采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题.docx
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采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题
采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题
一、内容介绍
在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点
1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题
1平面问题极坐标解的基本方程
学习思路:
选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以和边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：
1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量
为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示
在极坐标系中，用σρ表示径向正应力，用σϕ表示环向正应力,τϕρ和τρϕ分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ＝τρϕ。
首先推导平衡微分方程的极坐标形式。
考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ和τϕρ,则CD面上的应力分量为
如果AD面上的应力分量为σϕ和τρϕ，则BC面上的应力分量为
。
同时，体力分量在极坐标径向ρ和环向ϕ方向的分量分别为Fbρϕ和Fbϕ。
2、极坐标平衡微分方程
设单元体的厚度为1，如图所示
考察其平衡
首先讨论径向的平衡，注意到，可以得到
简化上式，并且略去三阶微量，则
同理，考虑微分单元体切向平衡，可得
简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即
3、极坐标下的应变分量
以下推导极坐标系统的几何方程。
在极坐标系中，位移分量为uρ，uϕ，分别为径向位移和环向位移。
极坐标对应的应变分量为：
径向线应变ερ，即径向微分线段的正应变；环向线应变εϕ为环向微分线段的正应变；切应变γρϕ为径向和环向微分线段之间的直角改变量。
首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移uρ，uϕ所引起的应变。
如果只有径向位移uρ，如图所示
借助于与直角坐标同样的推导，可以得到径向微分线段AD的线应变
为；环向微分线段AB=ρdϕ的相对伸长为；
如果只有环向位移uϕ时，径向微分线段线没有变形，如图所示
环向微分线段的相对伸长为；
将上述结果相加，可以得到正应变分量
4、几何方程的极坐标表达
下面考察切应变与位移之间的关系。
设微分单元体ABCD在变形后变为A'B'C'D'，如图所示
因此切应变为
γρϕ=η+（β-α）
上式中表示环向微分线段AB向方向转过的角度，即；表示径向微分线段AD向方向转过的角度，因此；而角应等于A点的环向位移除以该点的径向坐标，即。
将上述结果回代，则一点的切应变为。
综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为
5、本构方程的极坐标表达
由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成ρ和ϕ就可以了。
对于平面应力问题，有
对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，ν分别换为
，就可以。
6、极坐标系的Laplace算符
平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为。
由于σx+σy=σρ+σϕ为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的Laplace算符转换为极坐标的形式。
因为，x=ρcosϕ，y=ρsinϕ，即。
将ρ和ϕ和分别对x和y求偏导数，可得
根据上述关系式，可得以下运算符号
则
将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的Laplace算符。
另外，注意到应力不变量
，因此在极坐标系下，平面问题的由应力表达的变形协调方程变换为
7、应力函数
如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。
不难证明下列应力表达式是满足平衡微分方程的
这里
（ρ，ϕ）是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。
将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得
显然这是极坐标形式的双调和方程。
总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。
在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式
求解应力，然后通过物理方程
和几何方程
求解应变分量和位移分量。
§7.2轴对称问题的应力和相应的位移
学习思路:
如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时，称为轴对称结构。
轴对称结构的应力分量与ϕ无关，称为轴对称应力。
如果位移也与ϕ无关，称为轴对称位移问题。
本节首先根据应力分量与ϕ无关的条件，推导轴对称应力表达式。
这个公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。
因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。
轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解答。
应该注意的问题是如何确定轴对称问题。
学习要点：
1、轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对称位移和应力表达式。
1、轴对称应力分量
