高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲垂直关系练习理北师大版.docx

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高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲垂直关系练习理北师大版

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲垂直关系练习理北师大版

一、选择题

1.（xx·浙江卷）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ（　　）

A.若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥m

C.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m

解析　由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.

答案　A

2.（xx·深圳四校联考）若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（　　）

A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

解析　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.

答案　B

3.如图，

在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（　　）

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDE⊥平面ABC

解析　因为BC∥DF，DF平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确.

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确.

答案　D

4.（xx·西安调研）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析　A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或lβ，C不正确.D中，l与β的位置关系不确定.

答案　B

5.（xx·天津滨海新区模拟）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是（　　）

A.①②④B.①②③

C.②③④D.①③④

解析　由题意知，BD⊥平面ADC，且AC平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.

答案　B

二、填空题

6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.

解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.

答案　4

7.

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.

解析　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD.

又PC平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

8.（xx·全国Ⅱ卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，mα，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号）.

解析　对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确.

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点.又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确.

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确.

答案　②③④

三、解答题

9.（xx·南昌质检）

如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.

（1）求证：

EF⊥平面BCG；

（2）求三棱锥D－BCG的体积.

（1）证明　由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.

又G为AD的中点，所以CG⊥AD.

同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.

又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.

（2）

解　在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO平面ABC，知AO⊥平面BDC.

又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.

在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝

，

所以VD－BCG＝VG－BCD＝

S△DBC·h＝

×

BD·BC·

sin120°·

＝

.

10.（xx·北京卷）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

（1）求证：

DC⊥平面PAC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由.

（1）证明　因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.

（2）证明　因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.

又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

（3）解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.

理由如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF平面CEF，

所以PA∥平面CEF.

11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.则下列说法正确的是（　　）

A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

解析　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误.

答案　C

12.（xx·合肥模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是（　　）

A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心

C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心

解析　

由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

∴O为△AEF的垂心.

答案　A

13.

如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）.

解析　由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，

又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.

答案　①④

14.（xx·四川卷）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由.

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（1）解　

取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点，理由如下：

因为AD∥BC，BC＝

AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.

又AB平面PAB.CM⊄平面PAB.

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

又BD平面ABCD，

从而PA⊥BD.因为AD∥BC，BC＝

AD，

M为AD的中点，连接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD.

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲垂直关系配套练习文北师大版

一、选择题

1．（xx·浙江卷）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ

（　　）

A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m

解析　由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面．

答案　A

2．（xx·深圳四校联考）若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为

（　　）

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

解析　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．

答案　B

3．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是

（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

解析　因为BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．

答案　D

4．（xx·西安调研）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是

（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析　A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或lβ，C不正确．D中，l与β的位置关系不确定．

答案　B

5．（xx·天津滨海新区模拟）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是

（　　）

A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④

解析　由题意知，BD⊥平面ADC，且AC平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．

答案　B

二、填空题

6．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

答案　4

7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）．

解析　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD.

又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

8．（xx·全国Ⅱ卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，mα，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号）．

解析　对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．

答案　②③④

三、解答题

9．（xx·南昌质检）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．

（1）求证：

EF⊥平面BCG；

（2）求三棱锥D－BCG的体积．

（1）证明　由已知得△ABC≌△DBC，

因此AC＝DC.

又G为AD的中点，所以CG⊥AD.

同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.

又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.

（2）

解　在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO平面ABC，知AO⊥平面BDC.

又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．

在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝

，

所以VD－BCG＝VG－BCD＝

S△DBC·h＝

×

BD·BC·

sin120°·

＝

.

10．（xx·北京卷）如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

（1）求证：

DC⊥平面PAC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由．

（1）证明　因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.

（2）证明　因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.

又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.

（3）解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.

理由如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，

所以PA∥平面CEF.

11．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则下列说法正确的是

（　　）

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

解析　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．

答案　C

12．（xx·合肥模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是

（　　）

A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心

C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心

解析　

由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

∴O为△AEF的垂心．

答案　A

13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．

解析　由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，

又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，BC平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．

答案　①④

14．（xx·四川卷）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（1）解　

取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点，理由如下：

因为AD∥BC，BC＝

AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.

又AB平面PAB.CM平面PAB.

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

又BD平面ABCD，

从而PA⊥BD.

因为AD∥BC，BC＝

AD，

M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD.

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD.