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力学基础知识
基础知识
第一章计量单位（初、中级掌握）
1．我国法定计量单位
1．1我国法定计量单位的构成
我国实行法定计量单位制度。
国家采用国际单位制。
国际单位制的计量单位和国家选定的其他计量单位，为国家法定计量单位。
量：
物质的一种属性，可以定性区别和定量确定，是可测量的。
有两种不同性质的量，即可测量和可数量。
用以描述物理现象或物体特性的量称为可测量。
它可以通过测量得到的。
例如5米长的杆、20欧姆的电阻、37度的体温等等。
用于确定被计数对象数目多少的量，称为可数量或统计量。
可数量不能通过测量得到，但可通过计数的办法获得。
例如3的苹果、10辆汽车等。
通常在不加以说明的情况下，所指的量都是可测量。
计量单位：
习惯上公认数值为1的一个量值。
例如1m,1Kg,1s等。
单位制：
由选定的一组基本单位和根据定义方程式由它们及一定的比例因数而确定的导出单位所构成的单位体系。
由于所选取的基本单位不同，单位制也就不同。
例如有市制、英制、米制和国际单位制等。
国际单位制：
由米制充实完善后得到的一种单位制。
1960年第十一届国际计量大会通过。
国际单位制的符号是SI。
法定计量单位：
国际单位制的计量单位和国家选定的其他计量单位，为国家法定计量单位。
1．2国际单位（SI）制的构成
由SI基本单位、SI导出单位、SI单位的倍数单位组成。
SI基本单位：
7个，导出单位：
21个，SI单位的倍数单位：
20个。
1．3SI基本单位及其定义
在计量单位中，约定选区某些独立定义的基本单位作为构成其他计量单位基础的单位，称为基本单位。
国际通用的基本单位是七个，如下表示。
量的名称
单位名称
单位符号
长度
米
m
质量
千克
kg
时间
秒
s
电流
安[培]
a
热力学温度
开[尔文]
K
物质的量
摩[尔]
mol
发光强度
坎[德拉]
cd
SI基本单位都是经过严格定义的，除质量千克外，其余6个基本单位都是根据自然现象的永恒规律定义的。
例如：
米：
光在真空中1/299792458s的时间内所经过的距离。
千克：
等于国际千克原器的质量。
开[尔文]：
水三相点热力学温度的1/273.16。
1．4SI导出单位：
是按一贯性原则，通过比例因数为1的量的定义方程式由SI基本单位导出，并由SI基本单位以代数形式表示的单位。
导出单位是组合单位的形式，它是由两个以上的基本单位幂的乘积来表示。
例如：
面积：
平方米；速度：
米每秒；力矩：
牛顿.米
注：
有些导出单位的名称很长，使用时很不方便。
为此，国际单位制中对一些常用的导出单位给出料专门名词。
例如：
力的单位是千克米每二次方秒（kg.m/s2），专门名称是牛顿（N）；频率的单位是每秒（s-1），专门名称是赫兹（Hz）。
1．5SI单位的倍数单位：
SI基本单位加上SI词头后结合为一个整体称为SI单位的倍数单位。
如km、cm.
1．6SI单位制的优点
1>非常严谨，有专门的名称和符号，如以前千克（kg）既是质量单位又是重力单位，SI单位规定质量单位是千克（kg），重力单位是牛顿，从而明确了重力和质量是不同的概念。
2>简明、实用在国际单位制中，一个量只有一个SI单位，避免了多种单位制和位的并用，如SI单位Pa（导出1Pa=1N/m21N=1kg·m/s2）可代替千克力/厘米2（kgf/cm2）、克力/厘米2（gf/cm2）、毫米汞柱（mmHg）等。
1．7国家选定的其他计量单位
为了在日常生活和特殊领域内使用的方便和习惯，国家选定10个（如分、时、天、升等）由国际计量委员会确定的允许与SI并用的单位，3个（海里、节、公顷）暂时保留与SI并用的单位，以及根据我国实际需要选择3个单位（转每分、分贝、特克斯），一共16个SI单位制外单位作为国家法定计量单位的组成部分。
2法定计量单位的使用方法
法定计量单位的使用按照《中华人民共和国法定计量单位使用方法》的规定执行。
2．1法定计量单位名称及其使用
1>计量单位的中文名称，一般用于叙述性文字和口述中，不用于公式、图表、刻度盘等。
如：
质量、千克
2>单位的简称可等效它的全称使用，并可作为单位的中文符号，但在容易引起混淆时，必须使用全称。
如在与时间单位分、秒同时使用时，平面角的单位必须使用全称角分、角秒而不应再用简称角、分。
3>由相乘构成的组合形式单位，按顺序读。
符号中的乘号没有对应名称。
如力矩单位N﹒m读牛米
4>由相除构成的组合形式单位，按顺序读。
除号用“/”表示，读“每”，无论分母中有几个单位，“每”只在有除号的地方出现一次。
如：
m/s读“米每秒”，比热容单位J/（Kg﹒K）读焦耳每千克开尔文
