近代概率论试题库计算证明题部分.docx
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近代概率论试题库计算证明题部分
.
近代概率论基础题库（计算证明题部分）
一、某人写好n封信，又写好n个信封，然后在黑暗中随机地把
n封信放入n个信封中（一
个信封中只能放一封信），试求至少有一封信放对的概率。
（10分）
一、解：
若以Ai记第i封信与信封符合，则所求的事件为：
A1UA2ULUAn。
不难求得：
P（Ai）
（n
1）!
1
n!
，
n
P（AiAj）
（n
2）!
1
，
n!
n（n
1）
P（AiAjAk）
（n3）!
1
，
n!
n（n
1）（n
2）
L
P（A1A2LAn）
1
n!
故
P（A1UA2ULUAn）
n
1
n
1
n
1
（1）
n11
1
n
2
n（n
1）
3
L
n!
n（n1）（n2）
1
1
1
L
（1）n11
2!
3!
n!
二、从数字1,2,L,9中（可重复地）任取n次，试求所取的n个数的乘积能被10整除的概率。
（10分）
二、解：
n个数的乘积要能被10整除，则
这n个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为5。
因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件9n个。
设
A={所取的n个数的乘积能被10整除}，
...
.
B={所取的n个数中至少有一个是偶数}，
C={所取的n个数中至少有一个为5}，
则
B为所取的n个数全为奇数，故B所含基本事件数为
5n；
C
为所取的n个数无
5
C
所含基本事件数为
8
n；
，故
BC
5BC
n
，
为所取的n个数全为奇数且不含
所含基本事件数为
4
，故
且
ABC,ABUC
所以由计算公式得：
P（A）
1P（A）
1
P（BUC）1[P（B）P（C）P（BC）]
1（5
n
n
n
n
n
n
n
8
n
4n）1
5
n
8
n
4n.
9
9
9
9
9
9
三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为1，求
经过2n次移动后回到出发点的概率。
（10分）
三、解：
若要在2n次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，
向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为2n。
故所求的概率为：
P
（2n）!
（1）2n
k
m
n（k!
）2（m!
）2
4
n
（2n）!
（1）2n
k
0（k!
）2[（n
k）!
]2
4
1
2n（2n）!
n
2
1
2n
（
n!
）
2n
）
（n!
）2
（
4
n
4
k
0
k!
（nk）!
n
k0
2
n
k
...
.
1
2n
2
）
2n
.
（
n
4
四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的
粒子数
服从参数为
的泊松分布。
而每个
放射出的
粒子被记录下来的概率均为
p。
如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录下
的粒子数
的分布。
（10分）
四、解：
以事件{
n},n
0,1,2,L
为分割用全概率公式得：
对任意得非负整数
k有：
P{
k}
n
0
P{
n}P{
k|
n}
n
n
p（n;
）b（k;n,p）
e
pkqn
k
n
k
n
kn!
k
1
（
p）
k
e
（
q）n
k
（n
k）!
k!
nk
1（
p）ke
p
k!
五、证明：
在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数
服从参数为
泊松分布，
求成功次数
和失败次数
的概率分布，并证明
与
相互独立。
（10分）
五、解：
以事件{
n},
n
0,1,2,L
为分割用全概率公式得：
对任意得非负整数
k有：
P{
k}
P{
n}P{
k|
n}
n
0
n
n
pkqnk
p（n;
）b（k;n,p）
e
n
k
nk
n!
k
1（p）ke
（
q）nk
k!
n
k（n
k）!
1（
p）ke
p
k!
...
.
同理
P{k}1（p）kep
k!
进一步地，
P{
m,
n}P{
m
n}P{
m,
n|
m
n}
mn
mn
pmqn
（m
e
n）!
n
mpmep
nqne
q
P{
m}P{
n}.
m!
n!
六、若
1,L,n是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数
F（x），而
n*及1*
相当于把
1,L,n按大小顺序重新排列为
*
*
L
*
的末项和首项，求
*
及
*
的分布函
1
2
n
n
1
数，并求（1*,n*）的联合分布函数。
（10分）
六、解：
首先求n*的分布函数：
P{n*
x}P{max（
1,L,
n）
x}
P{1x,L,nx}
P{1x}
L
P{n
x}
n
F（x）.
再求1*的分布函数：
因为
P{
所以
*
x}P{min（
1,L
n）
x}
P{1
x,L,nx}
1
P{1
x}L
P{n
x}
1
n
F（x）.
P{
*
n
n
x}11F（x）.
最后求（
1*,
n*）的联合分布函数：
记G（x,y）P{1*
x,n*
y}.
若xy，则
...
.
G（x,y）
P{
1*
x,n*
y}
P{
n*
y}
n
F（x）.
若x
y，则
G（x,y）
P{
1*
x,
n*
y}
P{
n*
y}
P{x
1
y,L
x
ny}
P{
n*
y}
P{
1*
x,
n*
y}
n
n
F（y）
F（y）F（x）.
