高等数学同济第七版版下册习题全解.docx
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高等数学同济第七版版下册习题全解
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高等数学同济第七版版下册习题全解
y
2
D2
-1
O
iT
-2
图10-1
数,故
/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr.
fhi)i
又由于d3关于;t轴对称,被积函数(/+r2)3关于y是偶函数,故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy1):
从而得
/,=4/2.
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意:
如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix,-y)=-f(x,y),PJ
jf/(x,y)da=0;
D
如果积分区域D关于:
k轴对称,而被积函数/(x,y)关于:
c是奇函数,即
/(~x,y)=-/(太,y),则
=0.
D
3.利用二重积分定义证明:
(1)jjda=(其中(7为的面积);
IJ
(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj|y’(a:
,y)do■(其中A:
为常数);
on
(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!
U/)2,,A为两个
I)b\lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
jj'ltr=Hmy^/(,rji)A=limcr=a.
A—0
n
(2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^
i)1
n
=Alimy/(^(,i7,)A(7-,=k\\f{x,y)Aa.
A-°台{!
(3)因为函数/U,y)在闭区域/)上可积,故不论把£?
怎样分割,积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和,记为
^/(^,,17,)Act,=^/(^,,17,)Act,+^/(^,,17,)Act,.
/)(U0,",l):
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限,即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.
p,un}V,n;
Sa4.试确定积分区域/),使二重积分][(1-2x2-y2)dly达到最大值.
I)
解由二重积分的性质可知,当积分区域/>包含了所有使被积函数1-V2大于等于零的点,而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点,即当£?
是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时,此二重积分的值达到最大.
&5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
(1)Ju+y)2山7与J[U,其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=
DI)
1所围成;
(2)J(x+7)2如与■,其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=
t)n
2所围成;
(3)I'mA;+y)(lor与!
"[In(X+y)]2(1(7,其中Z>是三角形闭K域,三顶点分别为
l)"
(1,0),(1,1),(2,0);
(4)Jpn(:
r+y)dcr与In(:
t+y)]2fW,其中/)=|(.r,.v)|3,0彡、彡1.
i)i)
解
(1)在积分K域0上,故有
(x+j)3^(x+y)2.
根据二重积分的性质4,可得
J(.r+y)\lrx^J(.\+v)
0D
(2)由于积分区域0位于半平面|(a:
,V)|.V+、
(3)彡11内,故在/)|:
&(.f+y)2彡(a+y)3
(4)从『("
(5)J(v+>):
drr^jj(x+y)\lfr.
(6)由于积分区域D位于条形区域1U,y)|1彡1+7彡2丨内,故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1,从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此
jj[ln(a:
+y)]2(Jo-^+y)d
(7)由于积分区域/)位于半平面丨(x,y)|.v+y彡e|内,故在Z)上有ln(x+y)彡1,从而:
In(-v+)')]2彡In(:
c+)').因此
Jj^1n(.r+y)]2dcr^Jln(x+y)da.
i)a
36.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1)/=|^7(文+7)心,其中/)=\(x,y)1,01|;
n
(2)/=j^sin^sin^do■,其中/)=j(a:
y)|0^^^tt,0^y^tt1;
i)
(3)/=J*(A:
+y+l)d(7,其中/>={{x,y)|0^x^l,0^j^2[;
it
(4)/=J(x2+4y2+9)do,其中D=\{x,y)\x2+y2^4|.
I)
解
(1)在积分区域D上,0矣;<:
矣1,0英y矣1,从而0矣巧(*+y)矣2又£?
的面积等于1,因此
(2)在积分区域/)上,0矣sinj:
矣1,0^sin1,从而0彡sin2A:
sin2y彡1,又0的面积等于tt2,W此
(3)
在积分K域"上有\^x+y+\4,/)的而积等于2,因此
(4)
(5)W为在积分K域/>?
上有0矣;t2+y2苳4,所以有
9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25.
34I)的酣枳等于4tt,W此
36tt^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.
二重积分的计算法
.^1.计算下列二甩积分:
&2._出枳分ix:
域,斤i卜r):
v列m分:
(1)J^^do■,其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域;
D
(2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域;
I)
(3)JV+'dcr,其中/)=I(%,)
)||A;|+|J|^1!
