函数的微分偏微分及梯度散度旋度在Mizar语言下的实现.docx
《函数的微分偏微分及梯度散度旋度在Mizar语言下的实现.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的微分偏微分及梯度散度旋度在Mizar语言下的实现.docx（53页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
函数的微分偏微分及梯度散度旋度在Mizar语言下的实现
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在Mizar语言下的实现
青岛科技大学
硕士学位论文
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在Mizar语言下的实现
姓名:
谢冰
申请学位级别:
硕士
专业:
应用数学
指导教师:
梁希泉
20090610青岛科技人学研究生学位论文
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度
在语言下的实现
摘要
系统是一种计算机语言系统,是集逻辑证明、推理演绎、复杂计算、校
验排版、科研教学于一体的处理数学信息的形式化系统,并拥有自己的数学知识
数据库
。
本文首先介绍数学机械化及系统的发展历史,其次对如何利用
语言完成数学论文的撰写和进行自动推理校验给出了简要的说明。
本文在
系统下讨论了函数偏微分、高阶偏微分理论及相关性质,实现了矢量场、梯度、
散度、旋度的形式,针对不同的数学问题给出了相应的算法和严格的证明,
且通过了系统验证。
所获结果被收录在数据库中,并以论文的形式发表在
波兰杂志上。
主要工作如下:
.在语言下实现了多元函数的微分,借助其微分建立起欧氏空间中二
元函数偏微分定义的新形式,讨论了二元函数偏微分的运算性质及可微与连续的
关系。
.在系统下,首次实现了二阶偏微分的表述,定义的形式简洁明
了,并完成了相应的运算公式和定理的证明与验证。
.将二元函数偏微分的理论推广到三维欧氏空间中,定义了矢量场,由此在
系统下第一次实现了梯度、散度、旋度的定义并将其相关的定理与运算实现
了机械化。
关键词:
数学机械化语言系统形式化数学计算机证明青岛科技大学研究生学位论文
佃
,
,,
.
.
,,,.,
.,:
.
.,
..,.
.
,.
Ⅲ函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
:
青岛科技人学研究生学位论文
声明
独创性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研
究成果。
尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外,论文中
不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含本人已用于其他学位申请
的论文或成果。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了
明确的说明并表示了谢意。
申请学位论文与资料若有不实之处,本人承担一切相关责任。
本人签名:
日期:
立年月侈日
毒舸水
关于论文使用授权的说明
本学位论文作者完全了解青岛科技大学有关保留、使用学位论文的规定,有
权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借
阅。
本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,
可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
本人离校后发表或
使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时,署名单位仍然为青岛科
技大学。
保密的学位论文在解密后适用本授权书
本学位论文属于:
保密口,在年解密后适用于本声明。
不保密口。
请在以上方框内打“√’’
;雨冰
本人签名:
日期:
潲年月『;日
日期:
导师签名:
。
听年月,易日
琴布永青岛科技人学研究生学位论文
绪论
.
