衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四文.docx

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衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四文

（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四文

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．若复数（是虚数单位），则（）

A．B．C．2D．4

3．若，且，则下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

4．下列结论中正确的个数是（）

①“”是“”的充分不必要条件；

②命题“”的否定是“”；

③函数在区间内有且仅有两个零点.

A．1B．2C．3D．0

5．已知关于的不等式对任意的恒成立，若的取值范围为区间，在区间上随机取一个数，则的概率是（）

A．B．C．D．

6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：

一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：

尺），则空白处可填入的是（）

A．B．C．D．

7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

8．已知某函数在上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A．B．C．D．

9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：

“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，若这个刍甍的体积为，则的长为（）

A．1B．2C．3D．4

10．在中，角的对边分别为，，，且的面积为，则的周长为（）

A．B．C．D．

11．设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

12．已知定义在区间上的函数，为其导函数，且恒成立，则（）

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为．

14．已知平面向量，，且，则在方向上的投影是．

15．若双曲线的渐近线与圆相交，则此双曲线的离心率的取值范围是．

16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若，，，，则球的体积为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，，求数列的前项和.

18．在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.

（1）求证：

平面；

（2）若，，为的中点，求三棱锥的体积.

19．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.

（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；

（2）从乙地所得分数在间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在间的概率；

（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.

20．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.

21．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，方程有两个相异实根，且，证明：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，并求出直线的倾斜角；

（2）求曲线上的点到直线的最大距离.

23．选修4-5：

不等式选讲

已知函数，若的解集是或.

（1）求实数的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

文数（四）答案

一、选择题

1-5:

CBDAC6-10:

BCACD11、12：

DC

二、填空题

13．114．15．16．

三、解答题

17．解：

（1）∵，

∴.

∴，

∴数列的通项公式为.

（2）由，得，

又，

∴，

即，

∴数列是以3为首项，2为公比的等比数列，

∴，

∴，

∴，

，

两式相减，得，

∴.

18．解：

（1）∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面.

又平面，∴.

∵平面，且平面，

∴.

又平面，平面，，

∴平面.

（2）在直三棱柱中，.

∵平面，其垂足落在直线上，

∴.

在中，，，

∴，

即，

在中，.

由

（1）知，平面，平面，

从而，

∴.

∵为的中点，

∴.

∴.

19．解：

（1）由题得，甲地得分的平均数为，

乙地得分的平均数为，

乙地得分的中位数为.

（2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：

，，，，，，共6种，其中至少有一份分数在间的情况有：

，，，，，共5种.

故所求概率.

（3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为，乙地中的两份分别为.

随机抽取其中2份，所有情况如下：

，，，，，，，，，，一共10种.

其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：

，，，.

故所求概率.

20．解：

（1）由中点坐标公式，得

即，.

∵点在圆上运动，

∴，

即，

整理，得.

∴点的轨迹的方程为.

（2）设，，直线的方程是，代入圆.

可得，

由，得，

且，，

∴.

∴，

解得或1，不满足.

∴不存在实数使得.

21．解：

（1）由题得，.

当时，由于，可得，

即.

∴在区间内单调递增，

当时，由，得，

由，得，

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减.

（2）由

（1）可设，方程的两个相异实根，满足，

且，，

即.

由题意，可知，

又由

（1）可知，在区间内单调递减，故.

令，

则.

令，

则.

当时，，是减函数，

∴.

∴当时，，

即.

∵在区间内单调递增，

∴，

故.

22．解；

（1）由，

得，

将代入上式，化简，得.

所以直线的倾斜角为.

（2）在曲线上任取一点，

则点到直线的距离，

当时，取得最大值，且最大值是.

23．解：

（1）∵，

∴

作出函数的图象，如图所示：

由的解集为或及函数图象，

可得

解得.

（2）由题知，，不等式恒成立，

即，不等式恒成立，

由

（1）可知，（当且仅当时取等号），

∴，

当时，，

∴，

∴，

当时，，成立；

当时，，

∴，

∴，

综上所述，实数的取值范围为.