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研究报告最终稿
《培养小学高年级学生数学合理猜想能力的研究》
研究报告
学校：
平顶山市第五十六中学
时间：
2016年3月
课题主持人：
张杏月（平顶山市第五十六中）
课题组成员：
郭晓峰李丽娟李慧朵王佩栗征平陈向阳
【摘要】数学猜想是数学发展的动力，科学发展的先导。
培养学生合理的猜想能力，能够调动学生学习的积极性、主动性，有利于培养学生的推理能力和创新意识，形成数学的思想和态度。
因此，在教学中应当培养学生合理的猜想能力。
【关键词】小学高年级数学课堂教学猜想能力培养
《培养小学高年级学生数学合理猜想能力的研究》
研究报告
一、课题的提出
（一）课题研究的背景
《数学课程标准》在课程总目标数学思考方面提出：
要让学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
这里明确肯定了猜想在数学教学中的作用。
伟大科学家牛顿曾经说过：
“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现”。
著名的数学家波利亚也说过：
“数学不仅要教证明，还要教猜想”。
数学猜想是数学发展的动力，科学发展的先导。
纵观历史上的一些著名数学猜想，如哥德巴赫猜想，费尔马猜想，希尔伯特猜想等，对数学的发展和研究都起到了积极的推动作用。
小学高年级学生在思维，认知水平上已明显提高，求知欲增强。
因此，在小学高年级数学教学中，培养学生的合理猜想能力，不仅能够调动学生学习的积极性、主动性，促使学生主动获取知识，提高学生发现问题，解决问题的能力，而且有利于培养学生的直觉思维和探索精神，发展学生的合情推理能力，还有利于培养学生的发散性思维，创新意识，探究能力，使学生能逐步掌握解决问题的科学方法，形成数学的思想和态度。
因此，我们在小学数学教学中应当十分重视和培养学生的合理猜想能力。
（二）课题核心概念的界定
猜想是根据不明显的线索或凭想象来寻找正确的解答的思维活动，是人们依据事实，凭借直觉作出的推测。
数学合理猜想是人们依据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测,再用所学知识，进行验证，证明这个假设是否合理。
数学合理猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略，它是建立在已有的事实和经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理，它是数学研究的一种常用的科学方法，是人们探索数学规律，发现数学知识的手段和策略，又是数学发展的一种重要的思维形式。
培养学生的数学合理猜想能力，要注意培养学生猜想的合理性，有效性。
数学合理猜想的过程一般具有跳跃性、灵活性、探索性，结果往往具有独创性。
（三）国内外研究现状
国内外很多教育专家非常提倡培养学生的数学合理猜想能力，主张通过数学猜想让学生掌握新知识，获取新知识，并从中发展主动探究的能力。
数学方法论的倡导者波利亚在他的著作《数学与猜想》中也明确指出：
“数学的创造过程和其他任何知识的创造过程是一样的，在证明一个数学定理之前，你得先猜测这个定理的内容，在你做出完全详细的证明之前，你先得推测证明的思路……只要数学的学习过程稍微能反映出数学的发明过程的话，那么就应该让合理的猜想占有适当的位置。
”另外，国内著名教育家任樟辉、郑毓信等人在这方面也都很有建树，也都在自己的著作中提出猜想在数学教学中占有相当重要的作用。
但是，实际教学中很多一线教师，过分强调数学的严谨性和科学性，而轻视了对学生猜想能力的培养，也都不够重视学生猜想能力的培养，也没有行之有效的策略和方法，造成了学生在解题中谨小慎微、想象力贫乏、创造力低下的现象。
教学中教师应善于挖掘猜想素材，鼓励学生进行大胆猜想，使他们养成敢于猜想，善于猜想，勇于探究的好习惯，而且还要让学生学会猜想的规律和方法，使他们猜之有理。
对此，大教育家波利亚大声疾呼：
“让我们教猜想吧！
”因此本课题的研究具有相当大的应用价值。
（四）课题研究的意义及价值
通过本课题的研究，能发展学生的创新思维能力，激发学生的学习兴趣，使学生掌握数学思想和数学方法，增强学习数学的自信心，提高解决问题的能力，并可以融洽师生关系，课堂气氛更加活跃，学生能大胆的发表自己的见解，敢于和善于用自己的猜想去发现新知，并能用自己的论证结果反驳他人的错误判断。
同时，也可使教师真正树立起“以学生发展为本”的教育思想。
猜想能力的培养是一项复杂的系统工程，绝不是一朝一夕所能办到的。
它需要我们数学教师长期锲而不舍，寓猜想能力的培养于平时的教学之中。
这是优化课堂教学，提高教学质量的策略之一，也是培养２１世纪创造性人才的需要。
因此，我们要大张旗鼓地教猜想。
二、研究目标与内容
（一）研究目标
1、在课堂教学中通过培养学生的数学合理猜想能力，使学生乐猜愿猜善猜，调动学习积极性，激发更大的学习兴趣，提高学习效率。
2、提高学生的应用意识和创新意识，为新世纪有效地培养创新型人才奠定良好的基础。
3、提高学生的合情推理和演绎推理能力，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。
4、通过培养学生的合理猜想，让学生能用数学语言准确表达自己的猜想过程，并能用自己的论证结果反驳他人的错误判断，提高学生的数学语言表达能力。
（二）、研究内容
1、猜想应遵循的原则研究。
2、小学高年级数学合理猜想方法的研究。
3、小学高年级数学教学中培养学生的合理猜想能力的策略研究。
三、研究方法：
1、文献研究法：
调查对学生猜想能力的重视程度，数学猜想的有关内容。
2、调查研究法：
通过调查观察学生的数学猜想能力的现状，从而研究培养小学高年级学生的数学合理猜想能力的有效方法和途径。
3、行动研讨法：
通过对科研过程中出现的问题进行分析、研讨，不断操作实践改进，找到最好的实施途径。
4、教育经验总结法：
组织课题参加人员，集体研讨，不断交流、改进、实施、总结形成材料。
四、实施步骤：
第一阶段：
准备阶段（2014年3月——2014年5月）分析新课程标准，了解学生现状，为课题研究实施做好准备。
确定课题成员，落实分工，明确职责；学习有关数学猜想有关文献，搜集有关资料，拟订课题实施方案。
第二阶段：
实施阶段（2014年5月——2015年6月）按照课题拟订的方案，实施操作，边实施边交流边改进，边总结方法，不断完善研究方案，并形成资料。
定期开展科研组活动，形成阶段性报告和有关论文。
第三阶段：
总结阶段（2015年6月——2016年3月）写出课题研究报告和有关论文，上好成果展示课。
五、研究过程与分析
1、猜想应遵循的原则研究。
（1）合理性原则。
猜想不是胡猜乱想，不合理的猜想与假设不仅没有发展成为科学结论的可能，对探究过程也没有意义。
在解决问题的过程中，不能靠盲目的尝试，要根据已有的理论、自己的经验和所收集到的有关资料、事实以及人类特有想象力、创造力提出解决问题的猜想与假设。
（2）规律性原则。
猜想与假设虽然是针对一些客观事实和现象而提出来的，但科学探究的目的不是解决个别问题，而应是一类问题，寻找事物之间的普遍联系和一般规律。
因此，提出的猜想与假设要具有某种规律性。
例如：
在学习分数和比时，老师会提问学生：
分数的分母或比的后项可以是零吗？
学生根据分数和除法、比和除法的关系很容易猜出来：
因为除数不能为零，所以分数的分母、比的后项也不能为零。
（3）方向性原则
猜想与假设是在探究之前对研究问题所进行的一种科学预见性活动，指导着探究计划的制定和方案的设计，是学生确定研究方向，选择实验方法、实验器材的基础。
因此提出的猜想与假设应能使学生明确探究的方向，指导整个探究活动进行。
例如：
在学习三角形面积时，学生根据转化的思路，提出能否把三角形的面积转化成已学过的长方形或平行四边形的猜想。
然后通过寻找它们面积之间的关系从而推导出三角形的面积公式。
（4）开放性原则
猜想与假设是科学探究中学生思维最活跃的阶段，不同学生由于经验、知识、能力的不同，对问题的认识不同，因此会提出不同的猜想。