数学机械化的历史及发展现状
以蒸汽机为标志的工业革命开创了体力劳动机械化的时代,而以电子计算机
为标志的科技革命使人类社会由工业时代进入信息时代,为实现脑力劳动的机械
化提供了物质基础。
数学是整个科学的基础,是联络自然科学和高科技的纽带。
今天,数学已经发展成为研究一切可能的数量关系与空间形式的科学,从研究的
内容、范围、意义到方法都发生了深刻的变革,数学机械化便是适应信息时代而
产生的新兴研究领域。
数学机械化又称为机械化方法或机器证明,其思想实质是以构造性与算法化
的方式从事数学研究,是数学推理过程的机械化以至自动化,尽量减少对聪明才
智的要求,并由此减轻艰难的重脑力劳动『。
数学机械化实现的关键在于寻找某
些依据和法则可以机械按部就班进行的方法,在现代通常称为算法,而这种算法
又可以编写成程序在计算机上实施。
数学机械化就是数学定理能够在计算机上实
现证明。
定理的机器证明
是指使用计算机证明定
理成立,即把人工证明定理的过程,通过一套符号体系加以形式化,变成一系列
在计算机上自动实现的符号计算推导过程,它的实质是把具有智能特点的推理演
绎过程机械化。
定理的机器证明是人工智能领域一个重要的分支,从传统手工证
明到定理机器证明的转变是现代数学思想方法的一次重大突破。
机械化思想早在我国古代数学就已经存在了。
中国古代数学主要以算筹为运
算工具,从汉初完成的《九章算术》中对开平方、开立方机械化过程的描述,到
宋元时代发展起来的求解高次代数方程组的机械化方法,无一不与数学机械化思
想息息相关。
在近代,机械方法证明数学定理的思想是从世纪法国数学家笛卡尔创立
的解析几何开始的。
解析几何的创立,第一次将无章可循的几何定理证明按一定
的步骤化为代数形式解决,在空间形式和数量关系之间架起了一座理论桥梁,为
几何问题的证明方法走上机械化道路奠定了基础。
德国著名数理逻辑学家、微积
分学创始人莱布尼兹明确提出机器可成为推理工具的思想,他制造了最原始的乘
法计算器,并设想研制“推理机器能够自动检验数学命题的正确性。
世纪
末,德国数学家希尔伯特埘从理论上提出定理证明机械化的思想。
年函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
他在经典名著《几何基础》一书中叙述了数学机械化定理:
“初等几何中只涉及
从属于平行关系的定理证明可以机械化。
这个定理提供了一条从公理化出
发,通过代数化而达到机械化的道路,至此数学证明的机械化思想初步形成。
但
这些思想在当时仅仅是一种预示性的理论,无法在实际中具体操作实施。
世纪年代电子计算机问世为数学定理的机器证明提供了物质设备条件,
使数学机械化思想有了实现的可能性。
年代中期,美国开始了利用计算机证明
数学定理的尝试。
年,美国卡尔基大学一兰德公司协作组的纽厄尔八
、西蒙.和肖乌等人建立了机器证明的启发式搜索法,编成了
一个“逻辑理论机程序,成功证明了罗素、怀特海所著的《数
学原理》第二章条定理中的条定理,是机器证明史上第一个奠基性的突破,
这一年可作为人类历史上计算机证明的开端。
年,著名数学逻辑学家、美籍
华人王浩教授设计了一个机械化方法,在机上仅用分钟的运行时间证
明了《数学原理》这一经典著作中的几百条定理,在数学和数理逻辑学界引起了
轰动,宣告了数学定理计算机证明操作的可行性。
年美国的阿佩尔、哈肯和
科奇完成了构造可约构形的不可避免集工作,在高速计算机上用近小时证
明了“四色问题德国数学家麦比乌斯于年提出著名的四色猜想:
“如果
只用四种颜色能否对球面上或平面上的任何地图着色”’,使一百多年来未悬而
未决的难题得到解决,震惊了学术界。
这一事件表明计算机作为辅助工具在定理
证明中存在着巨大的潜力。
我国也于世纪年代参与到数学机械化这个新兴研究领域中。
年著名
数学家吴文俊院士在《中国科学》上发表《初等几何判定问题与机械化证明》的
科学论文,提出了用计算机证明几何定理的机械化方法。
它与通常基于数理逻辑
的证明方法有着本质的不同,显现了无比的优越性,第一次在计算机上证明了一
大类初等几何问题,如西姆松定理、弗尔巴哈定理、莫勒定理等,还发现了不少
新的不平凡几何定理,实现了初等几何与微分几何定理的机器证明,开创了一个
崭新的数学机械化领域。
.
