构造对偶式的八种途径.docx
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构造对偶式的八种途径
siz~
I56
cosv--y
I8
构造对偶式的八种途径
在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这
对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
1.和差对偶
对于表达式u（x）_v（x），我们可构造表达式u（x）二v（x）作为它的对偶关系式。
例1若0:
:
:
:
n
，且3sinv-4cosv-5，求tanv的值。
2
解析：
构造对偶式：
3sinv-4cosv-y
则3si"收…5,得
3sinv-4cos）-y
点评：
这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例2已知：
a,b,c,dR，且ab2c2d2乞1,
求证：
（ab）（ac）4（ad）4（bc）4（bd）4（cd）4_6。
解：
设M=（ab）4（ac）4（ad）4（bc）4（bd）4（cd）4,构造对偶式
444444
N=（a-b）（a-c）（a-d）（b-c）（b-d）（c-d）
则有：
MN
=6（a4b4c4d42a2b22a2c22a2d22b2c22b2d22c2d2）
-6（a2b2c2d2）2岂6
又N_0，故M_6，即原不等式成立。
例3解方程：
.x28x2Vx^8x21=10
8x21
10a
2
（1）
解：
构造对偶式：
.x28x21-x28x•21-a，再由原方程联立可解得:
那么
（1）2
（2）2得:
（1）-
（2）得：
16x=10a，即a=
5
代入（3）中得：
2x42=丄（100-64x2）,
225
整理得：
？
x2=4,解得：
x--10。
253
2.互倒对偶
互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
111
例4若x,y,z・（0,1），求证：
一一
1—x+y1—y+z1—z+x
解：
设M二
构造对偶式:
11
++
_xy1-yz1-zx
N=（1一xy）（1-yz）（1-zx）,
-（1_zx）--
1-zx1-yz
_3。
1
+（1—x+y）++（1—y+z）
1-xy1-yz
_222=6
11
而N=3，故M_3，即一1一
1—x+y1—y+z1_z+x
例5设印82月3,,an为互不相等的正整数,
a?
a3an111
求证：
a•-2•冷…T-1「
2232n223n
aaa111
解：
设m=a•-2•冷2，构造对偶式：
n-
23na1a2an
则mn二⑻1）（a；1厂（a;1）-11j1
a-i2a2nan23n
111
又a1,a2,a3/,an为互不相等的正整数，所以N乞1，因此
23n
1
解析：
因f（x）・2f（）・x=0①
x
111
用一替代上式中的x，构造对偶式：
f
（一）•2f（x）•—=0
xxx
12
由①—②X2得：
f（x）•x_4f（）0
xx
2
故f（x）二
x2-2x
3x
3.共轭对偶
共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例7已知z•c，解方程：
z-3iz=13i。
解析：
由z-3iz=13i①
构造对偶式：
z「3iz=1-3i②
由①—②得z--z-2，代入②得（z•1）（zT-3i）=0,
故z--1或z--1•3i。
z—1
例8若ZEc，已知Z=1且Z式±1，证明：
为纯虚数。
z+1
z—1—z—1z—1z—1
解：
设，贝yM，构造对偶式：
N=1
z+1z+1z+1z+1
则M+N=厂1+丈一=0（因为z，z=|z2=1）z+1z+1
z—1
又0（因为z=二1）
z1
Z~d
•••为纯虚数。
z1
例9已知：
a0,b0，且a•b=1，求证：
.2a1,2b^^2。
证明：
设皿=.2a.2b1，构造对偶式：
n=2a.2b1
•••M2乞M2N2=4（ab）4=8
•M<22，即原不等式成立。
4.倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例10求和：
s=1C：
2C；3C3-4C4-nC：
解析：
观察和式联想到Ck=cn~,Q则S=0c0-1C；2C2-ncn①
构造对偶式：
S二nC：
（n-1）C；（n-2）C^0C；②
即②亦为：
S=0CO+1C：
+2C；+…+nCnn③
由①+③得：
nC：
•nCn-nC：
「nC：
•-2S=nC；+nC1+…+nC：
」+nC：
=n（C：
+C：
+…+C：
）
•-2S二n2n
•-S=n2n
点评：
利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，
岂不妙哉！
例11正项等比数列｛an｝中，Ta2a^an,a1a2■a^'■■-an试用s,t表
一111
