完整版线性代数知识点总结汇总.docx
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完整版线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：
所有的逆序的总数
2、行列式定义：
不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：
（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）
（3）提公因式：
互换，行列式变号
行列式的某一行（列）的所有兀素都乘以同一数k，等于用数k
乘此行列式
（4）拆列分配：
行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个
行列式就等于两个行列式之和
（5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘""
&Laplace展开式：
（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
*30
7、n阶（n》2）范德蒙德行列式
a,其余元素为b的行列式的值:
1
1---
Xj…
1
益
巩=
rr
=n（兀-无）
-
1
H—1
・-用一1
X1
孔…
数学归纳法证明
★8对角线的元素为
abbb
bab-b
bba-&=[□+（科
bbb■■a
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=kn|A|
（2）|AB|=|A|•|B|
（3）|At|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值入1入2……入n则1=1
（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2矩阵
（1）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A1,A*,f（A）时，可以用交换律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=Oo
2、转置的性质（5条）
（1）（A+B）t=At+Bt
（2）（kA）T=kAT
（3）（AB）T=BTAT
（4）|A|t=|A|
（5）（AT）t=A
（2）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=^BA=EM立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：
A可逆的充要条件是|A|丰0
4、逆的性质：
（5条）
（1）（kA）-1=1/k•A-1（kM0）
（2）（AB）—B1•A-1
（3）|A-1|=|A|-1
（4）（AT）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
5、逆的求法:
（1）A为抽象矩阵：
由定义或性质求解
（2）A为数字矩阵：
（A|E）一初等行变换-（E|A-1）
（三）矩阵的初等变换
6初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数c
（3）—行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩阵：
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Ej-1=Ej（i，j两行互换）；
E-1（c）=E（1/c）（第i行（列）乘c）j（k）=Ej（-k）（第i行乘k加到j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：
非零子式的最高阶数
注：
（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O
（2）r（Anxn）=n（满秩）<-->|A|工0<-->A可逆；
r（A）vn<--A|=0<-->A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）<--r阶子式非零且所有叶1子式均为0
10、秩的性质：
（7条）
（1）A为mxn阶矩阵，则r（A）（2）r（A±B）（3）r（AB）（4）r（kA）=r（A）（〜0）
（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）
（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）
（7）设A是mxn阶矩阵，B是nxs矩阵，AB=O,则r（A）+r（B）11、秩的求法：
（1）A为抽象矩阵：
由定义或性质求解；
（2）A为数字矩阵：
Af初等行变换f阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素均为0）,则r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：
（8条）
（1）
AA*=A*A=|A|E
f★A*=|A|A-1
（2）
（kA）*=kn-1A*
（3）
（AB）*=B*A*
（4）
|A*|=|A|n-1
（5）
（At）*=（A*）
T
（6）
（A-1）*=（A*）
-1=A|A|-1
（7）
（A*）*=|A|n-2
•A
★（8）r（A*）
=n
（r
（A）
=n）;
r（A*）
=1
（r
（A）
=n-1）;
r（A*）
=0
（r
（A）
vn-1）
（六）分块矩阵
13、分块矩阵的1
乘法：
要「
求前列后行分法相同
14、分块矩阵求〕
逆:
3向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：
（a,B）=aTB=BTa
、亠、tt）=飞/征」。
=Jaf十品+…十d；
2、长度定义：
||a||='
3、正交定义：
（a,B）=aTB=BTa=a1b什a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：
A为n阶矩阵，AA^E-->A-1=At<-->ATA=Ef|A|=±1
（2）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量B可由ai,a2,…，as线性表示
⑴E齐次线性方程组（a1,a2,…，as）（Xi,X2,…，Xs）T=B有解。
★
（2）—>r（a1,a2,…，as）=r（ai,a2,…，as,B）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：
（了解即可）
若ai,a2,…，as线性无关，a1,a2,…，as,B线性相关，则B可由a1,a2,…，as线性表示。
7、线性表示的求法：
（大题第二步）
设a1,a2,…，as线性无关，B可由其线性表示。
（a1,a2,…，as|B）f初等行变换（行最简形|系数）行最简形：
每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
（3）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1）a线性相关一a=0
（2）a1,a2线性相关一a1,a2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组a1,a2,…，as线性相关
