四年级奥数几何知识.docx
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四年级奥数几何知识
四年级奥数几何知识 面积的计算
1、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？
【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：
（90+10）×（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：
90×45=4050（平方米）。
所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。
（90+10）×（45+5）-（90×45）=950（平方米）
练习
（1）有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米？
练习
（2）一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？
2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
【思路导航】由：
“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的宽是54÷6=9（米）；又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：
36÷3=12（米），所以，这个长方形的面积是12×9=108（平方米）。
（36÷3）×（54÷9）=108（平方米）
练习
（1）一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？
练习
（2）一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米？
练习（3）一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。
3、下图是一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积有多大。
【思路导航】根据题意，因为一面利用墙，所以两条长加上一条宽等于16米，而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6（米）。
因此，占地面积是6×4=24（平方米）
（16-4）÷2×4=24（平方米）
练习
（1）下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场的占地面积有多大？
练习
（2）用56米长的木栏围成一个长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
4、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如下图），面积比原来的正方形减少181平方分米，原正方形的边长是多少？
【思路导航】把阴影的部分剪下来，并把剪下的两个小正方形拼合起来（如下图），再补上长，长和宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是：
181+8×5=221（平方分米），长是原来正方形的边长，宽是：
8+5=13（分米）。
所以，原正方形的边长是221÷13=17（分米）
（181+8×5）÷（8+5）=17（分米）
练习
（1）一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变成一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方分米，求原来的正方形的边长。
练习
（2）一个长方形木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形，求原来长方形的面积。
练习（3）一块正方形的玻璃，长和宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
[奥数课堂]巧用幻方解题
同学们都知道，在幻方图中，每行、每列、两条对角线上的几个数的和都相等。
利用幻方的这个特性，我们就可以迅速简洁地解答一些数字填充问题。
试举几例如下：
例1将1－9填在图1中，使每条线上各数之和都相等。
我们可以先把这9个数编成一个三阶幻方，根据幻方中的数据就可以很容易地填出答案（还有其它多种填法）。
例2将4－20填在图2中使两条线上各数之和都相等，每个方框上各数之和也都相等。
我们先假定中间所填之数为4或20，然后再把其余的16个连续数编成一个四阶幻方，即：
或
由此，我们就可根据幻方图中每一横行的数据，使两条直线上各数之和都相等，即：
然后再根据幻方图中每一竖行的数据，调整两条直线上的数字位置，使每个方框上各数之和也都相等。
即：
例3在图3，以○为顶点，有四个小等边三角形和三个大等边三角形。
将20－28填入○内，使每个等边三角形的三个顶点上数字之和都相等。
通过观察，我们可以发现，这道题从外侧的三个小等边三角形入手比较容易。
制好幻方图后，很快便可填出答案。
如果填完之后其它几个等边三角形还不符合要求，就需要再进行数字位置调整。
由此可得：
通过以上几例，同学们不难发现利用幻方解题的巧妙之处。
看似复杂的题目，利用幻方知识得以迎刃而解。
[奥数课堂]用图表找规律巧解题
时间：
2005-10-2819:
59:
53 作者：
张永胜 来源：
网友投稿
例把一块烙饼分给11个小朋友，只允许切6刀。
每个小朋友最多分到几块？
（每人块数相等）
由题目可知，这道题实际上是求6刀最多能切几块，所以必须首先搞清楚这6刀该如何切。
一刀不切，只有一块。
切一刀只能切成两块。
切两刀，如果两刀不相交能切成3块，如果两刀相交能切成4块。
[因题目要求最多，故两刀必须相交。
]
切3刀，如果3刀共点能切成6块，如果3刀不共点能切成7块。
[因题目要求最多，故三刀不能共点。
]
切4刀，按照“两刀必须相交，3刀不能共点”的切法，能切成11块。
切5刀、6刀能切成几块呢？
画图太麻烦，需要根据刚才切的结果来找规律：
只看块数，不容易找出规律，和刀数联系起来看可知：
切几刀就比前一次的块数多几块。
即：
块数=前一次的块数+本次刀数。
这样可知5刀切（11+5=）16块，6刀切（16+6=）22块。
分给11个小朋友，每人分得：
（16+6）÷11=2（块）。
从这道题可知，通过画图，经过思考，得出了切的方法。
运用表格，分析数据，找出了刀数与块数之间的规律，进而使问题顺利解决。
用“赋值法”解题
同学们在解有些竞赛题时，由于缺少抽象思维能力而感到难以下手。
“赋值法”就能使比较抽象的数量关系变为更具体，从而使问题得到解决。
例：
甲、乙两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒，从乙身边开过用了7秒，车头离甲后5分钟又与已相遇，从乙与车头相遇开始，再过多少分钟甲乙两人相遇？
题中只告诉了3个时间，求的也是时间，而时间与所行的速度及路程有关，要求出问题应知道甲、乙两人的速度。
根据题意应设火车的长度为56（通常设为7和8的公倍数），这样就可以求出人和火车的速度，故本题这样解：
解：
设火车的长为56米，则
当车头遇乙时甲乙相距：
（7.5-0.5）×（60×5）=2100（米）
甲乙两人的相遇时间为：
2100÷（0.5×2）÷60=35（分）
练一练：
1．一辆汽车沿山路行驶，上山每小时行10千米，下山沿原路返回每小时行15千米，求这辆车上、下山的平均速度。
（设山路长）
2．搬运一堆土，若用200名工人需5天；若用25辆马车需4天；若用5辆卡车需2天。
现有100名工人、10辆马车、2辆卡车同时搬运。
问：
运完这堆土需多少天？
（设1名工人1天运土1）
“最大与最小”问题
在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。
在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。
例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：