考察弹性体的应力与ϕ无关的特殊情况，如图所示。
即应力函数仅为坐标ρ的函数。
这样，变形协调方程
即双调和方程成为常微分方程
如将上式展开并在等号两边乘以ρ4，可得
这是欧拉方程，对于这类方程，只要引入变换ρ=et，则方程可以变换为常系数的微分方程，有
其通解为
注意到t=lnρ，则方程的通解为
将上式代入应力表达式
则轴对称应力分量为
上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。
2、轴对称位移
现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。
对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程
可得应变分量
根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。
将上式代入几何方程
可得位移关系式
对上述公式的第一式
积分，可得
其中f（ϕ）为ϕ的任意函数。
将上式代入公式的第二式
则
积分后可得
这里g（ρ）为ρ的任意函数。
3、轴对称位移函数推导
将径向位移
和环向位移
的结果代入公式的第三式
则
或者写作
上式等号左边为ρ的函数，而右边为ϕ的函数。
显然若使上式对所有的ρ和ϕ都成立，只有
其中F为任意常数。
以上方程第一式的通解为
这里H为任意常数。
为了求出f（ϕ），将方程的第二式对ϕ求一次导数，可得
其通解为。
另外
将上述公式分别代入位移表达式
可得位移分量的表达式
4、轴对称位移和应力表达式
位移分量的表达式
中的A，B，C，H，I，K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。
上述公式表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。
但是在轴对称应力中，假如物体的几何形状和外力，包括几何约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。
这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不论ρ和ϕ取什么值，都应有uϕ＝0。
因此,B=H=I=K=0。
所以，轴对称应力表达式可以简化为
而位移表达式简化为
上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E，分别换为
即可。
§7.3圆筒受均匀分布压力的作用
学习思路:
本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。
问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。
除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。
这个解答工程上称为拉梅（Lamé）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。
学习要点：
1、厚壁圆筒内外作用均匀压力；2、厚壁圆筒受内压力
1、厚壁圆筒内外作用均匀压力
设有圆筒或圆环，如图所示
内半径为a，外半径为b，受内压力q1和外压力q2的作用。
显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，则其位移也是轴对称的。
将轴对称应力公式
代入本问题的边界条件
求解可得
联立求解上述公式，可得
将上述所得的A，C回代轴对称应力公式
可得Lamé解答
2、厚壁圆筒受内压力
当外壁压力q2为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆筒应力为
根据上述分析，容易看到径向应力小于零，为压应力；而环向应力大于零，为拉应力。
最大应力为发生在内壁的拉应力，其值为
§7.4曲梁纯弯曲
学习思路:
本节介绍曲梁纯弯曲问题。
对于曲梁，其几何形状并不具有轴对称性质，但是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。
因此这是一个典型的轴对称应力问题。
由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取的应力和位移表达式。
问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式的待定系数。
除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。
根据分析，曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力σϕ沿横截面高度按双曲线分布，这与直梁的弯曲应力是不同的。
因此，平面假设用于曲梁是不准确的。
学习要点：
1、曲梁纯弯曲边界条件；2、曲梁弯曲应力；3、曲梁纯弯曲位移与平面假设
1、曲梁纯弯曲边界条件
设有矩形截面的曲梁，如图所示
其内半径为a，外半径为b，两端受弯矩作用，设单位宽度的弯矩为M。
取曲率中心为坐标原点O，从梁的一端量取ϕ。
由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同，因此可以认为各个截面的应力分布是相同的，也就是说应力分布是轴对称的。
其应力分量满足轴对称应力公式
根据边界条件可以确定待定常数A，B，C。
本问题的边界条件为
将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到
2、曲梁弯曲应力
上述公式
的第三式是第一，第二式线性组合的必然结果。
将其余三个方程联立求解。
可以得到
其中
将上述系数代入应力分量表达式，不难看出
则
上述应力分量表达式称为克洛文解。
应力分布如图所示
在内边界，即ρ=a，弯曲应力σϕ最大。
中性轴，即σϕ=0处，在靠近内边界一侧。
挤压应力σρ的最大值较中性轴更靠近内边界一侧。
3、曲梁纯弯曲位移与平面假设
对于曲梁的弯曲位移，可将系数A,B,C代入轴对称应力的位移表达式
而其余待定常数H，K，I将由梁的约束条件来确定。
假设
，和
即认为P点的位移为零，而且该点的径向微分线段沿ϕ方向的转角也为零，如图所示
将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则
将上述待定系数回代轴对称应力的位移表达式
则可得曲梁的位移。