5>由乘方构成的组合形式单位，先读指数，再读单位名称。
相应指数名称由数字加“次方”二字而成。
如m4读“四次方米”；
如果长度的2次或3次幂表示面积和体积时，分别读为平方、立方，表示其他单位时，仍读为二次方、三次方。
6>单位名称作为一个整体使用，不得分开，如20℃
7>指数是负1的单位，或分子为1的单位，其名称以“每”字开头。
如线膨胀系数的SI单位℃，其名称为每摄氏度。
8>书写单位名称时，在其中不应加任何表示乘或除的符号或其他符号。
例如：
力矩的SI单位N·m的名称写做“牛顿米”，也可简写成“牛米”。
但不能写成“牛顿·米”或“牛·米”或“牛-米”等。
2．2
使用符号应注意以下几个问题
1>计量单位的符号和单位的中文符号，一般推荐使用单位符号。
十进制符号应置于数据之后。
单位符号读法如m、kg按其名称或简称读，不得按字母读音。
2>单位符号写法：
用正体小写字母书写，以人名命名的单位符号第一个字母必须正体大写如；Hz、N。
一个例外“L”“l”通用。
3>十进制单位中一个量值只允许使用一个单位，如1.75m、175cm，不能1m75cm，其它非十进制单位可以，如30º1´
4>对于相乘构成的单位
非十进制单位不能放在单位前面如N﹒m不能m﹒N（易与毫牛混）
5>以相除构成的组合单位可用“/”或负幂表示，分母不是一个单位时必须加“（）”，如：
J/（Kg﹒K）
6>名称、符号不能混用如m/秒，可以m/s或米/秒，可以5m～8m、（5～8）m，不可以5～8m，不允许30×20×50mm，允许30mm×20mm×50mm
2．3词头
国际通用的词头（SI词头）共有16个，其名称和符号见下表。
所表示的因数
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
词头名称
艾
拍
太
吉
兆
千
百
十
分
厘
毫
微
纳
皮
飞
阿
词头符号
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
μ
n
p
f
a
1>词头符号用正体如106用M、103用k表示（当词头表示的因数等于或大于106时，用大写体。
2>词头必须放在最前面，组合单位的分子和分母不要同时使用词头如mmol/mL而应mol/L
3>词头不能单独使用，也不能重叠使用如kMm
4>分数、倍数、指数单位同时包括词头在内，如km→km2指千米的平方而不是千平方米。
5>非十进制单位不能使用词头如：
1ks，只能1000s
6>选用词头一般要使数值在0.1～1000之间。
如1500m应1.5km
第二章数据处理及统计基础知识
1数据处理
1.1有效数字：
在分析工作中实际上能测到的数字为有效数字。
测量结果的有效数字代表结果的不确定度，有效位数不同，表示测量结果的不确定度不同。
在记录数据和计算结果时，所保留的有效数字中，只有最后一位是可疑的数字。
在测量准确度范围内，有效数字位数越多，测量就越准确，但超过测量准确度范围，保留过多位数毫无意义。
有效数字位数：
从左起第一个不是零的数字到最末一位数字止的全部数字，都是有效数字。
5.004→四位1.0085×105→五位0.0056→两位0.5600→四位
12.25g换算为毫克的正确写法是1.225×104，非12250mg。
1.2数值修约对数值进行限定性选取的处理
有效数字的运算：
四舍六入五单双：
若舍去部分的数值，大于所保留末位的0.5个单位，则末位增加1；
若舍去部分的数值，小于所保留末位的0.5个单位，则末位不变；
若舍去部分的数值，恰好等于所保留末位的0.5个单位时，则末位凑成偶数。
又称“偶数法则”。
即被保留的末位是偶数时，保持不变，被保留的末位是奇数时，末位增加1。
将3.4350修约到三位有效数字，为3.44（∵0.0050=0.005，且奇进）
将3.4450修约到三位有效数字，为3.44（∵0.0050=0.005，且偶舍）
将3.4451修约到三位有效数字，为3.45（∵0.0051＞0.005，进1）
将3.4441修约到三位有效数字，为3.44（∵0.0041＜0.005，舍去）将123.450001修约到四位有效数字，结果为123.5
1.3有效数字运算规则：
+、-以小数点后位数最少者为准，其它均比它多保留一位，结果以小数点后位数最少者为准。
若计算结果尚需参加下一步运算，则有效数字可以多取一位。
如：
12.3+2.345+0.1234
=12.3+2.34+0.12
=14.76
=14.8
×、*（或乘方、开方）以有效数字位数最少者为准，其它均比它多保留一位。
计算结果中，从第一个不是零的数字起，应保留的位数与原来数字中位数最少的那个数相同。
若计算结果尚需参加下一步运算，则有效数字可以多取一位。