示Qaia2an
解析：
传统解法都用a1,q表示s,t及Q,然后通过ai和q找到s,t,q的等量关系，这种解
法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q=1和q=1两种情形，如
此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。
其实，观察和式子与积式特征不妨
采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：
T=aia2a^an①
构造倒序对偶式：
T=an耳』-an^a1②
n
由①X②得：
T2=（aan）@叭）（an已）=佝an）2，即T=（a新
再来看：
Q」丄丄
a1a2an
③
111
构造倒序对偶式：
Q-
anan-1a1
④
即③+④得:
2Q
111111
（）（）（）,a1ana2an-2ana1
即2Q二壬皀•.楚壬，.•生』。
aiana2，an_2an，ai
由等比数列性质可知，右边的分母均为aan,故
（31an）@2an」）（anai）
2Q
3|&
发现定值：
1
f（x）f（—）=1。
x
1x2
111
那么S二f（—）f（—）f（—）f
（1）f
（2）f（3）f（4）①
432
111
构造对偶式：
S二f（4）f（3）f
（2）f
（1）f（）f（）f（）②
234
由①+②得：
例13求证:
1
3
5
2n-1
2
4
6
2n
解：
设
M=
XX
K…，构造对偶式：
N二
X
X…
2
4
6
2n
3
5
7
2n1
由千1
23
4
2n-12n
由于一
，-
；
,
2
34
5
2n2n1
因此M
:
:
N,
从而
M
21
2:
：
:
MN-
2n1
故M:
:
:
2n1
11—
例14求证：
（11）
（1）■
（1）.33n1
43n—2
证明：
待证不等式的左边为：
（11）（1丄）
（1）上§"。
43n—2143n—2
3n-2
例16设a,b,c•R，求证:
abbcca2
=3n1
•••M33n1
故原不等式成立。
7.轮换对偶
轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。
2b2
例15求证：
对任意实数a.1,b.1,都有8不等式成立。
b—1a—1
a2b2
证明：
设M--
b2
构造对偶式N
2a
b-1a—1
b-1
a-1
则M沖/2"2」
a2（ab）（a-b）2
-0，即M_N
b-1a-1（b-1）（a-1）
222222
证明：
设m=———-—-―c—，构造对偶式：
n=—-—c—-—a——
abbc
ca
abbcca
2
.2.2222
K1a
bbc
ca
abbcca,
…M
N-
+
+
abco
a
bbc
ca
222
abc
又M—
N=0,
即M=N_
2，
2
2
2
a
b
cabc
-+
+>
o
ab
bc
ca
2
八.互余对偶
三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。
例17已知X三，解方程：
cos2x+cos22x+cos23x=1
2
解析：
若令M=cos2xcos22xcos23x,构造对偶式：
N=sin2xsin22xsin23x
贝U：
MN=3①
2
M-N=cos2xcos4xcos6x=2cosxcos3x2cos3x-1
=2cos3x（cosxcos3x）-1=4cosxcos2xcos3x-1
M-N=4cosxcos2xcos3x-1②
1
由①+②得：
cosxcos2xcos3x（2M-2），又M=1
4
•cosxcos2xcos3x=0
•-cosx=0或cos2x=0或cos3x=0,x[0,—]
2
J[JtTt
•-x=一或x=—或x=—o
642
例18求sin10cos40sin10cos40的值。
解析：
令M=sin10cos40sin10cos40,
构造对偶式：
n=cos210sin240-cos10sin40，贝卩
MN=2sin10cos40cos10sin40=2sin50
M-N二-cos20cos80sin10cos40-cos10sin40
二-2sin50sin30「sin30二
”50
MN=2sin50
1
M一N=sin50
3
二M二一
4
点评：
这是一道比较典型的三角求值题。
通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜。
在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能提高解题速度，而且能收到以简驭繁，简缩思维，拓宽思路的功效，同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，对于激发学生学习数学的兴趣也是大有裨益。
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