1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。
相应的两个乘数的和是：
1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。
显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。
例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：
1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。
经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。
结论一：
从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。
例3试求和为8，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：
1+7、2+6、3+5、4+4。
相对应的两个加数的积是：
1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。
显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。
例4试求和为13，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：
1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。
经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个
结论二：
从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。
例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。
如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？
分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。
要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。
而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。
所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。
这时晒谷场的面积是：
14×14=196（平方米）
例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。
如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？
分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。
所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。
这时所需毛竹是：
30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）
例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。
分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？
因为：
97+86=183，96+87=183，它们的和相等。
又有：
97-86=11，96-87=9
显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。
所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。
所以，7应放在8后面，6应放在9后面。
同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。
它们的积是
9642×8753=84396426
例8试比较下列两数的大小：
a=8753689×7963845
b=8753688×7963846
分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。
仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。
因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。
很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
等分法在解题中的妙用
“等分法”就是将一个物体或数量等分几份的一种解题方法。
运用这种方法解答有关多边形的面积问题，常会使人有“柳暗花明”的感受。
一、运用平行四边形定义等分。
例1求图1正六边形的面积。
（单位：
厘米）
分析与解将正六边形按图2所示等分成3个平行四边形。
所以，正六边形的面积为：
37.5×（65÷2）×3=3656.25（平方厘米）
例2如图3，四边都相等的两个完全相同的四边形，在两边的中点处部分重合。
已知重合部分的面积是8平方厘米。
求阴影部分的面积。
分析与解将图3按图4所示等分成7个棱形。
所以，阴影部分的面积为：
8×6=48（平方厘米）
二、运用梯形定义等分
例3如图5所示，求出中队旗的面积。
（单位：
厘米）
分析与解将图5按图6所示等分成2个梯形。
所以，中队旗的面积为：
（60+80）×30÷2×2=4200（平方厘米）
例4将正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接8个端点得到一个八边形（如图7），求阴影部分的面积。
分析与解将八边形按图8所示等分成4个梯形。
所以，阴影部分的面积为：
（2+2×2）×2÷2×4=24（平方厘米）
三、运用三角形面积法等分。
例5如图9，梯形的面积是36平方厘米，BE是BC的一半。
求阴影部分的面积。
分析与解将梯形按图10所示等分成3个等底等高的三角形。
所以，阴影部分的面积为：
36÷3=12（平方厘米）
例6如图11，平行四边形的面积是49平方厘米，E是底边上的中点。
求阴影部分的面积。
分析与解将平行四边形按图12所示等分成4个等底等高的三角形。
所以，阴影部分的面积为：
49÷4=12.25（平方厘米）
四、运用中点性质等分
例7如图13，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。
求阴影部分的面积。
分析与解将阴影部分等分成与△AEF完全相等的3个三角形（如图14）。
所以，阴影部分的面积为：
（10÷2）×（6÷2）÷2×3=22.5（平方厘米）
“韩信点兵”出新招
（韩信点兵）有兵3万多，若均分成5营，则余1人；均分成6营，则余5人；均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人；均分成13营，则余5人。
求兵数。
这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但用整除的知识来解答确也是一个好方法。
解设兵数为x，由题目可知：
①30000＜x＜40000
②“均分成5营，则余1人”使我们知道：
x的末尾数字是1或6，然后又均分成6营，余5人，因5是奇数，6是偶数，所以x末尾数字不可能为6，只可能为1。
抓住“均分成6营，则余5人”和“均分成13营，则余5人”就得到：
13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以78|（x-5），且经计算商的范围在385和512之间，若设商为n，那么兵数x可以表示为78n＋5（385≤n≤512），x的末尾数字是1，那么x-5的末尾数字一定是6，（x-5）÷78的商n的末尾数字也只能是2或7，这就是说x可能为：
30191、30581、30971、31361、31751、32141……39941（相邻两数之差是390）。
