
23D.6
【课堂练】
7.如图9，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE
的长为（）
A.3.5B.3C.2.8D.2.5
1
【课堂练】8.如图10，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）.A.3B.2.4C.4D.4.8
9.如图11，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为________.
10.如图12，在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为______.
【课堂练】11.在□ABCD中，AB=10，BC=14，E、F分别为边BC、AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE
的长为（）A.7B.4或10C.5或9D.6或8
【课堂练】12.如图13，在矩形ABCD中，AD=2AB,点M、N分别在AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是
AM
3
2
3
4
菱形，则MD等于（
）A.
8
B.
3C.
5
D.
5
13.如图14，边长分别为4和8的两个正方形
ABCD和CEFG并排放在一起，连结
BD并延长交EG于点T，交
FG于点P，则GT=（
）A.
2
B.
22
C.2
D.1
【课堂练】14.如图
15，边长为
6
的大正方形中有两个小正方形
.若两个小正方形的面积分别为
S1，S2,则
S1+S2的值为（
）A.16B.17
C.18
D.19
【课堂练】15.如图16，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，
PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）
A.B．C．D．
2
考点三特殊的平行四边形的判定
【课堂练】1.如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）
A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线
2.如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE，求证：
四边形BCDE是矩形.
3.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.
求证：
四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形.
4.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
并说明理由．
考点四探究问题
3
1如图
（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：
△ABD≌△FBC；
（2）如图
（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c2≠a2+b2．在任意△ABC中，c2=a2+b2+k．就a=3，
b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．
2.
（1）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使
它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由。
问题解决：
【有难度】（3）如图③，在四边形ABCD中，AB//CD,AB＋CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a,CD=b,且ba，
那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在的直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？
若存在，求出BQ
的长；若不存在，说明理由.
第二章一元二次方程
4
考点一一元二次方程的概念及方程的解
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的有____（填序号）
①ax2=3
②ax2+bx+c=0③（a2+1）x2—3x+1=0
④1
x=1⑤（x+2）2-3x=x（x-1）
警示：
什么是一元二次方程？
必须满足三个条件.
x
2.
关于x的方程mx2+3x-4=3x2是一元二次方程，则
m的取值范围是____.
3.
若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解，则
m的值是____.
警示：
上面两题无难度，问题是会算能算对不？
考点二
一元二次方程的解法
1.
解下列方程：
①2x2-18=0②9x2-12x-1=0③x2+12=7x
④2（5x-1）2=3（5x-1），比较简便的方法是（）
A.依次为：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为：
因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①直接开平方法②③用公式法④用因式分解法
D.①用直接开平方法②用公式法③④用因式分解法
2.关于x的两个方程x2-x-2=0与12有一个解相同，则a=____.
x1xa
3.解方程
（1）x2-2x-1=0
（2）（2x-1）2=x（3x+2）-7
考点三
一元二次方程的判别式
1.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，则
a的取值范围是（
）
A.a＞2
B.a≤2C.a
≥2D.a
≤2且a≠1
2.有两个一元二次方程：
M：
ax2
bx
c
0N：
cx2
bx
a
0，其中ac
0，以下列四个结论中，错
误的是（
）
A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程
N也有两个不相等的实数根；
B.如果方程M有两根符号相同，那么方程
N的两根符号也相同；
C.如果5是方程M的一个根，那么
1是方程N的一个根；
5
x
1
D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是
考点四
一元二次方程根与系数的关系
1.
设x1
、x2是一元二次方程x2
5x
10
的两实数根，则
x2
x
2的值为
.
1
2
2.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根分别为α、β，且α2+β2=7，则（α-β）2的值是____.
考点五一元二次方程的应用
1.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，
使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
2.
有一人患了流感，
经过两轮传染后共有
100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为
（
）
A．8人B．9人
C．10人
D．11人
3.
利用一面墙（墙的长度不限），另三边用
58m长的篱笆围成一个面积为
200m2的矩形场地.求矩形的长和
宽.
5
4.
（1）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为多少米？
※【课堂练】
（2）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
①求小亮设计方案中甬路的宽度x；
②求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：
小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）
5.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的
速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s
的速度移动.
①如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△
PBQ的面积等于
8cm2
？
②在①中，△PBQ的面积能否等于10cm2？
试说明理由.
6.
（1）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段
时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10
6
件玩具，若商场要获得10000元销售利润，还要让顾客得到实惠，求该玩具销售单价x应定为多少元？
【课堂练】
（2）某服饰店，平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
三、概率的进一步认识
（
考点一用树状图或表格求概率
1.从2,3,4，5这四个数字中，任意抽出两个不同数字组成一个两位数，则这个数字能被3整除的概率是___.
