高等数学同济第七版版下册习题全解.docx

1、高等数学同济第七版版下册习题全解 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】高等数学同济第七版版下册习题全解y2D2-1Oi T-2图 10 - 1数，故/, = Jj( x2 + y1) 3d(j = 2jj( x2 + y1) 3dcr.fh i)i又由于d3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故 jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2 + y2 ) 3 da = 2/2.Dy 1)：从而得/, = 4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于轴

2、对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) ,PJjf/(x,y)da = 0；D如果积分区域D关于：k轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/( x,y) = -/(太，y)，则= 0.D3.利用二重积分定义证明：(1 ) jj da = (其中(7为的面积)；IJ(2) JJ/c/( X ,y) drr = Aj|y( a:，y) do(其中 A：为常数)；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，A 为两个I) b lh尤公共内点的

3、WK域.证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得n jjltr = Hm y/( ,rji) A= x,y) |0xl,0j2；it(4)/ = J(x2 + 4y2 +9)do，其中 D = x,y) x2 + y2 4 |.I)解 (1)在积分区域D上，0矣;?上有0矣;t2 +y2苳4,所以有9 + 4r2 +9 4( x2 + y2) + 9矣25.34 I)的酣枳等于4tt，W此36 tt (x2 +4/ + 9) (Ur lOO-ir.二重积分的计算法.1.计算下列二甩积分:& 2. _出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:(1)Jdo，其中/)是由两条抛物

4、线7 = v,y = *2所围成的闭区域；D(2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域；I)( 3 ) JV + dcr，其中 /) = I (%，)| | A； | + | J | 1 !；D(4) |U2 +/ -x)1 = (x,y)-x- yJc + 1,-1 a;0|,I)2 = (x ,y) |*-1 +因此Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/( x，v)是两个函数/ ( O及)的乘n积，即/(X，y) = f(x) ./“y)，积分区域/) = (.V, y) I (1 V /, r ,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘

5、枳，即|*/|U) -/2(r) flatly = J/, (.v) - /：( )v-证 Jj./1 ( x ) .,2 ( / ) dvd V J f J ( v) ./： t lx*在上式右端的第一次单枳分f/, (.V) /2 (.V) d v中,./, ( A.) 1J fu t变招:、无关，nn见为 常数提到积分5外，W此上式“端笏T而在这个积分中，由于f/2 (y) d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到 f2是:(1)由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域；(2)由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围成的闭区域；(3)由直线y =x，；c = 2及双曲线：k =

6、-(*0)所围成的闭区域；X(4)环形闭区域 IU，y) | 1 +y24(.解(1)直线y=x及抛物线y2 =4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是fix/ = j dy/(*，y)tk.f(x,y)dy,(2)将/)用不等式表示fyOyr2 -x2，- r W /，于是可将/化为如下的先 对y、后对*的二次积分：r/ = J (1文J f(x ,y)(y；如将0叫不等式表示为Vr2 -y2xVr2 - y2 ,0各/，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：(2,2).于是dy (i_/(,y) + tlj /( x ,y) dx.| dxjf(x,y)dy.注本题

7、说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y、后对的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y)的特点.具体例子n见教 材下册第144页上的例2.(4)将D按图10 - 8( a)和图10 - 8( 1)的两种不同方式则分为4块，分别得图 10 -8,5.设/U，y）在D上连续，其中/）是由直线;= = 所围成的闭区域，证

8、明dx| f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U, y） d o，因而它们相等.I）6.改换下列二次积分的积分次序：(2) J) dj|： f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J/U，;k）（，其中o =丨h，y） 1 r-0 j I （. / n|改写为 | Uj） | * 矣 y 矣 1，0 I | （罔 10 - 9）,于是原式=丄 ixj/(x,y)dy.(2)所给一.次枳分等于二Ti积分 |/U,y)山，.K:中 /) = I |.y2 - I0)，W此原式=J, ixjy/(x,y)iy.(3)所给二次积分等于二重积分.其中D = : (. | -

9、V 1UX J1 - y2 ,0彡 ?彡 1 ; 又 D 可表示为：(JC，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r2 , - 1 = (图10 -11)，因此f 1 f V1 -X原式=J dxj /(x, v)dy.(4)所给二次积分等于二重积分其中D = : (. 2 -hs/lx - x1 % 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(a:,v) | 2 - 1彡.t彡 1 + Y 1 v2,0 : (图 10 -12)，故原式=丄 d)j f(x %y)dx.(5)所给二次积分等于二重积分|/(.10 )(1,)1:中/)= 1(. | 0 v I)x彡e | 又/)可表示为| ( a:，