探究教学要调动全体学生的积极主动性，发展学生自主思考、自主创新的能力，就要让每位学生提出自己的猜想和假设，教师不要对学生进行过多的干涉，保证提出的猜想与假设的开放性。
2、小学高年级数学合理猜想方法的研究。
（1）利用经验和直觉思维进行猜想。
学生在日常生活和学习中形成了大量的日常经验和知识，它们是学生进行猜想的直接来源和素材。
直觉思维是未经逐步分析就迅速对问题答案做出合理的猜测、设想或突然领悟的思维。
它往往会形成智慧的火花，迸发出创造的灵感。
在探究教学中充分利用学生的经验和直觉让学生猜想是培养学生猜想能力的有效手段。
例如：
教学“分数化成有限小数”这节内容时，给学生提供一组分数，让学生观察、试算后猜想：
“一个最简分数能不能化成有限小数”，与这个分数的哪些部分有关？
有的说可能与分母有关后，又让学生猜想，与分母有怎样的关系？
有的说可能与分母是奇数还是偶数有关，有的说可能与分母是合数还是质数有关，也有的说可能与分母所含有的质因数有关，学生经过一番讨论，举例验证，最后形成共识，这样的教学，充分展开了学生的想象力和调动了学生思考的积极性、主动性，有利于创新思维的培养。
（2）运用归纳法进行猜想。
归纳是一系列具体的事物概括出这类事物的一般属性或原理，归纳是认识事物本质属性的手段，是发现数学原理的途径。
教师在数学教学中为学生提供几个代表性的事实，从几个简单的、个别的、特殊的情况中寻找一般属性，通过归纳获得猜想。
例如：
教学“能被2整除的数的特征”时，教师先让学生计算2、3、4、5、6、7、8……20分别除以2，接着把不能被2整除的数放在一个圈内，把能被2整除的数放在另一个圈内，然后让学生猜想能被2整除的数有什么特征？
学生从第一圈内发现不能被2整除的个位上有1、3、5、7、9，从第二圈内发现能被2整除的数的个位上是0、2、4、6、8，进而发现个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（3）利用类比法进行猜想。
两种事物在某些特征上往往有相似之处，人们可以根据此得出它们在其它特征上有可能相似的结论。
教师在数学教学中，应当启发学生善于捕捉新旧事物的相似之处，通过类比获得猜想。
由旧事物的性质属性去猜测新事物可能有相同或类似性质的属性。
例如：
教学“分数的基本性质”时，教师先复习商不变性质，如果把每个除法算式改写成分数，你猜想分数有什么性质呢？
再经教师启发，使学生发现分数的分子、分母相当于除法里的被除数、除数，既然在除法里有商不变性质，那么在分数里也应存着分数大小不变的性质，进而发现分数的分子和分母同时乘以者除以相同的数（0除外）分数的大小变的基本性质。
（4）抓住联系进行联想猜想。
许多事物之间有着千丝万缕的联系，某个概念、法则、性质、公式等与其它概念性质、法则、公式等往往有着相关的联系。
在数学教学中，教师应引导学生抓住事物之间联系，抓住概念、性质、公式之间联系，通过联想获得猜想。
例如：
教学求平行四边形的面积计算时，教师要求学生先回忆长方形正方形的面积计算公式，并猜想平行四边形的面积计算公式，然后让学生观察，怎样把平行四边形转化成以前学过的长方形或正方形？
这个问题一提出，学生立刻产生强烈的求知欲。
通过小组的充分讨论，动手操作，画、剪、拼，归纳出：
拼成的长方形面积等于平行四边的面积，拼成的长方形的长等于平行四边形的底，拼成的长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。
这样利用新旧知识的联系，让学生通过观察，猜想，验证，由自己发现得出结论的过程，不仅变被动为主动学习，而且拓展了学生思维的视野。
（5）逆向思考法猜想。
逆向思维是一种发散性思维，这是一种从已有思路的反方向考虑问题的思维方法，其特点是：
另辟蹊径，向不同的方向进行思考，多端输出，灵活变化，思路宽广，考虑精细，答案新颖。
我们运用逆向思维来进行猜想，在许多情况下能够帮助我们克服惯常思维中出现的困难，开辟思路，开拓认识的新领域。
例如：
在解决“有37名选手参加乒乓球比赛，如果用单循环淘汰赛制，问要产生冠军需要进行多少场比赛？
