学而思初二数学暑假班第7讲分式的概念及性质尖子班学生版.docx
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学而思初二数学暑假班第7讲分式的概念及性质尖子班学生版
7
分式的概念及性质
满分晋级
代数式 9 级
二次根式的
代数式 10 级
因式分解的
常用方法及应用
代数式 8 级
分式的概念
及性质
暑期班 第七讲
漫画释义
概念及运算
暑期班 第九讲
秋
季
班
第
五
讲
分式 or 分柿
初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
73
知识互联网
模块一分式的基本概念
知识导航
定义
分式的定义：
一般地，如果A 、 B 表示两个整式，并
且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，其中 A 叫分子，
B
示例剖析
2 1
a ax + 1
B 叫分母且 B ≠ 0 ．
分式有意义（或分式存在）的条件：
分式的分母不等1
于零即 B ≠ 0 ．x
使值为 0 的 x 值为 1
义的前提下分式的分子为零．x + 1
A
B
74初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
夯实基础
，，，
xa - 3b3πx
1
， x 其中是分式的有（ ）
x + y
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个
1
x + 2x2 + 1
⑶当 x 为何值时，下列分式的值为 0 ？
有意义；
①②③④
x + 3x2 + 8
⑤
25 - x2
（ x - 5）2
能力提升
x - 1
3 - x2 x + 1
44 - x
8 - x8 - x
6
x + 1
x - bx - b
x - ax - a
模块二分式的基本性质
初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
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知识导航
定义
分式的基本性质：
分式的分子与分母同
乘以（或除以）一个不等于 0 的整式，分式
的值不变.
示例剖析
y3 ay3 （a ≠ 0）
x ax
即 A =A ÷ M （M ≠ 0）
BB×MB ÷ M
约分：
利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式
变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：
利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几
个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因
式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
夯实基础
【例3】 ⑴下列式子中，正确的是（）
A.
=- =- = =-
c c c -c c -c c c
⑵若 x ， y 的值扩大为原来的 3 倍，下列分式的值如何变化？
①②③
x - yx - y
x2 + y 2 x - y
④
⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：
123
x -y0.4a + b
23
110.08a + 0.5b11
x +ya -b
34410
能力提升
76初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
【例4】 ⑴ 约分：
mn
3m3
-5x2 y3
= ______ =
-10 x3 y 2 z
a2 - 31 - x2
= ______=
2a3 - 6ax2 - 2x + 1
⑵ 求下列各组分式的最简公分母：
①
与 ；② ， 与
4a2b2 6ab3c x2 - 1 （1 - x ）2 x2 - x
，，
-2ab 3a2c -5b2c
；
②，，
x（ x - 1）x2 - 1x2 - 2x + 1
；
11
（a - b）（a - c）（b - c）（b - a）（c - a）（c - b）
⑷ 下列分式为最简分式的是（）
33b
15a
a2 - b2
b - a
C．
x2
3x
D．
x2 + y 2
x + y
模块三分式的基本运算
知识导航
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
同分母分式相加减
异分母分式相加减
0 指数幂
负整数指数幂
1. 分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
a c a ⋅ c
⋅ =
b d b ⋅ d
a c a d a ⋅ d
÷ = ⋅ =
b d b c b ⋅ c
⎛ a ⎫n an
⎝ b ⎭ b
a b a ± b
± =
c c c
a c ad bc ad ± bc
± = ± =
b d bd bd bd
a0 = 1 （a ≠ 0）
a- p = 1 （ a ≠ 0 ， p 为正整数）
a p
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．．．．
．．．．
⑴先把除法变为乘法；
⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其
它分式进行约分；
⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．
2. 分式的加减
⑴同分母分式加减法则：
分母不变，分子相加减。
⑵异分母分式加减法则：
运算步骤：
①先确定最简公分母；②对每项通分化为相同分母； ③按同分母分式运算法则
进行；④注意结果可否化简，化为最简分式．
3. 分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序：
先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇
分解因式，可先分解因
．
夯实基础
【例5】 ⑴ 用科学计数法表示下列各数：
51200000 ，0.000000001，0.0012 ，- 0.000000345，0.0000000108
⑵ 计算：
① （a
3-
-1b2 ） ② a-2b2 ⋅ （a2b-2 ） 3
⑶下列等式不成立的是（）
A. 0.000016 = 1.6×10-5
能力提升
【例6】 计算：
⎛ a ⎫2 ⎛ a ⎫3
⎝ b ⎭⎝ b ⎭
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B.
