13全称量词与存在量词 教案高中数学北师大版选修21.docx

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13全称量词与存在量词教案高中数学北师大版选修21

§3全称量词与存在量词

3．1　全称量词与全称命题

3．2　存在量词与特称命题

3．3　全称命题与特称命题的否定

●三维目标

1．知识与技能

（1）通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义．

（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法

在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．

3．情感、态度与价值观

通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．

●重点难点

重点：

理解全称量词和存在量词．

难点：

1.含有一个量词的命题的否定．

2．含有一个量词的命题的真假判断．

教学时，要从学生的认知水平入手，通过几组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．

（教师用书独具）

●教学建议

本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．

●教学流程

通过实例

引入课题全称量词与存

在量词的意义―→全称命题与特

称命题的定义全称命题与特称命

题的真假判断方法含有一个量词

的命题的否定―→小结

课标解读

1.理解全称量词和存在量词的意义．（重点）

2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．（难点）

3．能判断含有一个量词的命题的真假．（难点）

全称命题与特称命题

【问题导思】　

下面有两个命题：

①高二

（1）班的每一位学生的年龄都不小于15岁；

②高二

（1）班存在一位学生的年龄不小于15岁．

（1）这两个命题的含义相同吗？

【提示】　不同．

（2）造成含义不同的原因是什么？

【提示】　这两个命题使用了不同的量词．命题①使用的量词是“每一位”；命题②使用的量词是“存在一位”，二者表达的含义不同．

1．全称量词与全称命题

“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指

定范围内，表示整体或全部的含义，这样的量词叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题．

2．存在量词与特称命题

“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做特称命题．

全称命题与特称命题的否定

【问题导思】　

下面有两个命题：

①对任意x∈R，都有2x＞0；

②存在x0∈R，使2x0≤0.

（1）从形式上看，这两个命题有什么不同？

【提示】　①是全称命题，判断词是“＞”；

②是特称命题，判断词是“≤”．

（2）从意义上看这两个命题有什么不同？

【提示】　意义相反，即命题②是命题①的否定，同时，命题①也是对命题②的否定．　

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

全称命题、特称命题及其真假判断

　指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．

（1）对任意实数x，都有x2＋1＞0.

（2）存在一个自然数小于1.

（3）菱形的对角线相等．

（4）至少有一个实数x0，使sinx0＋cosx0＝.

【思路探究】　着眼点量词命题类型正（反）例命题真假

【自主解答】　

（1）全称命题．由x2≥0，知x2＋1＞0，所以

（1）是真命题．

（2）特称命题．由于0∈N，且0＜1，所以

（2）是真命题．

（3）全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不等，所以（3）是假命题．

（4）特称命题．由于sinx＋cosx＝sin（x＋）≤＜，所以（4）是假命题．

1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．

2．要判断全称命题“对任意x∈M，p（x）成立”是真命题，需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p（x0）不成立即可．

要判断特称命题“存在x∈M，使p（x）成立”是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p（x0）成立，否则，这一命题就是假命题．

判断下列命题的真假．

（1）对任意的x∈R,2x≥1.

（2）对任意的x∈N,2x≥1.

（3）存在x0∈Z，使x＜1.（4）存在x0∈Q，使x＝2.

【解】　

（1）当x＝－1时，2x＝＜1，故

（1）是假命题．

（2）由于x∈N，所以x≥0，所以2x≥1，故

（2）是真命题．

（3）当x0＝0时，x＝0＜1，故（3）是真命题．

（4）由x2＝2，得x＝±，又因±∉Q，故（4）是假命题．

全称命题与特称命题的否定

　写出下列命题的否定．

（1）所有的矩形都是平行四边形．

（2）存在x0，使sin2x0＋cos2x0≠1.

【思路探究】　着眼点改变量词否定判断词

【自主解答】　

（1）命题的否定为：

存在一个矩形不是平行四边形．

（2）命题的否定为：

对任意x，sin2x＋cos2x＝1.

1．弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提．

2．全（特）称命题的否定是将其全称量词（存在量词）改为存在量词（全称量词），并把判断词否定．

提醒：

由于有些命题的全称量词可以省略不写，在对其否定时，易出现只否定判断词，而不改变省略了的全称量词的错误．

命题“对任意x∈R，x＞sinx”的否定是（　　）

A．存在x0∈R，使x0＜sinx0

B．对任意x∈R，x≤sinx

C．存在x0∈R，使x0≤sinx0

D．对任意x∈R，x＜sinx

【解析】　将量词“任意”改成“存在”，并将判断词“＞”改成“≤”．

【答案】　C

含有一个量词的命题的应用

　已知命题p：

存在x0∈R，使x＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，试求实数a的取值范围．

【思路探究】　p假→p的否定真→a满足的条件→a的取值范围

【自主解答】　命题p的否定：

对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0.