;
D
(4)|"U2+/-x)l、y二xh:
2*所围成的闭区域.
D
解
(1)0可用不等式表示为
x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).
于是
(2)
0^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3),
D可用不等式表示为
(3)如阁I()-4,W=/\U"2,其中
/>1=\(x,y)\-x-\^y^Jc+1,-1^a;^0|,
I)2=\(x,y)|*-1+
因此
Ea3.如果二重积分|/(.r,y)心办的被积函数/(x,v)是两个函数/](O及)的乘
n
积,即/(X,y)=f\(x)./“y),积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫
这个二重积分等于两个单积分的乘枳,即
|*/|U)-/2(r)flatly=[J/,(.v)]-[[/:
(>)^v]-
证Jj./1(x)
.,2(/)dvdV~J[fJ\(v)■./:
t^]l^x*
在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)
/2(.V)dv中,./,(A.)1Jfut变招:
、无关,nn见为常数提到积分5外,W此上式“端笏T
而在这个积分中,由于f/2(y)dy为常数,故又可提到积分号外,从而得到
f2<,y)^xAy=[|/2(y)dj]-[Jn/,(x)dx]
证毕.
^4.化二重积分
/=Jf(x,y)da
I)
为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域£>是:
(1)由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
(2)由x轴及半圆周/+y2=r2(y英0)所围成的闭区域;
(3)由直线y=x,;c=2及双曲线:
k=^-(*>0)所围成的闭区域;
X
(4)环形闭区域IU,y)|1+y2^4(.
解
(1)直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是
fix
/=j[dy^/(*,y)tk.
f(x,y)dy,
(2)将/)用不等式表示'fyO^y^r2-x2,-r^W/,于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分:
r
/=J(1文Jf(x,y)(\y;
如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/
,则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分:
(2,2).于是
dy(i_/(^,y)+tlj/(x,y)dx.
|dxj[f(x,y)dy.
注本题说明,将二重积分化为二次积分时,需注意根据积分区域的边界曲线的情况,选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出,而左边界曲线却分为两段,由两个不同的方程给出,在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利,这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分.
需要指出,选择积分次序时,还需考虑被积函数/U,y)的特点.具体例子n]'见教材下册第144页上的例2.
(4)将D按图10-8(a)和图10-8(1>)的两种不同方式则分为4块,分别得
图10-8
5.设/U,y)在D上连续,其中/)是由直线;==所围成的闭区
域,证明
dx|f(x,y)Ay
证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y)do,因而它们相等.
I)
^6.改换下列二次积分的积分次序:
(2)J)dj|:
f(x,y)dx;
解(丨)所给二次积分等于二重积分J[/U,;k)(^,其中o=丨h,y)1°^^^r-
"
0^j^I(./>n|■改写为|Uj)|*矣y矣1,0^^I|(罔10-9),于是
原式=丄(2)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山,.K:
中/)=I|.y2^^<2y,
0
0^21.MI)njm为{u’y)I音矣j^7^,0^x在4)(1冬11(>-I0),W此
原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.
(3)所给二次积分等于二重积分.其中D=:
(.|-V1
U
X^J1-y2,0彡>?
彡1;又D可表示为:
(JC,)*)丨0彡y彡V1-.r2,-1=(图10-11),因此
f1fV1-X~
原式=J^dxj/(x,v)dy.
(4)所给二次积分等于二重积分其中D=:
(.'2-
h
s/lx-x1%\彡.r彡2:
.又D可表示为:
(a:
v)|2-1彡.t彡1+Y1—v2,0:
(图10-12),故
原式=丄d)jf(x%y)dx.
(5)所给二次积分等于二重积分]|/(.10)(1^,)1:
中/)=1(.|0^v^
I)
x彡e|
又/)可表示为|(a:
,>)
|e、彡a彡e,0彡、彡1i(|劄10-1,故
原式=L(I.、|,./X.、,.、).