如1.1×2.233×0.3344
=1.1×2.23×0.334
=0.8193
=0.82
算式
的结果应修约为
1817.617.590
1.4修约间隔：
指修约保留位数的一种方式，修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。
如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。
如将12.1498修约到一位小数，得12.1，修约成两位有效数字得12
修约时不能连续修约如0.5455≈0.5不能0.5455≈0.546≈0.55≈0.6
1.5有些特定场合不遵守修约规则，如安全系数0.53不能修约为0.5而应为0.6
1.6异常值的判定及剔除
在对被测量的一系列观测值中，个别值明显的超出在规定条件下预期值的范围，称为异常值。
产生异常值得原因一般是由于疏忽、失误或突然发生的本不该发生的意外原因造成。
一系列观测值中有异常值应予以剔除，否则会歪曲测量结果；同时应该注意如果误将离散大的数据剔除也会造成测量结果的不真实，因此需要正确判定并剔除异常值。
判定方法有两类：
物理判别法和统计判别法。
物理判别法：
在测量过程中出现异常现象或发现因疏忽、失误造成的异常数据，应当时就剔除并在原始记录上注明剔除原因。
对于不明原因的异常数据，不能凭主观臆断随意剔除。
统计判别法：
统计判别的基本方法就是给定一个置信水平，找出相应区间。
凡在区间以外的数据就判定为异常值，并予以剔除。
常用方法有拉依达准则、格拉布斯准则、狄克逊准则等。
1）拉依达准则（3σ准则）一般测量次数大于50时用
该准则以测量次数充分大为前提，实际测量中常以贝塞尔公式计算得到的s代替σ，以平均值代替真值，若其残差满足
︱νd︱=︱xd-
︱≥3s
则剔除xd。
3σ准则须在n远大于10的情况下才适用，一般n＞50时才使用它。
2）格拉布斯准则适用于样本中仅混入一个异常值的情况
3）狄克逊准则适用于样本中混入一个以上异常值的情况
2统计基础知识
2．1随机变量及相关统计基本概念
2．1．1事件和随机事件
事件：
观测或试验的一个结果，称为一个事件。
在客观世界中，我们可以把事件大致分为确定性和不确定性两种。
确定性事件有着内在的规律，这一点我们比较容易看到和处理。
而对于不确定性事件，虽然就每一次观测或试验结果来看是可疑的，但在大量重复观测或试验下却呈现某种规律性（统计规律性）。
概率论和数理统计就是从两个不同侧面，来研究这类不确定性事件的统计规律性。
在概率统计中，把可能出现的事件区分为最典型的三种情况：
必然事件：
在一定条件下必然出现的事件；
不可能事件：
在一定条件下不可能出现的事件；
随机事件：
在一定条件下可能出现也可能不出现的事件。
2．1．2随机变量
随机变量：
如果某一量（比如一次测定结果）在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量叫随机变量。
也就是说，随机变量是用来表示随机现象结果的变量。
随机变量的特点是以一定的概率在一定的区间上取值或取某一个固定值。
随机变量根据其取值的特征可以分为连续型随机变量和离散型随机变量。
2．1．3事件的概率：
随机事件的特点是：
在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复的观测或试验中呈现统计规律性。
例如：
在连续n次独立试验中，事件A发生了m次，m称为事件的频数，m/n称为事件的相对频数或频率，当n极大时，频率m/n稳定的趋于某一个常数p，此常数p称为事件A的概率，记为P（A）=p。
概率p是用以度量随机事件A出现的可能性大小的数值。
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率p（A）为0≤p（A）≤1。
2．1．4分布函数
2．2随机变量的数字特征
2．2.1数学期望
随机变量X的数学期望记为E（X）或简记为μx，用以表示随机变量本身的大小，说明X的取值中心或在数轴上的位置，也称期望值。
数学期望的估计值即为若干个测量结果或一系列观测值的算术平均值。
2．2.2方差
方差：
随机变量X的每一个可能值对其数学期望E（X）的偏差的平方的数学期望。
它描述了随机变量X对数学期望E（X）的分散程度。
有：
式中：
可简记为σ，称为测量列的标准差，亦称标准偏查或均方根偏差。
2．2.3三种常见随机变量的概率分布及数字特征
1、均匀分布（其置信因子k=
）
在某一区间[-a,a]内，被测量值以等概率落入，而落于该区间外的概率为0，则称被测量值服从均匀分布，记作U[-a,a]。
其μx=0，Dx=a2/3，
在缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为服从均匀分布。
另外，服从均匀分布的变量的正弦或余弦函数，服从反正弦分布。
2、、正态分布
3、t分布
t分布是标准正态分布的一般形式。
第三章测量不确定度及测量误差
1．1基本概念
测量误差是指测得值与被测量真值之差。
测量误差的主要来源有：
对测量理论认识不足引起的误差、测量方法误差、测量器具误差、环境条件影响引起的误差和操作人员引起的误差等。
1．2测量误差的分类
系统误差
在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差成为系统误差。
系统误差确定后可以进行修正。
系统误差与测量次数无关，不能通过增加测量次数的方法加以消除或减少。
随机误差
测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差成为随即误差。
一般认为，在对同一被测量的多次测量过程中，以不可预知的方式变化的测量误差称为随机误差。
随即误差是由未被认识和掌握的规律或因素导致的，无法修正或消除，但可以根据其自身的规律用增加测量次数的方法加以限制和减少。
1．3随机误差的表示
随机误差最常用表示方法是标准（偏）差。
标准（偏）差用贝塞尔公式来计算。
对同一量（X）进行有限（n）次测量，其测得值（
）间的离散性可用标准（偏）差（
）来表示：
式中：
n---独立重复测量次数
---测量值（i=1,2,3…n）
----n次测量的算术平均值
一组测量结果平均值
的标准差：
若测量次数足够大，则该组测量的总体标准差σ为：
σ
标准（偏）差是每个测得值的函数，对一系列测得值中大小误差的反应都很灵敏，使表示测量随机误差的较好方式。
1．4测量误差的分析方法
如图所示，被测量值为y，其真值为t，第i次测量所得的观测值或测得值为
。
由于误差的存在使测得值与真值不能重合，设测得值呈正态分布N（μ,σ）,则分布曲线在数轴上的位置（即μ值）决定了系统误差的大小，曲线的形状（按σ值）决定了随机误差的分布范围[μ-kσ,μ+kσ]，及其在范围内取值的概率。
由图可见，误差和它的概率分布密切相关，可以用概率论和数理统计的方法来恰当处理。
实际上，误差可以表示为：
误差=测量结果-真值
=（测量结果-总体均值）+（总体均值-真值）
=随机误差+系统误差
因此，任意一个误差△i均可表示为系统误差εi和随机误差δi的代数和，即△i=εi+δi。
实际上，测量结果的误差往往是由若干个分量组成的，这些分量按其特性均可分为随机误差和系统误差两大类，而且无例外的取各分量的代数和，换言之，测量误差的合成只用“代数和”方式。
不要把误差与不确定度混为一谈。
测量不确定度表明赋予被测量之值的分散性，它与人们对被测量的认识程度有关，是通过分析和评定的得到的的一个区间。
测量误差则是表明测量结果偏离真值的差值，它客观存在但人们无法准确知道。
例如：
测量结果可能非常接近真值，但由于人们认识不足，人们赋予的值却落在一个较大的区间内（即测量不确定度较大）；也可能实际上测量误差较大，但由于分析估计不足，使给出的不确定度偏小。
因此，在评定不确定度时应充分考虑各种影响因素，并对不确定度评定进行必要的验证。
2测量不确定度
众所周知，对材料的任何特性参量（物理的或化学的等等）进行检测和测量时，不管方法和仪器设备如何完善，其测量结果始终存在着不确定性。
这种不确定性，长期以来是使用误差来描述的。
然而，对于材料的许多听产量，真值是无法知晓的。
此时误差不能准确得到，在应用中往往是用近似真值（或称最佳真值、约定真值）来代替，而近似真值（如常用的算术平均值或回归值等）本身就具有不确定度，它与具有不确定度的检测结果的差，即误差必然存在着相当的不确定度。
它表明了测量结果偏离真值的大小，但具有不确定度的因素存在，这不确定因素的大小是不知道的。
另外，误差合成的方法也不统一。
同时，也没有给出置信区间和置信概率的概念。
2．1不确定度发展和现状：
1927年，Heisenberg提出不确定度关系；
1963年，美国标准局提出使用此建议；
1973年，英国讨论accuracy（精密度）时
1978年，美标准局体请国际计量委员会，不确定度的重要性
1981年，国际计量委员会，第70届会议提出建议书（CI-1981）
1986年，国际计量委员会，第75届会议提出建议书（CI-1986）
1993年，七个国际组织批准GUM：
ISO国际标准化组织
IEC国际电工委员会
BIPM国际计量局
OIML国际法制计量组织
IUPAC国际理论化学与应用化学联合会
IUPAP国际理论物理和应用物理联合会
IFCC国际临床化学联合会
GUM：
GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement
GUM（《测量不确定度表示指南》）代表当前国际上表示测量结果及不确定度的约定规程，使所有地区计量领域，不确定度具有一致的含义。
GUM采用当前国际通行的观点和方法，使设计测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。
国际实验室认可合作组织ILAC，批准了GUM；ISO技术局将GUM作为国际标准应执行的方针文件。
1985年中国计量科学研究院编制了“不确定度应用办法”
1996年11月中国计量科学研究院编制了《测量不确定度规范》
计量技术规范JJF1059—1999《测量不确定度评定与表示》
国内测量不确定度评定的工作，已比较普及，但多数有明显错误，迫切需要测量不确定度评定的样本。
CNAL/AC01-2005对测量不确定度评定提出明确要求：
对校准要求高，不确定度每项都评定；对检测要求低，不确定度一个领域有一项即可。
CNAL认可准则：
CNAL/AR11：
2003
测量不确定度政策：
“始终遵循国际规范的相关要求，与国际相关组织的要求保持一致”；注意到测量不确定度概念应用的时间等。
“目标明确，重要先行，循序渐进”原则。
2．2测量不确定度
（一）测量不确定度的来源
测量过程中有许多引起测量不确定度的来源，它们可能来自以下几个方面:
（1）对被测量的定义不完整或不完善;
（2）实现被测量的定义的方法不理想;
（3）取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量;
（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善;
（5）对模拟仪器的读数存在人为偏差;
（6）测量仪器的分辨力或鉴别力不够;
（7）赋予计量标准的值和标准物质的值不准;
（8）引用于数据计算的常量和其他参量不准;
（9）测量方法和测量程序的近似性和假定性;
（10）在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
上述不确定度的来源可能相关，例如，第（10）项可能与前面各项有关。
对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量结果的误差。
由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。
因而测量不确定度一般由许多分量组成，其中一些分量具有统计性，另一些分量具有非统计性。
所有这些不确定度来源，若影响到测量结果，都会对测量结果的分散性作出贡献。
也就是说，由于这些不确定度来源的综合效应，使测量结果的可能值服从某种概率分布。
可以用概率分布的标准（偏）差来表示测量不确定度，它表示测量结果的分散性。
也可以用标准（偏）差的倍数，或用具有一定置信概率的区间的半宽度来表示测量不确定度。
（二）测量过程数学模型的建立
在测量不确定度评定中，所有的测量值均应是测量结果的最佳估计值（即对所有测量结果中系统效应的影响均应进行修正）。
对各种影响量产生的不确定度分量不应有遗漏，也不能重复。
在所有的测量结果中，均不应存在由于读取、记录或数据分析失误或仪器不正确使用等因素引入的明显的异常数据。
如果发现测量结果中有异常值，则应将其剔除，但在剔除数据前应对异常值依据适当的规则（例如，GB4883-1995《正态分布中异常值的判断和处理》）进行检验，而不能仅凭经验或主观感觉作判断。
在有些情况下，系统效应引起的不确定度分量很小，对测量结果的合成不确定度影响也很小，这样的分量仔评定不确定度时就可以忽略。
如果修正值本身与合成不确定度相比也是很小的值时，则修正值也可以忽略不计。
比如:
用很高等级的标准器校准低等级的测量仪器时，标准器的修正值及标准器修正值引人的不确定度分量均可忽略不计。
又如:
在法制计量领域内，通常要求测量标准及测量方法和程序引人的测量不确定度应小到可忽略的程度，即要求标准装置的扩展不确定度为被测件允许误差的1/3～1/10。
这时，测量方法、过程及测量标准本身引起的不确定度，通常可以忽略不计。
在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其它量X1，X2，…XN（输人量）通过函数关系f来确定：
……1
上式表示的这种函数关系，就称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。
测量不确定度通常是由测量过程的数学模型和不确定度的传播率
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