（1）—有个向量可由其余向量线性表示；
（2）<—次方程（a1,a2,…，as）（X1,X2,…，Xs）T=0有非零解；
★（3）
Jfr（a1,a2,
…，as）Vs即秩小于个数
特别地,
n个n维列向量
a1,a2,…，an线性相关
（1）J
fr（a1,a2,
…，an）vn
（2）J
fa1,a2,…，
an|=0
（3）J
f（a1,a2,…
an）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2）部分相关，则整体相关
（3）高维相关，则低维相关
（4）以少表多，多必相关
★推论：
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组a1,a2,…，as线性无关
（1）―任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）<—次方程（ai,a2,…，as）（Xi,X2,…，Xs）T=0只有零解
（3）v—>r（a1,a2,…，as）=s
特别地，n个n维向量a1,a2,…，an线性无关
v—T（a1,a2,…，an）=n<—>|a1,a2,…，an|工0v--1阵可逆
12、线性无关的充分条件：
（1）整体无关,部分无关
（2）低维无关,高维无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
（1）定义法
★
（2）秩：
若小于阶数,线性相关；若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
（1）在1阵左边乘列满秩1阵（秩=列数）,1阵的秩不变；在1阵右边乘行满秩1阵,1阵的秩不变。
（2）若n维列向量a1,a2,a3线性无关，B1,B2,B3可以由其线性表示，即（B1,B2,B3）=（a1,a2,a3）C,则r（B1,B2,B3）=r（C）,从而线性无关。
（4）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩：
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：
矩阵的秩：
非零子式的最高阶数
★注:
向量组a1,a2，…，as的秩与矩阵A=（a1,a2，…，as）的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
（1）a1,a2,…，as为抽象的：
定义法
（2）a1,a2,…，as为数字的：
（a1,a2,…，as）—初等行变换—阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（5）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若a1,a2,…，an与B1,B2,…，Bn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（B1,B2,…，Bn）=（a1,a2,…，an）Cnxn
其中，C是从基a1,a2,…，an到B1,B2,…，Bn的过渡矩阵。
C=（a1,a2,…，an）-1（B1,B2,…，Bn）
18、坐标变换公式：
向量丫在基a1,a2,…，an与基B1,B2,…，Bn的坐标分别为x=（X1,X2,…，Xn）T,y=（y1,y2,…，yn）T,,即丫=X1a1+垃a2+…+xnan=y1B1+y2B2+…+ynBn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x0其中，C是从基a1,a2,…，an到B1,B2,…，Bn的过渡矩阵。
C=（a1,a2,…，an）-1（B1,B2,…，Bn）
（6）Schmidt正交化
19、Schmidt正交化设a1,a2,a3线性无关
（1）正交化
令B1=a1
（角虫）
（2）单位化
4线性方程组
（1）方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
（1）一般形式
（2）矩阵形式：
Ax=b;
⑶向量形式：
A=（a1,a2,…，an）
2、解的定义：
若n=（ci,C2,…，cn）T满足方程组Ax=b，即An=b，称n是Ax=b的一个解
（向量）
（2）解的判定与性质
3、齐次方程组：
（1）只有零解--r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）
（2）有非零解—r（A）vn
4、非齐次方程组：
（1）无解-->r（A）vr（A|b）<-->r（A）=r（A）-1
（2）唯一解--r（A）=r（A|b）=n
（3）无穷多解—r（A）=r（A|b）vn
5、解的性质:
（1）若E1,E2是Ax=0的解，贝Uk1E1+k2E2是Ax=0的解
（2）若E是Ax=0的解，n是Ax=b的解，则E+n是Ax=b的解
（3）若n1，n2是Ax=b的解，则n1-n2是Ax=0的解
【推广】
（1）设ni,n2,…，ns是Ax=b的解，贝Ukini+k2n2+…+ksns为
一Ax=b的解（当工ki=1）
■R
-Ax=0的解（当艺ki=0）
（2）设n1,n2,…，ns是Ax=b的s个线性无关的解，贝打2-n1,n3-n1,…，ns-n1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：
①n1-n2,n3-n2,…，ns-n2
②n2-n1,n3-n2,…,ns-ns-1
（3）基础解系
6基础解系定义：
（1）E1,E2,…，Es是Ax=0的解
（2）E1,E2,…，Es线性相关
（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示
-基础解系即所有解的极大无关组
注：
基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论：
（证明也很重要）
设A施mxn阶矩阵，B是nxs阶矩阵，AB=O
（1）B的列向量均为方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）8、总结：
基础解系的求法
（1）A为抽象的：
由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解
（2）A为数字的：
A-初等行变换一阶梯型
自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系
（4）解的结构（通解）
9、齐次线性方程组的通解（所有解）
设r（A）=r,E1,E2,…，En-r为Ax=0的基础解系，
则Ax=0的通解为kn1+k2n2kn-rnn-r（其中k1,k2,…,kn-r为任意常数）
10、非齐次线性方程组的通解
设r（A）=r,Ei,E2,…，En-r为Ax=0的基础解系，n为Ax=b的特解，
则Ax=b的通解为n+kinl+k2n2+…+kn-rnn-r（其中kl，k2，…，kn-r为任意常数）
（5）公共解与同解
11、公共解定义：
如果a既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称a为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解
x~0
有非零解《
13、重要结论（需要掌握证明）
（1）设A是mxn阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA=r（A）