国内外研究现状
在当今的信息时代,随着数学机械化研究的不断深入,人们已经能够根据机
械化方法创建各种机器语言来编写程序,并在计算机上给出证明。
短短几十年内,
人们不仅对初等几何和微分几何中的一些主要定理的证明实现了机械化,近年来
又对三角函数、双曲函数等一类超越函数的公式实现了机械化证明。
同时机器证
明在分析拓扑学、集合论以及递归函数等方面都获得了成功的应用。
数学机械化
青岛科技人学研究生学位论文
不仅仅是数学本身理论研究方面的实质性进展,也为诸多高科技问题的解决提供
有力的工具。
它不断发展到众多前沿领域,用于解决计算机图形与视觉、信息处
理、数控技术中的关键问题,建立自动推理平台,而且被应用于如力学、理论物
理、数控机床、计算机辅助设计等交叉学科。
迄今为止,全世界已存在种『可用来进行定理证明的机器语言系统,其
中有种数学定理证明系统受到北美数学知识管理组织
简称,致力于数学机械化的一个国际化的数学组织
及大多数专家的认可,譬如系统、系统『、系统,和
系统『。
近年来,越来越受人们关注的还有和。
荷兰数
学家从是否需要数学数据知识库支持这个方
面对、、、、/、/、/、、、
、、、、、、
、等
种著名的数学定理证明系统进行比较,发现、、、、/、
、、
、等个系统需要庞大的数学数据知识库支持。
至今为止,系统拥有世界上最大的数学领域知识库
。
在国内,以吴文俊院士为首的数学家们坚持不懈地从事几何定理证明机械化
的研究,形成了自动推理的中国学派,使我国在数学机械化领域处于国际领先地
位。
年,张景中院士根据面积法创立消点算法,成功地研制出几何定理自动
生成的可读数学证明的软件。
年,张景中、杨路、高小山、周咸青合作实
现了第一个非欧几何定理证明自动生成的算法和程序,迅即产生了一百多个非欧
几何定理的可读证明,其中半数以上的定理是从未见过或未被证明的。
年,
杨路创立了降维算法并研制出实现这种算法的数学软件,在计算机上实现了二千
多个不等式的机械化证明,是几何定理机械化证明领域的又一个重大突破。
年张景中院士研制出第三代智能数学平台软件,它的推广有利于加快中学数学现
代化进程,开创了世界智能性数学教学软件的先河。
我国数学家开拓的新的数学
机械化道路,在国际上产生了巨大的影响。
宣言向人们描绘了未来的数学世界:
“将来所有的数学知识都可以用计
算机以编码的形式编写,并通过机器进行验证和改错。
’’人们的这个梦想完全体
现在当今世界层出不穷的各种定理证明系统中『。
.
系统的发展历史和研究现状
系统是从人工智能的一个分支?
?
定理自动证明的发展过程中产生和
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
发展起来的,用于构建数学知识库的证明校验的计算机语言系统,是一个数
学定理证明工具。
如今已发展成为集逻辑证明、推理演绎、复杂计算、校验
排版功能于一体的数学信息处理的形式化系统,并拥有自己的编辑语言?
?
语言和世界上最大的数学数据知识库
。
起源于年,当时正在撰写拓扑学博士论文拘教授
萌生了一种强烈的想法一能否借助计算机撰写自己的数学论文。
在年月
日召开的华沙大学图书馆学和科学信息学院的研讨会上,教
授第一次提出要创建开发一种可以用来帮助撰写数学论文的计算机语言,论证了
实现的可行性,并对这种语言在功能上具备的一些特点作了说明:
、具有可存储性和可编译性,撰写的论文可存储在计算机中,并且可将其翻译
成数学语言;
、格式整齐,语法简洁易懂;
、具有支撑整个数学领域自动化信息系统的基本要素;
、具备简便查验错误、查证参考文献、删减重复定理的功能;
、具备实现自动排版的功能;
、可进行数学定理证明的相关教学活动。
和
第一个可运行的系统是,
教授于年秋天合作设计的关于逻辑谓词验算的语言程序,
并在系统的计算机上成功运行。
虽然耗时较长,但语法分析和语义结
构是完全正确的。
年月,教授发表了一篇名为“
’的短文,第一次以文字的形式论述了他创建的机器证明语言?
?
语
言。
随即语言的研究得到波兰科学协会的资金支持,同年月,
教授向该协会提交了语言的初级版本:
.,同时介绍了如何
使用语言借助雅斯科夫斯基自然演绎推理方法撰写逻辑谓词
验算的证明过程,值得一提的是当时教授预见数学知识数据库的
问题。
此时的系统已经可以用地?
、?
、?
虹?