但由于“均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人”，因此还得将以上的数检验一下，为了方便起见，可用数的整除特征来检验。
当检验得知32141符合题意时，还得继续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。
具体做法如下：
32141-10=32131，又32131＋390m＜40000，则m≤20，已知11|32131，如11|390m，就有11|32131＋390m，仅当m=11时。
则从中可知36431除以11余10，但用来除以7时并不余4，而是余3，表明x=36431是不符合题意的。
由此就可确定此题有唯一解，即x=32141。
最值问题解法举例
在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。
一、枚举法
例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：
3＋2＋1=6（次）。
二、综合法
例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）
分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法
例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b的最大值是多少？
（广州市五年级数学竞赛试题）
分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得
43a＋b=一个三位数
因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）
当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
四、公式法
例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？
（广州市小学数学竞赛试题）
分析与解设两个正数分别为a、b，它们有以下几种关系，a＋b≥
值，运用此公式，本题迎刃而解。
即这两个自然数的积的最大值为81。
五、图表法
例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。
为了使每位乘客都有座位。
那么这辆汽车至少应有座位多少个？
（北京市“迎春杯”数学竞赛试题）
分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：
从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为
（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）
所以这辆汽车至少应有座位30个。
最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。
数列推理的妙用
我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推理，得出其排列规律，从而推出要填的数。
例如：
在下列各列数中，□内应填什么数？
（1）3，11，19，□；
（2）7.9，6.6，5.3，□；
（3）□，25，42，59。
这几列数的排列规律是不难发现的：
在第
（1）列数中，后一个数比前一个数多8，□内应填27；在第
（2）列数中，后一个数比前一个数少1.3，□内应填4；在第（3）列数中，前一个数比后一个数少17，□内应填8。
巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。
今举数列说明如下。
例1学校计划购买篮球和排球。
如果购买6只篮球和5只排球要花263元；如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。
问一只篮球和一只排球各值多少元？
解把已知条件写成下面两列：
篮球64
排球57
价值263245
首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即6→4→2→0；同理，第二列数为5→7→9→11，第三列数为263→245→227→209。
上面推理过程可以表述为：
现在我们竖着看，第四列（推出的）数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为（209÷11=）19（元）。
再根据第一个条件，可算得1只篮球为（263-19×5）÷6=）28（元）。
例2甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个；甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。
问甲、乙两人每时各加工几个零件？
解把已知条件写成竖列，按横列推理：
竖着看：
第四列（即推出的最后一列）表示甲5时做60个零件，则每时做（60÷5=）12（个）零件，从而知道乙每时做的零件个数为：
（213-12×11）÷9=9（个）
这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向（至少有一列递减）推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。
上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。
例3某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。
试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元？
解把已知条件写成两列：
苹果34
雪梨52
价值22.5016.00
横着从左往右推理，第一列为
……推不出零；第二列为
→……也推不出零。
因此，考虑从右往左推理（已知条件为右边的两列）。
这里，左边的第一竖列（推出的）表示14千克雪梨42.00元，则每千克雪梨价格为（42.00÷14=）3.00（元），所以，每千克苹果的价格为：
（16.00-3.00×2）÷4=2.50（元）。
最后需要说明的是，这种数列推理的方法，虽然巧妙有趣，但并不是万能的。
如果已知条件给出的数列，横着从左往右推或从右往左推都得不到某项为零时，就不能用这种方法直接推理得到结果。
这时，我们就应该换一换思考角度，用其他方法来处理。
谈谈数学解题中的假设方法
所谓假设法，就是假设题中的某几个数量相等，或假设要求的一个未知量是已知数量，把复杂问题化为简单问题处理，再进行推算，以求出原题的答案。
其解题思路可用下图表示。
假设思想方法是一种重要的数学思维方法，掌握它能使要解决的问题更形象、更具体，从而丰富解题的思路。
下面举例说明用假设法解题的常见类型。
一、条件假设
在解题时，有些题目数量关系比较隐蔽，如果对某些条件作出假设，则往往能顺利找到解题途径。
例1有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。
求黑、白棋子各有多少个？
分析与解假设每次取出的黑子不是4个，而是6个，也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。
由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。
但是实际上当白子取尽时，剩下黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差2个。
由此可知，一共取的次数是（16÷2=）8（次）。
故白棋子的个数为：
（3×8=）24个），黑棋子个数为（24×2=）48（个）。
25吨，问甲、乙两堆货物原来各有多少吨？
把这种假设的情形与题中已知情形作出比较，发现多了（27.5-25=）2.5吨。
=50（吨），所以甲堆货物有60吨。
二、问题假设
当直接解一些题目似乎无从下手时，可对问题提出假设性答案，然后进行推算，当所得结果与题目的条件出现差异时，再进行调
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