以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移
曲梁横截面上的任一径向微分线段的转角α为
对于曲梁的任一横截面，ϕ为常数，因此横截面上的所有微分线段的转角α均相等。
这也就是说，曲梁的横截面保持平面。
这与材料力学关于梁的弯曲变形平面假设是一致的。
但是，弯曲应力σϕ按双曲线分布显然与直梁的弯曲应力是不同的，而且假设径向应力σρ=0和τρϕ=0，就是认为纵向纤维仅受简单的环向拉压的假设对于曲梁是不成立的。
但是，由于平面假定的正确，所以对于曲率不大的曲梁，这个误差并不是特别显著。
因此，材料力学弯曲应力σϕ的计算公式在工程中广泛应用。
§7.5曲梁受径向集中力
学习思路:
本节讨论曲梁作用径向集中力问题。
曲梁在集中力作用下，已经不是轴对称应力问题。
对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。
对于曲梁作用径向集中力，借助于边界弯矩与应力函数的关系，找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。
对于应力函数中的待定系数，则根据边界条件确定。
学习要点：
1、曲梁径向集中力问题的应力函数；2、边界条件；3、曲梁应力
1、曲梁径向集中力问题的应力函数
设有矩形截面的曲梁，如图所示
其内半径为a，外半径为b，一端固定而另一端受径向力F作用，设其为单位宽度。
取曲率中心为坐标原点O，从梁的一端量取ϕ。
根据曲梁受力分析，任一横截面的内力，弯矩与sinϕ成正比。
因此根据应力函数的性质，假设问题的应力函数也与sinϕ成正比，即
将上式代入变形协调方程
可以得到f（ρ）所需要满足的方程
这个方程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为
将其代入应力函数表达式，则
2、边界条件
根据极坐标应力分量表达式
可得曲梁应力分量为
现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数A,B和D。
本问题的面力边界条件为
将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得
3、曲梁应力
求解上述方程，可以得到
其中
将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式
则曲梁的应力分量为
§7.6带圆孔平板的均匀拉伸
学习思路:
平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。
圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。
孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。
这种现象称为应力集中。
孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。
根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：
一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。
对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。
孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。
学习要点：
1、带圆孔平板拉伸问题；2、厚壁圆筒应力函数；3、应力与边界条件；4、孔口应力。
1、带圆孔平板拉伸问题
设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。
圆孔的存在，必然对应力分布产生影响，如图所示。
孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。
这种现象称为应力集中。
孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。
随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。
根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。
因此
上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两部分：
一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为；另一部分是随变化的法向力cos2和切向力sin2。
对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。
由此产生的应力可用轴对称应力计算公式
计算。
则
这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。
使得问题成为一个典型的轴对称应力。
2、厚壁圆筒应力函数
对于厚壁圆筒的外径作用随2ϕ变化的法向外力cos2ϕ和切向外力sin2ϕ，如图所示
根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2ϕ的函数。
由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即
将上述应力函数表达式代入变形协调方程
可得f（ρ）所要满足的方程
即
上述方程是欧拉（Euler）方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为
因此，将其代入公式，可得应力函数为
3、应力与边界条件
因此，应力分量为
应力分量表达式中的待定常数A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力边界条件为
将应力分量代入上述边界条件，则
联立求解上述方程，并且注意到对于本问题，a/b≈0,可得
4、孔口应力
将计算所得到系数代入应力分量公式
则
将随变化的法向力cos2和切向力sin2的计算所得结果与沿外圆周作用的不变的正应力结果相叠加，则
上述应力分量表达式表明，如果ρ相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应力状态相同。
对于孔口应力，即ρ=a时，有
最大环向应力发生在小圆孔的边界上的ϕ=π/2和ϕ=3π/2处，其值为