、丛?
、
?
?
.。
这样的语义词来编写定理证明的过程了。
.年间,在华沙大学被用于谓词逻辑及数学命题计算机辅助证明课程的教学中。
年,系统实现了
至/
的艰难进化,并完成了将系统发展成为./的目标。
年,系
统在语义和句法方面做了大量的充实和改进,新定义了谓词、结构
、预声明、绝对相等
等概念,并首次对关系和函数进行了定义,系统升级为
青岛科技人学研究生学位论文
很多命题已不需要证明就能在系统中实现自行验证。
年年间,系统完成了从.到讫.的升级,首次在论
文中出现了对环境部的设置,文章格式更加规范。
系统在
、和等多种不同的机器上的成功运行,充分的说明了语法
的正确性及逻辑的合理性。
在?
年和年,分别实现了
和.两次重大的突破,现在所用的版本就是从再次升级的
系统演化而来的。
.年是系统实现飞跃发展的重要时期。
年,应用在机上
的成功运行,被称为.。
次年月日,数学数据库
?
正式开始使用。
月日,第一篇标准的.论文
教授将讫系统中加入。
上蔓癸,大
收录于中。
月到月间,
大增强了文章的可读性。
年,基于系统的论文期刊《
正式出版发行。
.年间,期刊
得到了美国
的资金支持。
年,协会的
教授在系统中增加了用于查询语义的浏览工具
。
年,数学百科全书完成『。
经过多年的发展,系统目前已升级到..版本,.数据库
中收录的文章达一千余篇,包含了万多个数学定义,多万条定理。
.
课题研究的目的和意义
以自然演绎推理的古典逻辑为基本框架,从逻辑推理和数学定理证明发展起
来的系统,具有撰写和检验数学论文的双重功能。
目前,诸多数学领域,如
集合论、代数学、分析学、拓扑学、运筹学中的绝大多数定理都可以利用
系统进行证明,很多复杂的数学定理实现了机械化证明,一些难以证实的猜想得
到了初步证明,并且发现了一批新定理。
同时,系统也在不断实现自我完善与发展,提升了语言的处理能
力,扩充了的知识储备,系统的自动逻辑推理和校验纠错的能力得到加强,
加速了与其他机器证明工具的交叉研究和相互转化。
此外,系统具有智能性
的“人机对话”功能,在推理演绎过程中能自动发现论证的矛盾性,提高了使用
系统的安全性和科学性。
除了自身的发展外,系统还为数学机械化和其他领域的机械化研究提供
可行的新思路、新方法、新工具。
日本的数学家、计算机科学专家
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
教授,利用语言完成抽线定理的证明,并且在人工智能方面使
系统参与实现了微型机器人、音像识别系统、自动化控制、数字信号传输等多方
面的成果研究。
将来随着计算机的飞速发展和研究的不断深入,系统势必在
更多领域得到广泛应用。
.课题研究的主要内容
系统自年建立以来,数据库不断充实完善,系统完成了数次
成功的升级,收录了来自波兰、日本、中国、加拿大等多个国家的教授学者和研
究生撰写的数学论文。
几乎含盖了数学领域的所有学科,如数学分析、
集合论、代数学、几何学、拓扑学、逻辑学、图论、范畴理论等等。
微分学的出现,为人们研究各种运动提供了犀利的数学工具。
诚如恩格斯所
说:
“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,而且也表明
过程?
?
运动。
实际上当今微分学的运用不单单局限在自然过程,它已被延伸
到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。
偏微分
作为微分学的一个重要分支,与其他数学分支有着广泛的联系,如在广义函数与
空间、椭圆边值问题、能量方法、算子半群等方面。
同时偏微分在工程技
术中也有广泛的应用,建筑、航空航天等现代技术中都以其作为基本的数学工具。
虽然数学库知识储备庞大,但关于多元函数高阶偏微分理论及梯度、散度、
旋度的定义和相关性质等都没有涉及和实现。
本课题的研究是建立在对数学定理的机器证明和数学定理的自动推理系统
?
?