m4 n4 m 1
⋅
n5 m3 n 9
⑵ （ ）3 ） 2 ÷ （ ） 4
- c - ab a
⎛ x2 - y 2 ⎫2⎛x⎫3
x + yy + x⎝xy⎭⎝ x - y ⎭
n2m2x1
+--
n - mm - nn - mx2 - 4x - 2
探索创新
【例7】 已知三个数 x、y、z 满足
为.
xy yz 4 zx 4 xyz
x + y y + z 3 z + x 3 xy + yz + zx
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思维拓展训练（选讲）
训练1.当 x 取何值时，下列分式有意义：
⑴
训练2. 计算：
；⑵ ； ⑶ .
1 +
6 | x | -3 x2 + 2x + 2 1
x
⑴
16 - a2 ⋅ a - 2 ； ⑵ a - b + b - c + c - a ；
a2 + 8a + 16 2a + 8 a + 2 ab bc ca
⑶ x + 2 y +
4 y 2 4x2 y ；
x - 2 y 4 y 2 - x2
训练3. 已知 a ，b 为实数，且 ab = 1 ，设 P = a + b ，Q = 1 + 1 ，请比较 P 与 Q 的大小 .
a + 1b + 1a + 1b + 1
11
++
（ x - 1）（x + 1）（ x + 1）（x + 3）（ x + 3）（x + 5）
80初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
实战演练
知识模块一分式的基本概念 课后演练
x2 - 9
x - 3
⑵当 x,分式
x - 1
x2 + 5
的值为正数 .
知识模块二分式的基本性质 课后演练
【演练2】 若
x - 2 （x - 2）（m - 2）
=
x - 3
．
【演练3】 约分：
⑴ - 16 x 2 y
20 xy 3
n 2 - m 2 x2 + 2x + 1
m - n 2x2 - 2
知识模块三分式的基本运算 课后演练
【演练4】 计算：
2 x
x 2 - 1
- 1
【演练5】 计算：
（xy - x2 ）÷ x
2
- 2xy + y 2 x - y
⋅
xy x2
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第十五种品格：
创新
一物二用的导游手帕
在日本东京，“夫妻店”随处可见，它们就像小小的虾子一样，生机盎然。
它们的存在
往往都有着自己极不平常的经营妙方。
有一家专卖手帕的“夫妻老店” 由于超级市场的手帕品种多，花色新，他们竞争不赢，
生意日趋清淡，眼看经营了几十年的老店就要关门了，他们在焦虑中度日如年。
一天丈夫坐在小店里漠然地注视着过往行人，面对那些穿着姣艳的旅游者，忽然灵感飞
来，他不禁忘乎所以地叫出来，把老伴吓了一跳，以为他急疯了，正要上前安慰，只听他念
念有词地说：
“导游图，印导游图。
“改行？
”妻子惊讶地问。
不不，手帕上可以印花、印
鸟、印水，为什么不能印上导游图呢？
一物二用，一定会受游客们的青睐！
”老伴听了，恍
然大悟，连连称是。
于是，这对老夫妻立即向厂家订制一批印有东京交通图及有关风景区导游的手帕，并且
广为宣传。
这个点子果然灵验，销路大开。
他们的夫妻店绝处逢生，财运亨通起来。
今天我学到了
82初二暑期·第 7 讲·尖子班·学生版
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