多边形的内角和与外角和 同步提高练习 解析版.docx
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多边形的内角和与外角和同步提高练习解析版
多边形的内角和与外角和同步提高练习汇编
一、单选题
1、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A、∠A=∠1+∠2
B、2∠A=∠1+∠2
C、3∠A=2∠1+∠2
D、3∠A=2（∠1+∠2）
2、如图，在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（ ）
A、230°
B、210°
C、130°
D、310°
3、已知一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为（）
A、6
B、7
C、8
D、9
4、如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=132°，∠BGC=118°，则∠A的度数为（ ）
A、65°
B、66°
C、70°
D、78°
5、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（ ）
A、∠A=∠1+∠2
B、2∠A=∠1+∠2
C、3∠A=2∠1+∠2
D、3∠A=2（∠1+∠2）
6、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，则∠C是（ ）
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、以上都有可能
7、从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（ ）
A、6
B、7
C、8
D、9
二、填空题
8、七边形的内角和是________度．
9、在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于________度.
10、一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是________边形．
11、如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________．
12、如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________米．
13、一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于________度．
14、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．
15、如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角度数为________．
16、如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片（∠EFG＝90°）按如图所示的位置摆放，
使直角三角形纸片的一个顶点E恰好落在长方形纸片的一边AB上，已知∠BEF＝21°，则
∠CMF＝________．
三、计算题
17、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．
四、解答题
18、一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
19、一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2012°，求这个内角的度数及多边形的边数．
20、如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，则∠AED=________
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．________
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：
∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．
五、综合题
21、如图，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB．
（1）求∠FCD的度数；
（2）求证：
AF∥CD．
22、实验探究：
（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=________；
②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD=________
（2）猜想证明：
如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：
请你直接利用以上结论，解决以下列问题：
①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数；
（4）②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，
若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，则∠A的度数为________．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】B
【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
2∠A=∠1+∠2，理由：
∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选：
B．
【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
2、【答案】A
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
∵△ABC中，∠C=50°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣130°=230°，
故选：
A．
【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．
3、【答案】A
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的外角和为360°，则该多边形的内角和为360°×2=720°，
则（n-2）·180°=720°.
解得n=6.
故选A.
【分析】多边形的外角和为360°，且多边形内角和公式为（n-2）·180°.
4、【答案】C
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠FBC=2∠DBC，∠GCB=2∠DCB，
∵∠BFC=132°，∠BGC=118°，
∴∠FBC+∠DCB=180°-∠BFC=180°-132°=48°，
∠DBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-118°=62°，
则
2∠DBC+∠DCB＝48°①
∠DBC+2∠DCB＝62°②
由①+②可得：
3（∠DBC+∠DCB）=110°，
∴∠ABC+∠ACB=3（∠DBC+∠DCB）=110°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-110°=70°，
故选C．
【分析】由三角形内角和及角平分线的定义可得到关于∠DBC和∠DCB的方程组，可求得∠DBC+∠DCB，则可求得∠ABC+∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠A．
5、【答案】B
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】在△AED中，∠A=180°-（∠AED+∠ADE），则∠AED+∠ADE=180°-∠A,
由折叠可知∠1=180°-2∠AED，
∠2=180°-2∠ADE，
则∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠ADE）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，
即2∠A=∠1+∠2.
故选B.
【分析】根据三角形的内角和可得∠AED+∠ADE=180°-∠A，又根据折叠和平角的定义可得∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠ADE，从而等量代换化简可得.