娩及其语义、语法深刻理解的基础上,在系统中利用系统语言和庞
大的数学数据库,对函数偏微分及梯度、散度、旋度的理论和方法做进
一步研究。
借助对系统和数学机械化的探讨,为后继的高维微积分基本定理
及梯度、散度、旋度同外微分算子的理论等方面在系统下实现机械化奠定理
论和实践基础。
本文主要从以下几个方面在系统中进行研究:
.基于中对于函数微分和赋泛线性空间中函数偏微分的一般性定义,
给出借助单变量函数微分为依托而建立起来的欧氏空间中二元函数偏微分定义
的新形式,在此基础上进而讨论了二元函数偏微分的运算性质以及可微与连续的
关系。
.在系统下,从另一个角度将欧氏空间中二元函数的二阶微分看作二
元函数偏微分的再次微分进行定义,首次实现了二阶偏微分的叙述。
定义的
形式简洁明了,与之前给出的二元函数偏微分的定义保持了形式上的一致性,并
青岛科技人学研究生学位论文
给出相应的公式和相关定理的证明。
.将二元函数偏微分的定义和定理推广到三维欧氏空间中,利用逻辑
语言给出了矢量场的表示形式,由此在下第一次定义了在近代物理学、高阶
椭圆方程、高阶抛物方程、方程等偏微分方程中应用广泛的梯度、散度、
旋度并将彼此间的关系实现了机械化。
本文围绕着多元函数的偏微分内容展开,主要讨论了欧氏空间中二元、三元
函数的偏微分、高阶偏微分的相关定理以及梯度、散度、旋度等内容,均在
系统中得以实现。
创新之处是在系统中首次定义了函数微分学中诸多概念和
偏微分算子表达式,建立了一个关于函数偏微分学较为完整的理论体系,实现了
定理的证明,系统地完成了数学理论的转化。
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
系统概述
.
系统简介
系统由波兰华沙大学的教授组织拘协会领导,其
逻辑框架基于自然演绎推理的古典逻辑『。
系统的建立的起始目的是设计
一个软件环境来帮助数学家处理、撰写和验证数学论文,因此古典数学和集合理
论就成为软件环境发展的基础。
系统主要由三部分组成:
.语言。
帮助数学家使用计算机可以识别的语言撰写数学学术论文。
.软件。
用于整理编排数学学术论文和检验其正确性与否。
.数据库。
是世界上可以被计算机检验和处理的最大的数学知识数
据库。
使用语言进行定义、计算、推理演绎及数学定理证明而形成的文章称为
文章,利用系统提供的软件可以在计算机上对其进行检验和优化。
通
过系统验证准确无误的论文将被发表在波兰的杂
志上,并收录至数学数据库中。
.
语言
.语言是数学逻辑推理演绎的计算机语言,由包含数字、英文字母和
各类标号在内的码组成,这些基本的符号是依据常用的数学符号与一般的
码相结合的原则定义出来的,是计算机可以编译、人类可以识别的一种程序
化语言。
该语言的逻辑符号是在纯粹的数学符号及其英文表述和一般的字
符相结合的基础上演变发展起来的。
表?
对普通数学命题中的逻辑符号和
语言中的逻辑符号进行了比较:
、?
?
?
:
≠∈,
普通数学命题中●一
的逻辑符号
语言中八\/
的逻辑符号
表普通数学命题中的逻辑符号和语言系统中的逻辑符号
青岛科技大学研究生学位论文
在语言系统中,每一个变量都有自己从属的数据类型。
在书写文章时
必须声明所使用的变量是数据库中的哪一种数据类型,以便系统处
理文章。
若不进行变量声明,系统将不承认其存在的合理性。
主要包含以下几种
数据类型:
集合,自然数,实数,复数,
拓扑空间,矩阵,实数集,复数
集,
的子集等等。
.
文章结构
数据库中的文章,都是使用语言撰写的。
~文章是文本文件,
可以在任何一个文本编辑软件中编写。
文章包括两部分:
环境部和
文章的主体部分。
具体形式见图?
所示:
图缸文章的一般结构
:
.?