(6)m1()-14,将积分|><:
域/)丧示为/),U/)2,其中A),=jU,、)|arcsin>^
^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t=2,y=和;r轴所围成,它的面密度
/x(.t,v)=x2+y2,求该薄片的质量.
解D如图10-15所示.所求薄片的质
M=jJ/Lt(x9y)dcr=^dyj(x2+y2)dx
r[+(2”)3+2,
12
|冬|10-15
8.i|灯|l|四个平而a:
=0,y=0,;t=I,v=I所闲成的柱休被平面z=0及+3y+z6藏得的立休的体积.
解江力一EJ.它?
芪是;c0:
.S二苎泛7:
省。
=X.;,0矣二矣
0^;.€1.了是芒-2x-3:
.F10-]6.g-护不二歹
l=|(6-2j:
-3;.dxdv=dx6-lx-5.
d'.
Sa9.求由平面a:
=0,y=0,^+:
,
=]所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c:
,:
.:
=6-:
£.得的」/.体的体积.
解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOv面上的闭区域D=.0
^1-:
,.
,顶是曲面Z=f)-,故体积
V-(I6-^x2+y2)dx(\y
6(1-x)-x2+——f1
广1广1-戈
dx^(6-x~
这10.求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积.
_2^2
解由=T+'}'消去z,得;c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6-2x2-j2
区域为
D=|(x,y)|x2+〆矣2|(图10-18).所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:
V=(6-2x2-y2)dcr—x2+2y2)dcr
l)I)
=JJ(6-3^r2-3y2)da=jj(6-3p2)pdpd0
/-2tt
d0[(6-3p2)pdp=6tt.
注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时,并不一定要画出立体的准确图形,但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程,这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识
y11.両出积分区域,把积分J[/(A:
,y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区
U
域D是:
(1)\(xyy)\X2+y2^a2I(a>0);
(2)|{xyy)\x2+y2^2^|;
(3)|(x,y)|a2彡x2+y1彡62|,其中0(4)j(xyy)|0^j^1-x,0^x1|.
解
(1)如图10-19,在极坐标系中,0=|(p,0)|0彡p彡a,0彡(9彡2tt1,故
^j\x,y)AxAy-jj/(pcos0,psin6)pdpd0
/-2tTr(1^1/(pcos0,psin0)pAp.
(2)如图10-20,在极坐标系中,
l)=(p,0)
jjy(x,y)dxdy=jj/(pcos0,pain0)pdpdO
i)i)
-y*0
=J,d^j)/(pros0,psin6)p(3)如图10-21,在极坐标系中,/)=\(p,6、彡p彡/),0彡0彡2tt,故
=J/(pcos0,psin0)pdpd0
)\
p=b
(r
P=^\
—bl—aVO
jyhx
10-22
图10-21
解
(1)如图10-23,用直线7=*将积分区域£>分成£>1,102两部分:
{(p,0)
(p,e)
于是
l-X,sec6rYrcsc8
原式=[d0[_/(pcos6,psin6)pdp+Ld^l/(pcos0,psind)pdp.
(2)D如图10-24所示.在极坐标系中,直线x=2,射线和;r=^x(x^0)的方程分别是p=2sec6,6=
^和0=?
因此
|(pyO)
0^p^2sece,f^6^f}.
又f(Vx2+y2)=f(p),于是
f-Y0
原式=d0j)/(p)pdp-
(3)D如图1()-25所示.在极坐标系中,直线;K=1_x的方程为P=
1,圆;k=-/l-x2的方程为p=1,因此
sin0+cos6
(p,e)
原式
sin0+cos6
于是
/(pcos6,psin0)pdp.
(4)
/)如图10-26所示.在极坐标系中,直线*=1的方程是/>=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c:
os2(9,即p=tan伽e(.0;从原点到两者的交点的射线是没=
(5)
rTrser0
于是
原式=[d没/(pcos6,psin6)pdp.