2.在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各2个，若从
中任意摸出一个球是白球的概率是1，则红球有____个.
3
【课堂练】3.甲、乙两人用手指玩游戏。
规则如下：
ⅰ）每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ⅱ）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小指、小指只胜大拇指，
否则不分胜负.依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，
（1）求甲伸出小拇指取胜的概率
（2）求乙取胜的概率.
考点二游戏公平性问题
（2013.杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片
（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片
（1）在序号中，是20的倍数的有：
20，40，能整除20的有：
1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计
一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；
（2）若规定：
取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复
计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？
请说明理由；
（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．
考点三用频率估计概率
一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x．甲、乙两人每
7
次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和
为8”的概率是____；
（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是1，那么x的值可以取7吗？
请用列表法或画树状图
3
法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值（以上答案均精确到0.01）．
第四章
图形的相似
考点一
成比例线段
1.
下列各组线段（单位：
cm）中，是成比例线段的是（
）
A.1，2，3，4
B.1
，2，2，4C.3
，5，9，13
D.1
，2，2，3
2.
若x
3，则x
y=_____.
y
4
x
3.
若a
b
c，则
2a
b
3c
=____.
5
7
9
a
b
2c
考点二比例的基本性质
☆☆【课堂练】1.若k=
a
b
c
，则y=kx+3一定经过的象限是第（
）象限.
bcacab
A.一、二B.一、三C.二、四D.一、三、四
思考：
你是否忘了要分类讨论？
【课堂练】2.若2mn
1，则m
_______.
n
3
n
考点三
平行线分线段成比例
1.如图，已知l1∥l2∥l3
，AB
m，则DE
_____.
BC
n
DF
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：
AD是AB和AF的比例中
项.
8
3.如图，AC∥BD，AD，BC相交于点E，EF∥BD.求证：
111.
ACBDEF
考点四
相似多边形
【课堂练】1.下列图形中一定相似的是（
）
A.有一个角相等的两个平行四边形B.
有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的菱形
D.
有一组邻边对应成比例的两个平行四边形
警示：
多边形相似必须同时满足：
对应角相等，对应边成比例这两个条件，缺一不可
.
所有的正多边形都相似.
【课堂练】2.如图，已知矩形
ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使
B点落在AD
上的F点，若四边形
EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____.
※3.（2014浙江绍兴）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为22、宽为
1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值
是________．
思考：
关键在于怎样折叠两个小矩形的长和宽才能最大？
考点五黄金分割
【课堂练】已知点
C和点D是线段AB的黄金分割点，且线段
AB的长是方程x2
4x10的根，求线段CD
的长.
☆☆考点六相似三角形的性质与判定
1.如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=_____.
2.
（1）如图2，E为矩形ABCD的边CD延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似的三角形的对数是（）A.6B.8C.9D.10
【课堂练】
（2）如图3，在?
ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE
交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）
9
A.2对B.3对C.4对D.5对
☆☆【课堂练】3.如图
4，在△ABC中
D、E
分别是AB、BC上的一点，且DE∥AC，若
△
:
△
1：
4，则△
:
△
（）A.1：
16
B.1：
18C.1：
20D.1:
24
SBDESCDE
SBDES
ACD
【课堂练】4.如图5，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上.若AB=1,AD=2,则S△BCE为（
）
A.1
B.
2
5
2
D.
4
C.
3
5
5
5.
（1）如图6，在平面直角坐标系中，A（0,4），B（2,0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△
AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A.1B.2C.3D.4
【课堂练】
（2）如图7，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP,△APD,△CDP两两相似,则a,b间的关系式一定满足（）
A.a≥1bB.a≥bC.a≥3bD.a≥2b
22
（3）如图8所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，
若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
（4）如图9，在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．如图，∠C=90°，
∠B=30°，当=BP时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的1．
BA4
6.如图，已知AB⊥BD，CD
⊥BD．
10
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在
BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、D
三点为顶点的三角形相似？
若存在，求
BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个
P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似？
并求
BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个
P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似？
并求
BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以
P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似的一个
P点？
两个P点？
三个P点？
考点七相似三角形的应用问题
1.如图所示，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌
面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的直径为
1.2m，桌面距离地面
1m，若灯泡距离地面
3m，
则地面上阴影部分的面积为（
2
2
2
2
）A.0.36πmB.0.81
πmC.2
πmD.3.24
πm
2.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情
况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图，小明边移动边观察，发现站到E处时，可以使
自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。
此时，测得小明落在墙上的影子
高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（总A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小
明求出楼高AB（结
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