在部分,要对论文书写过程中引用的定义、定理、符号和结构等的
出处进行声明,相当于普通数学论文中的参考文献部分。
环境部具体可以分为五
部分:
词汇引用,符号引用,包括:
,
,定义引用,定理引用,
模式引用。
图?
说明了的书写格式:
函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
图环境部引用分类词汇
远.
其中,,....县,:
..月。
表示被引用的文章名列表。
部分是文章引用的词汇列表,同时也表明了算符词汇的运算优先
级。
部分包括,,,通
知处理器这篇文章可以使用此处列出的文章里的符号。
其他三个引用
,表明论文可以引用这些列表文章中的定义、定理、
模式等。
文章的主体部分包括作者所作的数学术语、定义及
与定义相关的性质,,见图.。
通过定义新概念,编
写逻辑证明,列举特例,完成定理的演绎,从而实现理论体系的转化,使数
学理论得以在系统中继续发展。
青岛科技大学研究生学位论文
∞
馘
图.
.文部分的内容组成
.?
.
基本命题表述词汇
常用于命题表述的语言词汇和基本的语法句型有:
数据属性预声明
、结构词和、假设词、简单依据引导词、结构依据引导词
、推导词、“任意取定’’词、“存在取定’’词、因果连接词
、结论引导词和、条件引导词
和、存在条件引导词、
全称命题?
?
、扩散陈述命题?
?
、数据属性转换?
硒?
等等。
论文就是由这些语言词汇和语法句型连接的命题表述或证明。
语法逻辑也蕴含在如数学归纳法、分类讨论法、同一性证明方法、归谬法等各种
具体方法中,在欧氏空间中偏微分、高阶偏微分和矢量场实现的章节中,我们将
给出具体示例和详细说明。
.
中定理证明的方法
系统是基于§演绎推理的古典逻辑构建而成的,拥有符合古典
逻辑推理的基本证明方法。
..语言中命题表述的一般形式
与传统数学语言陈述命题类似,语言中主要有七种命题表述:
、简单命题【】,
、与命题】&【Ⅵ,函数的微分、偏微分及梯度、散度、旋度在语言下的实现
【】,
、推导命题】
、等价命题【】【】
、或命题】【】,、全称命题“】,
【】。
、存在命题这里的【】和【】分别代表关于,的命题。
..基本证明方法
、直接法
从命题条件出发,通过正确合理的推导过程得出命题的结论。
举例:
用直接
法证明命题“若,则;:
:
为命题条件
;:
:
为命题结论,得证成立
;
;
、间接法
又称反证法或无理法,即假设命题结论的否命题成立,通过推导得出矛盾。
“’’是使用是间接法的标志。
举例:
用间接法证明命题“若,则
;
勰
;:
:
假设非成立,即假设命题结论的否命题成立
;
:
:
推得矛盾,说明与非不能同时成立
;
;
、特殊命题的证明方法
与命题拆分证明法拆分法即将命题拆成多个分命题,通过对分命题逐个
证明,来完成命题整体的证明。
青岛科技入学研究生学位论文
等价命题双向法双向法即将等价命题看作“左推右”和“右推左两个
方向的单命题,再依次采用直接法或间接法进行推理证明。
或命题单一否定法或反证法通常采用单一否定法,即通过否定其中一个
命题,完成肯定另一个命题的证明。
也可以用反证法,即将命题的结论全部否定,
通过推理得出矛盾,从而证明必有或命题中的一个结论成立。
扩散性命题的证明方法通常采用以“?
?
’’为引导词的语句证明。
.存在性命题的证明一般用“?
?
”语句作总结性证明。
.
系统中的定义
在系统中,对定义的要求十分严格,不但定义本身要缜密合理,而且
分类要明确。
泣系统的定义主要包括:
模式定义、谓词定义、
算子定、属性定义、定义、结构定义。
对于
不同类型的定义是否需要证明存在性和唯一性系统做出了
明确的规定,如表中所示【】,“表示需要证明,无“表示无需证明。
模式
谓词
算子
属性
表定义证明分类
..模式定义
“”是模式定义的标志,有两种定义的形式,分别由和来引导。
形式的定义需要证明存在性,形式的
升级会员 