.s/lax
(3)[dxi(x2+/)-了dy
解
(1)积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中,
注在多元函数积分学的计算题中,常会遇到定枳分sin'4如和j/,-os^,)^.|M此i己住如下的结果是有益的:
r数,
(2)m10-28,在极坐标系中,
TT
i13.把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
i
T/-rtsec0
d6j)p-pAp=yj^secJ6d6>
=-—[sec^tan6+ln(sec6+tand)]46o
=~~[+ln(J2+1)].
o
0^^tanOsec0,0^f)J-
(3)积分区域D如图10-29所示.在极坐标系中,抛物线y=X2的方程是psin没p:
cos2没,即p=tan6sec0;射线y=A;(:
t彡0)的方程是0=子,故
"=\(p,0)
寸:
是
x.|anUnt-r0j
原式=7'p,lp
tan没sec.0(\&=\sec*0]4-y/2-\.
(p,e)
j-I
[ln(1+x2+j2)do*=jjln(1+p2)pdpdd=d0fln(1+p2)pdp
n
子[(1+p2)ln(l+P2)|'-j^pdp]
TT
(21n2-1).
于是
TT
TT
iil5.选用适当的坐标计算下列各题:
(1)其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域;dy
(2)|^/|~,其中/>是由圆周;c2+/=】及坐标轴所围成的在第一
象限内的闭区域;
(3)J(x2+)2)如,其中/)是由直线7=:
1,7=1+61,7=61,7=30(^1>0)所围成
D
的闭区域;
(4)|yx2+y2d(r,其中£>是圆环形闭区域丨Uj)丨a2矣/+y2^b2\.
解
(1)Z)如图10-30所示?
根据/)的形状,选用直角坐标较宜.
D=\(xyy)
^da=丄d^:
^jdy=|(-x+x3)dx=
r2
(2)根据积分区域的形状和被积函数的特点,选用极坐标为宜.
I)二
(p,0)
(77-2).
7T
(3)D如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/)的边界曲线的情况,宜采用先对^后对y的积分次序.于是
jj(x2+j2)dcr=Jdy(x2r2)d.\
/-2tt
x2+y2da=||ppdpdO=[dOp2Jp
lay2-a2y-f-—Idy=14o4.
b、-cr).
2ttm—(b'-a
Sal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧(0矣0莓j)与直线0=;所
围成,它的面密度为M(x,y)=x2+y2.求这薄片的质量.
解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/)上的二车:
积分([
]10-32).即
Jj]u(x,;y)da
^x2+j2)da
由于曲顶柱体关于面对称,故
V=2ff(x2+y2)(lid)
^facoa0
2J]p2P^P^O二2丄丄p\\p
注在计算立体体积时,要注意充分利用图形的对称性,这样既能简化运算,也能减少错误
^1*19.作适当的变换,计算下列二重积分:
(1)J(x-y)2sin2(x+y)dx(Iy,其中/J是平行四边形闭区域,它的四个顶点是/)
(7T,0),(2tt,7t),(7T,27T)和(0,TT);
(2),其中是由两条双曲线w=1和X)=2,直线)=.r和y=4a所1)
围成的在第一象限内的闭区域;
(3)(,其中£?
是由.v轴、)■轴和直线.r+.r=l所围成的闭区域;
解
(1)令^=欠-/,1;=无+7,贝|】:
1:
=-~2~'在这变换下,的边界I-
y=-it,xy=it,x-y=tt,x+y=3ir依次与u=一tt,r=tt,u=tt,;=3tt对应.后者构成aOi;平面上与D对应的闭区域/)'的边界.于是
D'=\{U,v)|一71'$“$77,77<"$311:
(图10-35).
V
371
D'
71
一
-71O
n14
(b)
3(.',,V)i\m\i
yLu
1
卜]
IT
\JL
sin2v'
T
.y.
L2
4^-
2dwsin2f;dy
\/uv-在这变换下,D的边界xy=1,y=^,叮=2,
1
■Ju
d(x,y)
2y~uv
2
d(u,v)
fv
■Ju
2Ju
2Jv
fj^2y2dxdy
-h2-
-—dudv=2v
2.
)=4x依次与u=\Jv=\,u=2,v=4对应,后者构成平面上与D对应的闭区域"的边界.于是D1=\(u,v)|1彡a彡2,1彡i;彡4丨(图10-36)又
阁10-36
(3)^u=x+y,v=yx==则在这变换下,/)的