σϕmax=3q
这表明，当板很大而孔很小时，则圆孔的孔口将有应力集中现象。
通常把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。
即
K称为应力集中因子。
对于平板受均匀拉伸问题，K=3。
§7.7楔形体顶端受集中力或集中力偶
学习思路:
本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答。
对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。
由于楔形体几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数，借助于几何特性，可以找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。
楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答，这对于工程问题的求解具有指导意义。
学习要点：
1、楔形体作用集中力问题的应力函数；2、楔形体边界条件；3、楔形体应力；4、半无限平面作用集中力；5、楔形体受集中力偶作用；6、楔形体受集中力偶作用的应力。
1、楔形体作用集中力问题的应力函数
设有一楔形体，其中心角为α，下端可以认为是伸向无穷远处。
首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成β角。
设楔形体为单位厚度，单位厚度所受的力为F，极坐标系选取如图所示
通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式。
由于楔形体内任一点的应力分量将与F成正比，并与α，β，ρ和ϕ有关。
由于F的量纲为MT-2，ρ的量纲为L-1，而α，β和ϕ是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取ρ的负一次幂。
而根据应力函数表达式
其ρ的幂次应比各应力分量ρ的幂次高两次。
因此可以假设应力函数为ϕ的某个函数乘以ρ的一次幂。
有
将上述应力函数表达式代入变形协调方程
可得f（ϕ）所要满足的方程。
即
求解上式，可得
其中A，B，C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得
由于过且过为线性项，不影响应力分量的计算，因此可以删去。
因此应力函数为
2、楔形体边界条件
由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量
现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数。
楔形体左右两边的面力边界条件为
已经自然满足。
此外还有一个应力边界条件：
在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为F。
如果取任意一个截面，例如圆柱面ab，如图所示
则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。
于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件
3、楔形体应力
将应力分量表达式代入上式，则
积分可得
即
将常数C和D代入应力分量表达式
则本问题的解答为
上述楔形体应力在ρ等于0时，将趋于无限大。
即在载荷作用点的应力无限大，解答是不适用的。
但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分布作用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解。
根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的。
4、半无限平面作用集中力
在上述楔形体问题中，如果令α＝π，β＝0，则转化为弹性半无限平面作用集中力问题。
将α＝π，β＝0代入楔形体应力表达式
则弹性半无限平面作用集中力作用的应力表达式为
弹性半无限平面作用集中力作用的应力场
具有以下特点：
1、σρ为主应力,其余主应力为0。
2、在直径为d，圆心在x轴并且与y轴相切于原点O的圆上，由于该圆上任意一点满足ρ=dcosϕ，所以，圆上任意一点应力为σρ=-2F/πd。
这就是说，圆上任意一点应力，除载荷作用点以外，各点应力和σρ相同。
此圆为等径向应力的轨迹线，称为压力泡。
3、由于此圆最大切应力τmax=σρ/2=const，因此在光弹性实验中，又称为等色线。
4、主应力轨迹为一组以坐标原点为中心的放射线。
5、最大切应力轨迹为一组与主应力轨迹夹45度角的曲线，其轨迹为对数螺线。
5、楔形体受集中力偶作用
以下讨论楔形体的顶端受有集中力偶作用问题，如图所示。
设单位宽度的力偶矩为M。
根据和楔形体受集中力相同的量纲分析，可见在各应力分量的表达式中，只能是以ρ负二次幂出现，因此应力函数表达式应该与ρ无关。
也就是
将上式代入变形协调方程
可得
所要满足的方程
求解这一关于ϕ的常微分方程，可得
其中A，B，C和D为待定常数。
求解前，首先作结构分析。
由于楔形体顶端作用集中力偶，因此为反对称结构。
其正应力应为ϕ的奇函数，而切应力分量应为ϕ的偶函数。
由此可见，A=D=0，则应力函数简化为
则由极坐标应力分量表达式，楔形体的应力分量为
6、楔形体受集中力偶作用的应力
对于楔形体问题，边界条件要求
由应力分量表达式可见，前一条件总能满足，而后一条件要求
C=-2Bcosα
同样考虑ab以上部分的平衡条件，则
积分后可得
将计算所得的系数回代应力分量表达式
可得
大家可以自己证明上述应力分量也可满足以上部分的另外两个平衡条件，即
在楔形体问题中，我们曾假定楔形体顶端所受的力或力偶是集中作用的，因此计算所得的应力分量在ρ=0处成为无限大。
实际上，集中在一点的力或力偶是不存在的，因此也就不会发生无限大的应力。
而且，只要面力的集度超过楔形体材料的比例极限，弹性力学的基本方程将不再适用，因此上述解答也不适用。
因此应该这样来理解：
楔形体受有一定的面力，这个面力的最大集度是不超过比例极限的，而面力的合力是集中力F或集中力偶M。
当然面力的分布方式不同，应力的分布也不同。
但是，按照圣维南原理，不论这个面力是如何分布的，在离开楔形体顶端稍远处，应力分布都是相同的，也就是和以上所得应力分量表达式相同。
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