”这一问题时若采用常规方法计算：
每两个选手一组，进行第一组比赛，要赛18场，得胜18人与轮空的1人进入第二轮比赛。
第二轮比赛要安排9场排比赛，得胜的9人与轮空的1人进行第三轮比赛。
第三轮比赛要安排5场比赛，得胜的5人进入第四轮比赛……，分析总结要进行18+9+5+2+1+1=36场比赛。
若采用逆向思维法来分析这个问题：
因为每场比赛都要产生一个失败者，而每个人都只能失败一次，所以比赛的场数与失败的人数相等，又因为冠军是唯一的胜利者，其它36人都要失败过，所以要进行36场比赛"可见采用逆向思考来进行猜想的方法有时可使问题的解决来的简单、快捷。
3、小学高年级数学教学中培养学生的合理猜想能力的策略研究。
（1）创设适合的教学情境，使学生明确猜想的方向。
由于学生不可能像科学家一样在纷繁复杂的自然现象面前，根据自己丰富的知识经验和敏锐的感觉提出科学的猜想和假设，因此，教师在创设问题情境时要在符合客观事实的基础上，凸显出一些问题解决方式或答案的信息，使创设的情境对学生的猜想和假设具有一定的启发和暗示性。
这样学生在猜想与假设时，就有一个较为明确的方向，不至于做出一些毫无边际的猜想与假设，同时培养了学生收集信息的能力。
例如：
学习长方形和正方形的面积之后，让学生猜想自己住的小房间的面积，吃饭桌子的面积，教室的面积或数学课本的一个面的面积。
这样的猜想既为学生指明了猜想的方向，有利于培养学生将所学知识运用于实际生活的能力。
（2）营造宽松的教学环境，使学生敢于猜想。
牛顿说过：
“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。
”学生天真活泼，好奇心强，富有幻想，敢想敢说，在教学过程中教师要抓住这一心理特点，运用恰当时机，营造宽松的教学环境，鼓励学生进行猜想，教会学生大胆猜想，要相信学生，积极为学生创造猜想的机会和空间，允许提出不同的猜想，允许学生猜想错误，对敢于猜想正确的同学要及时表扬，这样课堂上会起到意想不到的数学教学效果。
例如：
在教学《比例尺》时，教师先出示一张平顶山市地图，因为学生平时没有多大机会接触平顶山市地图，自然吸引了同学们惊奇的目光。
然后趁机提出：
“猜一猜整个平顶山市的实际面积缩小了几倍？
”“猜一猜我们学校到市里的实际直线距离是多少千米？
”“猜一猜学校到市里的实际路程与地图上的量出的距离比是几比几？
”当这些问题一提出，学生思维的闸门打开了。
学生猜的数据自然是有大有小，但这并不重要，重要的是让学生学会用知识来验证自己的猜想是否正确。
由于这些问题都是学生从没有思考过的，又都是身边实实在在的问题，所以都特别想知道答案，因而探索的欲望特别高。
（3）积极的启发引导，使学生善于猜想。
很多数学知识具有抽象性，教师要积极的启发引导，鼓励学生开阔思维，不限制学生的思维疆域，鼓励学生积极的寻找猜想的依据，索求猜想的合理性和准确性，不迷信已有的结论，不满足现成的答案，使学生善于猜想。
例如：
三角形的内角和是180度。
这是一个十分重要的概念。
在教学中教师让学生自己动手操作，自己寻求：
三角形内角和的答案。
这时有的学生将三角形的三个角分别剪下来，拼在一起是一个平角；有的学生剪下三角形的两个角后，再与第三个角拼在一起同样可以得出结论；还有的学生则用量角器分别量出每个角的度数，把三个角度数相加。
通过这样的亲身实践，引导学生对知识从感性认识上升到理性记忆。
在猜想中探索出正确的答案，在实践中验证了猜想的准确性，从而加深了对知识发生过程的理解。
（4）有理有据，使学生能说出自己的猜想。
说是学生把感性的知识通过理性表现的一种有效途径，也是完善认知和猜想的必要过程。
猜想是人们依据事实，凭借直觉所做出的合理推测，是一种创造性的思维活动。
儿童想象力丰富，猜想也是百花齐放，教师要给他们创造表现自我的机会，让他们把自己的猜想依据、实践过程以及得到的结论说出来，使其认识更加明确、思维更加完善。
例如：
在复习平面图形的周长和面积时，教师出了一道这样的题目：
我有一根绳子，你想一想，用它围成的哪种平面图形的面积最大?