6、【答案】D
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：
∵0°＜∠A＜90°，0°＜∠B＜90°，∴如果∠A=10°，∠B=20°，那么∠C=180°﹣10°﹣20°=150°，是钝角；
如果当∠A=30°，∠B=60°，那么∠C=180°﹣30°﹣60°=90°，是直角；
如果当∠A=60°，∠B=59°，那么∠C=180°﹣60°﹣59°=61°，是锐角；
即∠C可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角．
故选D．
【分析】在0°＜∠A＜90°，0°＜∠B＜90°举出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理求出∠C，得出∠C的所有情况，即可得出答案．
7、【答案】C
【考点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：
设多边形有n条边，则n﹣2=6，
解得n=8．
故选C．
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．
二、填空题
8、【答案】900
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
七边形的内角和是：
180°×（7-2）=900°．
故答案为：
900°．
【分析】由n边形的内角和是：
180°（n-2），将n=7代入即可求得答案．
9、【答案】230
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵∠C=50°，
∴∠C处的外角=180°-50°=130°，
∴∠1+∠2=360°-130°=230°．
【分析】根据三角形的外角与相邻的内角互补，可以得到∠1+∠2=360°-（∠3+∠4），然后根据三角形的内角和定理求得∠3+∠4，然后代入即可求解．
10、【答案】12
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
设这个多边形是n边形，
根据题意得：
（n﹣2）×180=1800，
解得：
n=12．
∴这个多边形是12边形．
故答案为：
12．
【分析】首先设这个多边形是n边形，然后根据题意得：
（n﹣2）×180=1800，解此方程即可求得答案．
11、【答案】15°
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，
∴∠ABF=∠EAD﹣∠BFD=15°，
故答案为：
15°．
【分析】根据常用的三角板的特点求出∠EAD和∠BFD的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
12、【答案】90
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
13、【答案】36
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
外角的度数是：
360°÷10=36°，
故答案为：
36．
【分析】根据多边形的外角和是360度，再用360°除以边数可得外角度数．
14、【答案】360°
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，连接AD．∵∠1=∠E+∠F，∠1=∠FAD+∠EDA，
∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：
360°．
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
15、【答案】67.5°或22.5°
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
有两种情况；
（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB=90°，
已知∠ABD=45°，
∴∠A=90°﹣45°=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=
×（180°﹣45°）=67.5°，
2）如图当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，
已知∠HFE=45°，
∴∠HEF=90°﹣45°=45°，
∴∠FEG=180°﹣45°=135°，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G，
=
×（180°﹣135°），
=22.5°．
故答案为：
67.5°或22.5°．
【分析】先知三角形有两种情况
（1）
（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
16、【答案】69°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
延长MF交AB于H，则∠EFG=90°
∵∠BEF=21°
∴∠BHF=90°+21°=111°
∵CD∥AB
∴∠CMF=180°-∠BHF=180°-111°=69°
故答案为：
69°
【分析】延长MF交AB于H，求出∠BHF或∠EBF，再根据平行线的性质求得∠CMF.
三、计算题
17、【答案】解：
∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=
∠ACB=40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°．
∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°
【考点】三角形内角和定理
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
四、解答题
18、【答案】解：
根据题意，得
（n-2）•180=1620，
解得：
n=11．
则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．
【考点】多边形内角与外角
【解析】【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
19、【答案】解：
∵2012÷180=11…32，
∴这个多边形的边数与2的差是12，
∴这个多边形的边数是：
12+2=14，
∴这个内角的度数是：
180°×12﹣2012°
=2160°﹣2012°
=148°
答：
这个内角的度数为148°，多边形的边数为14
【考点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形内角和定理：
（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），可得：
多边形的内角和一定是180°的倍数，而多边形的内角一定大于0°，并且小于180°，用2012除以180，根据商和余数的情况，求出这个多边形的边数与2的差是多少，即可求出这个多边形的边数，再用这个多边形的内角和减去2012°，求出这个内角的度数是多少即可．
20、【答案】
（1）60°；∠AED=∠A+∠D，
证明：
方法一、延长DE交AB于F，如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠D，
∴∠AED=∠A+∠DFA=∠A+∠D；
方法二、过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D.
（2）当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；
当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【分析】
（1）①易求得∠AED=∠A+∠D；②方法一：
运用了平行线的性质和三角形外角的性质；方法二：
运用了平行线的性质；
（2）有四种情况，分别画出图形，运用平行线的性质和三角形外角的性质去分析解答.
五、综合题
21、【答案】
（1）解：
∵六边形ABCDEF的内角相等，∴∠B=∠A=∠BCD=120°，
∵CF∥AB，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠FCD=60°
（2）解：
∵∠AFC=360°﹣120°﹣120°﹣60°=60°，∴∠AFC=∠FCD，
∴AF∥CD．
【考点】平行线的判定与性质，多边形内角与外角
【解析】【分析】
（1）先求六边形ABCDEF的每个内角的度数，根据平行线的性质可求∠B+∠BCF=180°，再根据四边形的内角和是360°，求∠FCD的度数，从而求解．
（2）先根据四边形内角和求出∠AFC=60°，再根据平行线的判定即可求解．
22、【答案】
（1）60°；60°
（2）猜想：
∠A+∠B+∠C=∠BDC；
证明：
连接BC，
在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC，
即：
∠A+∠B+∠C=∠BDC
（3）①由
（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC，
∵∠BAC=40°，∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ABE+∠ACE=40°，
∴∠BEC=40°+40°=80°；
（4）40°
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：
（1）动手操作：
①∵BC∥EF，
∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°，
∴∠ABD=90°﹣45°=45°，∠ACD=60°﹣45°=15°，
∴∠ABD+∠ACD=60°；
②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
而∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，
而∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A=60°．
故答案为60°；60°；
4）②由
（2）可知：
∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°，∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°，
∵∠ABF3=
∠ABD，∠ACF3=
∠ACD，
∴ABD+∠ACD=120°﹣∠A，∠A+
（∠ABD+∠ACD）=64°，
∴∠A+
=64°，
∴∠A=40°，
故答案为40°．
【分析】
（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC，（3）应用
（2）的结论即可求得．
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