（2）设A是mxn阶矩阵，r（A）=n，B是nxs阶矩阵，则齐次方程ABx=0与
Bx=0同解，r（AB）=r（B）
5特征值与特征向量
（1）矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A为n阶矩阵，如果存在数入及非零列向量a,使得Aa=Xa，称a是矩阵
A属于特征值入的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
|入E-A|称为矩阵A的特征多项式（入的n次多项式）。
|入E-A|=0称为矩阵A的特征方程（入的n次方程）。
注:
特征方程可以写为|A-入E|=0
3、重要结论：
（1）若a为齐次方程Ax=0的非零解，贝UAa=0・a,即a为矩阵A特征值入=0的特征向量
（2）A的各行元素和为k,则（1,1,…，1）T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：
特征值与特征向量的求法
（1）A为抽象的：
由定义或性质凑
（2）A为数字的：
由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|入E-A|=O,得矩阵A的n个特征值入1,入2,…，入n
注：
n次方程必须有n个根（可有多重根，写作入1=X2=・・=入s=实数，不能省略）
（2）解齐次方程（XiE-A=O,得属于特征值入i的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（XiE-A个解）
6性质：
（1）不同特征值的特征向量线性无关
（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量
1（3）设A的特征值为X1，X2，…，Xn，则|A|=nxi，2Xi=2aii
（4）当r（A）=1，即A=aBT，其中a，B均为n维非零列向量，则A的特征值为X1=2ai=aTB=BTa，X2=^=Xn=0
（5）设a是矩阵A属于特征值X的特征向量，则
A
f
（A）
at
A-
1
A*
P-1AP（相
似）
X
f
（X
X
X
1
|A|X1
X
a
a
/
a
a
P1a
（2）相似矩阵
7、相似矩阵的定义：
设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=F-1AP，称A与B相似，记
作A~B
8、相似矩阵的性质
（1）若A与B相似，贝Uf（A）与f（B）相似
（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似
（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）
【推广】
（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A与BT相似，A-1与B1相似，A*与B也相似
（3）矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义：
....r如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A=称A可相似对角化。
注：
Aai=Xiai（aK0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值入i的特征向量
10、相似对角化的充要条件
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）
（2）A为实对称矩阵
12、重要结论：
（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数
（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数
（4）实对称矩阵
13、性质
（1）特征值全为实数
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1APS
（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ点
6二次型
（一）二次型及其标准形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，即f（X1,X2,…，Xn）=dlXl2+d2X22+…+dnXn2这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
（1）配方法：
通过可逆线性变换X=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★
（2）正交变换法：
通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形入iyi2+入2y22+…+入nyn2其中，入1,入2,…，入n是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:
正交矩阵Q不唯一，丫i与入i对应即可。
（二）惯性定理及规范形
4、定义：
正惯性指数：
标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：
标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
规范形：
f=Z12+…Zp2-Zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：
（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）
（三）合同矩阵
6、定义：
A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C,使得B=CAC,称A与B合同
△7、总结：
n阶实对称矩阵A、B的关系
（1）A、B相似（B=P1AP）―相同的特征值
（2）A、B合同（B=CAC）—相同的正负惯性指数-T相同的正负特征值的个数
（3）AB等价（B=PAQ<-->r（A）=r（B）注：
实对称矩阵相似必合同，合同必等价
（4）正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型xTAx,如果任意xm0,恒有xTAx>0,则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型xTAx正定充要条件：
（1）A的正惯性指数为n
（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C,使得A=CC或CtAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）
10、n元二次型xTAx正定必要条件：
（1）aii>0
（2）|A|>0
11、总结：
二次型xTAx正定判定（大题）
（1）A为数字：
顺序主子式均大于0
（2）A为抽象：
①证A为实对称矩阵：
At=A;②再由定义或特征值判定
12、重要结论：
（1）若A是正定矩阵，则kA（k>0）,Ak,At,A-1,A*正定
（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
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