七、设U1与U2相互独立，且均服从
[0,1]上的均匀分布，证明：
V1
2lnU1cos2U2
与V
2lnU
sin2
U
2
相互独立且均服从标准正态分布。
（10
分）
2
1
七、证明：
因为
y1
2lnx1cos2
x2
y2
2lnx1sin2
x2
则
y2
y
2
1
2
2
2
x1e
2
y1
y2
2lnx1
因此
1
arctgy2
y2
y1tg2
x2
x2
2
y1
故雅可比行列式为：
x1
x1
y2y
2
y1
y2
1
1
2
J
e
2
.
x2
x2
2
y1
y2
因为U1与U2
相互独立，故（U1,U2）的密度函数为：
p（x1,x2）p1（x1）p2（x2）
1,
0
x1,x2
1.
因为（V1,V2）的密度函数为：
1
y2y
2
1
y
2
1
y
2
1
2
1
2
e
1
2.
q（y1,y2）
2
e2.
e
2
2
2
...
.
因而，V1与V2的边际密度函数分别为：
1
y2
1
q1（y1）
q（y1,y2）dy2
e2.
2
1
y22
q2（y2）
q（y1,y2）dy1
e2.
2
并且q（y1,y2）q1（y1）q2（y2）.，因而V1与V2相互独立且均服从标准正态分布。
八、（10分）已知随机向量（1,2,L,r）服从多项分布，即
P{1
k1,2k2,L
r
kr}
n!
p1k1p2k2Lprkr
k1!
k2!
Lkr!
这里ki
0且仅当k1
k2
L
krn时上式才成立，否则为0.
求随机向量（1,2,L,r）的各个分量之间的协方差和相关系数。
八、解：
显然
i~B（n,pi）,i
1,2,L
r，因此Ei
npi,Di
npi（1
pi
）
注意到
i
j
~B（n,pi
pj
）,因此
E（
i
j
）
n（pi
pj
）,D（
i
j）
n（pipj）（1
pi
pj
）
由于
D（
i
j
）
Di
D
j
2cov（i
j）
npi（1
pi
）npj（1
pj）2cov（i,j）
因而有
cov（i,j）
npipj
相关系数为：
rij
cov（
i,
j）
pipj
pipj
。
pi
pj（1
pi）（1
pj）
（1
pi）（1
pj
）
九、袋中有N张卡片，各记以数字
Y1,Y2,L,YN，不放回地从中抽出
n张，求其和的数学期望
和方差。
（10分）
...
.
九、解：
取一张时，其数字的均值及方差分别为
Y
1
N
及
2
1N
Y）
2
Yi
（Yi
Ni1
Ni1
若以
n
记n张卡片的数字之和，以
i,i
1,2,L
n记第i次抽得的卡片上的数字，则
n
1
2
L
n
由于抽签与顺序无关，因此
P{
i
Y}
1
l
1,2,L,N,i
1,2,L
n
l
N
故
E
i
Y,D
i
2.
所以
En
E1
E2
LEn
nY
n
2
D
n
Di2
cov（
i,j）
n
n（n
1）cov（
i,
j）在上式中令
i1
1ij
n
nN，因为
N
Y1L
YN是一个常数，因此
D
N
0，于是
N
2
N（N
1）cov（
1,2）
0
因而
cov（1,2）
于是
2
N1
Dnn2n（n1）2
n（Nn）
2
。
N1
N1
十、掷5颗骰子，求所得总和为15的概率。
（提示：
利用母函数）（10分）
十1、解：
以
i表示第i颗骰子掷出的点数，则总和为：
1Ln.
...
.
因i服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为
P（s）
1（ss2
s3
s4
s5
s6）.
6
又因为
i相互独立，故其和
的母函数为：
[P（s）]5。
于是，所求的概率恰为
[P（s）]5的幂级数展开式中
s15前面的系数。
由于
5
5
（1
6
[P（s）]15
s5（1
sL
s5）5
s
5
s
）5
6
6
1
s
5
5
s5
（1
5s6
10s12
L
s30）
（s）k
6
k
0k
s5
（1
6
L）
k
4
k
5
5s
k
s
6
k0
因此
P{
15}
1
1
14
5
8
651
。
5
10
4
6
5
6
十2、（10分）掷5颗骰子，求所得总和为16的概率。
（提示：
利用母函数）
解：
以
i表示第i颗骰子掷出的点数，则总和为：
1L5.
。
。
。
。
。
2分
因i服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为
P（s）
1
（ss2
s3
s4
s5
s6）.
。
。
。
。
。
1分
6
又因为
i相互独立，故其和
的母函数为：
[P（s）]5。
。
。
。
。
。
2分
于是，所求的概率恰为
[P（s）]5的幂级数展开式中
s16前面的系数。
。
。
。
。
1分
由于
15
s5
sL
5
5
s5
1s6
5
[P（s）]
5（1
s）
5
（
）
6
6
1s
...
.
5
5
s5
（1
5s6
10s12
L
s30）
s）k
。
。
。
。
。
2分
k0k
（
6
s5
（1
6
L）
k4
s
k
。
。
。
。
。
1分
5
5s
k
6
k
0
因此P{
16}
1
1
15
5
9
.。
。
。
。
。
。
1分
11
5
65
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