学生们各抒己见，结论正确的同学，不仅要阐述自己依据什么旧知来推测新知，还要详细地叙述论证的过程。
猜想不合理的同学也要能说出自己的理论依据和实验过程，并且要告诉大家自己的猜想失败的原因。
（5）加强猜后检验，使学生能验证自己的猜想。
猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。
在鼓励学生大胆猜想的同时，必须引导学生对其进行细心地验证，使学生在经常性参与“猜想--验证”活动的过程中，潜移默化接受这种科学的思想方法。
如果通过验证，发现猜想是错误的，应立即调整思路，重新分析，只有引导学生把猜想和验证有机结合起来，猜想才具有意。
例如:
教学“能被3整除的数的特征”时，教师提问：
“我们已经知道了能被2、5整除的数的特征，那么，能被3整除的数可能会有什么特征呢？
”有学生立即不假思索地说出了他的猜想：
“个位上是3、6、9的数都能被3整除。
”教师没有对他的猜想做出评价，而是引导大家对这个猜想进行验证。
很快，有学生提出：
“13，23，16，26，19，29都不能被3整除”，这个猜想显然是错误的。
在经历了猜想的失败后，学生认识到不能按原来的经验猜想能被3整除的数的特征，应该换个角度寻找。
能被3整除的数十位和个位调换后仍然能被3整除，如：
12，21，15，51。
教师立即出示了一组数：
145，154，415，451，514，541。
学生计算后发现：
它们都能被3整除。
这一发现激发了另一些学生的猜想：
能被3整除的数的特点可能与各个数位上的数字和有关。
于是，学生又投入到对这一猜想的验证中……。
在这种猜想——验证——再猜想——再验证的过程中，学生的思维由片面而逐步完善。
正因为经历了曲折，所以最终的结论得才是珍贵。
因此，我们在小学数学教学过程中必须加强猜后检验，使学生能验证自己的猜想。
六、研究取得的成效
通过近两年的研究，教师充分认识到自己在教学中的主导地位，积极引导和帮助学生养成合理猜想的习惯，积累合理猜想的经验，培养了本校高年级学生的数学合理猜想能力，激发了学生学习数学的兴趣和自信心，师生关系融洽，课堂气氛更加活跃，学生的整体素质得到了明显提高，与此同时，教师的教学工作也取得了一定的成绩，实现了师生共同发展。
课题组组长张杏月老师，所授《分数的意义和性质》一课，在2014年平顶山市举行的《说课标、说教材》活动中，获市级一等奖；所带班级六
（1）班在2014年平顶山市新华区举行的数学素养竞赛中取得了优异的成绩，其中谢志炫同学获区级一等奖，张艺淼和史煜鑫同学获区级二等奖，张杏月老师本人获“优秀辅导员”称号。
李慧朵老师，在2014年平顶山市新华区举行的教学技能大赛中获“教坛新秀”称号。
王佩老师，论文《“猜想”是飞向成功的翅膀——在小学数学教学中创设猜想情境，培养猜想能力》在校内交流，并受到好评。
李丽娟老师，在2014年平顶山市新华区举行的教学技能大赛中获“教学能手”称号。
栗征平老师，辅导的学生在2014年新华区小学生素养大赛中荣获一等奖。
2015年被评为市级“教学能手”。
【参考文献】：
[1]《数学新课程标准》.北京师范大学出版集团.（2011年版）
[2]波普尔：
《猜想与反驳》.上海译文出版社.2005年
[3]颜道清：
《培养学生探究性学习中猜想能力的心得》湖北教研网
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