完整版任意角的三角函数及诱导公式学生版.docx
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完整版任意角的三角函数及诱导公式学生版
任意角的三角函数及诱导公式
【知识梳理】
1•任意角
(1)角的分类:
1按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角:
终边与角相同的角可写成k3600(kZ).
(3)弧度制:
①1弧度的角:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,||丄,1是
—r
以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.
3用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制.比值-与所取的r的大小无关,仅与角的大
r
小有关.
4弧度与角度的换算:
36002弧度;1800弧度.
112
5弧长公式:
丨||r,扇形面积公式:
S扇形lr||r2.
22
2.任意角的三角函数
3
(1)任意角的三角函数定义:
sin
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4.三角函数线
设角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P
作PM垂直于x轴于M•由三角函数的定义知,点P的坐标为cos,sin,即
Pcos,sin,其中cosOM,sinMP,单位圆与x轴的正半轴交于点A(1,0),
单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T,则tanAT.我们把有向线
2
(1)平方关系:
sin
(2)商数关系:
tan
2^-2
cos1sin
sin丄
sintancos
222
1cos,cos1sin
sin
cos,cos.
tan
4•同角三角函数的基本关系式
5•九组诱导公式
角
函数
sin
cos
tan
2k
2
2
3
2
3
2
2
k
对于角“(kZ)”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变
偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”•“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时,原函数值的符号”.
【课前小练】
1.已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上一点,且
sin
2、5
,贝Uy
5
2.若sin
4
tan0,则cos()
5
A3
B.
3
4
D.
4
A.-
C.一
5
1
)
5
5
5
5
3.已知sin(——
那么cos
()
2
5
2
1
1
2
A.
B.
—
c.—
D.—
5
5
5
5
【例题解析】
考点一任意角的三角函数值
例i已知角的终边过点p1,3,求这个角的三个三角函数值。
变式i已知角
的终边在直线3x4y0上,求sin,cos,tan的值.
考点二三角函数线、三角函数值的符号
例2已知costan0,那么角是()
例3函数y
|sinx|
sinx
cosx|tanx|
|离話的值域是(
A.{-1,1}
B.{-1,1,3}
C.{-1,3}
D.{1,3}
例4已知sin
sin,则下列命题成立的是
()
A.
大于0
B.
小于0
c.等于o
例5
已知cos
1
求角的集合.
2
A.若
、是第一象限角,则
cos
cos
B.若、
是第二象限角,则
tan
tan
C.若
、是第三象限角,则
cos
cos
D.若、
是第四象限角,
则
tan
tan
变式2
sin2cos3tan4的值
(
)
D.不确定
訂3
变式3y\;sinx云的定义域为——_
考点三扇形弧长、面积公式的应用
例6半径为cm,圆心角为120所对的弧长为()
例7
(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,
少弧度?
扇形的面积是多少?
(2)一扇形的周长为20cm;当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
变式4已知一扇形的圆心角为(0),所在圆的半径为R.
(1)若600,R10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?
考点四同角三角函数的关系
题型一:
sin,cos,tan的相互转化知一求二是基础
例8
右sin
5
tan0,
则cos(
)
5
3
3
4
A.
—
B.
—
c.
5
5
5
例9
(1)已知
tan
3,且
为第三象限角,
求sin
cos的值;
(2)
已知cos
1
,求sin
tan的值;
3
(3)
已知tan
2,
求值:
①
2sincos
:
②sin
2
sincos
sin
cos
常用思路1:
构建齐次式
变式9
(1)若sincos
1,且-
—,贝Ucossin
2
8
4
(2)若
是三角形的内角,
且
sin
2cos
3
,试判断三角形的形状;
考点五诱导公式
题型
利用诱导公式化简求值
例11
已知sin(52
A.
1
-,那么cos
5
1
B.-
5
1
c.—
5
2
D.-
5
变式10已知
sin(
2sin(2
),则tan
例12COS(
,sin(2
)的值为(
1
B.-
2
C.
D.-三
2
变式11
cos
是第四象限的角,那么
cos(
变式12
已知
tanx
5
2cos(x)3sin(x
则2—
2)
4sin(x2)9cos(x)
变式13
已知:
sin(
1
^10,求值
cos(
cos(3)
)[cos()1]
cos
(2)cossin(—
2
)cos
变式14化简:
£1季运
cos40°V1sin250°
变式15若f(cosx)cos2x,贝Vf(sin15)
题型二利用诱导公式求任意角的三角函数负角变正,大角变小,小变锐角
例13sin600°的值为()
A.辽
2
B.Al
2
V3c.
2
、•3D.
2
变式16化简sin2013的结果是()
A.sin33
B.cos33
C.sin33
D.cos33
.2013
变式17
sin
的值为
()
6
1
1
A.—
B.
—
C.1
D.1
2
2
25n
26n
25n
变式18
计算题:
sincos
tan()
6
3
4
【课后练习】
1.已知costan
0,那么角B是(
)
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是
A.
1
C.
1或4
3.(吴
家山中学
难度C)已知
sin
A.
若、
疋第象限角,
则
B.
若、
是第二象限角,
则
C.
若、
是第三象限角,
则
D.
若、
是第四象限角,
则
2.已知扇形的周长是
B.4
D.2或4
sin,则下列命题成立的是()
coscos
tantan
coscos
tantan