由p假，知p的否定真．

∴Δ＝4a2－4a＜0.

解得0＜a＜1.

即a的取值范围为（0,1）．

1．对任意x∈A，f（x）≥M⇔f（x）min≥M；

存在x0∈A，f（x）≥M⇔f（x）max≥M.

2．当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解．

将例3中的“命题p是假命题”改为“命题p是真命题”，如何求a的取值范围．

【解】　由p真，得Δ＝4a2－4a≥0，

解得a≥1或a≤0.

即a的取值范围为（－∞，0]∪[1，＋∞）.

对含有量词的命题否定不当致误

　命题：

“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是（　　）

A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根

B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根

C．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根

D．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根

【错解】　错解一　将“任意”改成“存在”，并把“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选A.

错解二　将“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选B．

错解三　将“任意”改为“存在”，故选D．

【答案】　A或B或D

【错因分析】　

（1）错解一否定了条件．

（2）错解二没有改变量词．

（3）错解三没有否定判断词．

【防范措施】　

（1）弄清是全称命题还是特称命题，是求解此类问题的关键．

（2）全（特）称命题的否定既要改变量词，又要否定判断词，但不能否定条件．

【正解】　将“任意”改为“存在”，并把“方程x2＋x－k＝0有实根”否定，故选C.

【答案】　C

1．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：

（1）确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

（2）改变量词．

（3）否定结论．

（4）无量词的全称命题要先补上量词再否定．

2．对含有一个量词的命题真假的判定，要用好正例与反例．

3．在综合问题中，会经常遇到这样两类问题：

（1）由“恒成立”求字母参数的取值范围；

（2）探索“是否存在”的探究题．究其实质，也就是分别为全称命题和特称命题，应按全称命题和特称命题的真假进行讨论.

1．（2012·安徽高考）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

【解析】　将“存在”改成“任意”，并把“x＞1”改成“x≤1”．

【答案】　C

2．下列命题中是假命题的是（　　）

A．对任意x∈（0，），x＞sinx

B．存在x0∈R，使sinx0＋cosx0＝2

C．对任意x∈R,3x＞0

D．存在x0∈R，使lgx0＝0

【解析】　sinx0＋cosx0＝sin（x0＋）≤.故选B．

【答案】　B

3．已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】　由已知得，命题“对任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋＞0”是真命题，所以Δ＝（a－1）2－4＜0，解得－1＜a＜3.

【答案】　（－1,3）

4．对任意实数x，sinx＋cosx＞m恒成立，求实数m的取值范围．

【解】　∵sinx＋cosx＝sin（x＋）≥－，

∴m＜－.

即实数m的取值范围是（－∞，－）.

一、选择题

1．（2012·湖北高考）命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是（　　）

A．∃x0∉∁RQ，x∈Q

B．∃x0∈∁RQ，x∉Q

C．∀x∉∁RQ，x3∈Q

D．∀x∈∁RQ，x3∉Q

【解析】　根据对命题的否定知，是把量词取否定，然后把结论否定，因此选D．

【答案】　D

2．下列命题中真命题是（　　）

A．存在x∈Z，使1＜4x＜3

B．存在x∈Z，使2x－1＝0

C．对任意x∈R,2x＞x2

D．对任意x∈R，x2＋1＞0

【解析】　当x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0.

【答案】　D

3．命题p：

对任意x∈[0，＋∞），（log32）x≤1，则（　　）

A．p是假命题，p的否定：

存在x0∈[0，＋∞），使（log32）x0＞1

B．p是假命题，p的否定：

对任意x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

C．p是真命题，p的否定：

存在x0∈[0，＋∞），使（log32）x0＞1

D．p是真命题，p的否定：

对任意x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

【解析】　0＜log32＜1，∴y＝（log32）x在[0，＋∞）上单调递减，0＜y≤1，∴p是真命题；“对任意”的否定为“存在”，“≤”的否定为“＞”，故选C.

【答案】　C

4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

【解析】　改变量词并否定判断词．

【答案】　D

5．非空集合A、B满足AB，下面四个命题中正确的个数是（　　）

①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x∉A，使x∈B；

③存在x∉B，使x∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.

A．1B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　根据AB知，①②④正确，③错误．

【答案】　C

二、填空题

6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．

【