10、) | e、彡a彡e，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故原式=L (I.、| ,./X .、，.、) .(6)m 1()-14,将积分| 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t = 2，y = 和;r轴所围成，它的面密度/x(.t,v) = x2 +y2,求该薄片的质量.解 D如图10-15所示.所求薄片的质M = jJ/Lt( x 9y) dcr = dyj ( x2 + y2 ) dxr+(2”)3+2,12| 冬| 10 - 158. i |灯|l|四个平而a： = 0，y = 0，;t = I，v = I所闲成的柱休被平面z = 0及 + 3y + z 6藏得的立休的体积.解 江

11、力一 EJ .它？芪是；c0:. S二苎泛7：省。= X.；, 0矣二矣0；. 1 .了是芒 -2x-3:. F 10 - 6 . g -护不二歹l = |( 6 - 2j： - 3;. dxdv = dx 6 - lx - 5 . d.Sa9.求由平面a: =0,y = 0, +:， = 所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c:，:.： =6 - : . 得的/.体的体积.解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D= . 0 1 -：，.，顶是曲面 Z=f)-，故体积V - (I 6 - x2 + y2 ) dx(y6 ( 1 - x ) - x2 + f 1广1 广1 -戈dx

12、( 6 - x这10.求由曲面+ 2/及z=6-2x2 _y2所围成的立体的体积._ 22解由= T + 消去z,得;c2 +y2 = 2,故所求立体在面上的投影 U = 6 - 2x2 - j2区域为D = | (x,y) | x2 + 矣2| (图 10 - 18). 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：V = ( 6 - 2x2 - y2 ) dcr x2 + 2y2 ) dcrl) I)=JJ(6 - 3r2 - 3y2 ) da = jj( 6 - 3p2 )pdpd0/-2ttd0 (6 - 3p2 )pdp = 6tt.注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要

13、画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识y 11.両出积分区域，把积分J/(A：，y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区U域D是：(1 ) (xyy) X2 + y2 a2 I (a 0)；(2)| xyy) x2 + y2 2| ；(3)| (x,y) | a2彡 x2 + y1 彡62 |，其中0 a 6;(4)j (xyy) | 0 j 1 - x,0 x 1 | .解(1)如图10-19,在极坐标系中，0= |(p，0) | 0彡p彡a，0彡(9彡2tt1，故jx,y)

14、AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0/-2tT rl(11 /(pcos 0，psin 0)pAp.(2)如图10-20,在极坐标系中，l) = (p,0)jjy(x，y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdOi) i)-y* 0=J , dj) /(pros 0,psin 6)p分成1，102两部分：(p,0)(p,e)于是l-X ,sec 6 rY rcsc 8原式=d0_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L dl /(pcos 0,psin d)pdp.(2) D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r =x(x0

15、) 的方程分别是p = 2sec 6,6= 和0 =?因此|(pyO)0p2sece,f6f.又 f(Vx2 + y2 ) =f(p),于是f-Y 0原式=d0j) /(p)pdp-(3 ) D如图1() - 25所示.在极坐标系中，直线；K = 1 _ x的方程为P = 1 ，圆;k = -/l - x2的方程为p = 1 ,因此sin 0 + cos 6(p，e)原式sin 0 + cos 6于是/(pcos 6 ,psin 0)pdp.(4)/)如图10 -26所示.在极坐标系中，直线* = 1的方程是/ = sec心抛物线 y=/的方程是psin 0=p2c:os2(9,即p = ta

16、n伽e(. 0;从原点到两者的交点的射线是没=(5)rT rser 0于是原式=d没 /(p cos 6,p sin 6)pdp.s/lax(3) dx i(x2 + /) -了dy解（1）积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中，注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin4如和j/ ,-os,）. |M此 i己住如下的结果是有益的：r 数，（2） m 10-28,在极坐标系中,TTi 13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：iT /-rtsec 0d6 j) p - pAp = yj secJ6d6=-sec tan 6 + ln( sec 6 + tan d) 4 6 o=

17、 + ln( J2 + 1 ).o0 tan Osec 0,0 f) J-( 3 )积分区域D如图10 -29所示.在极坐标系中，抛物线y =X2的方程是psin没 p:cos2没，即p = tan 6 sec 0;射线y=A；(:t彡0)的方程是0 =子，故=(p,0)寸:是x.|an Unt-r 0 j原式= 7p，lptan 没sec. 0(& = sec* 0 4 - y/2 - . (p,e)j- Iln( 1 + x2 + j2) do* = jj l n ( 1 + p2 ) pdpdd = d0 f ln( 1 + p2) pdpn子(1 +p2)ln(l +P2) | - j

18、pdpTT(21n 2 - 1 ).于是TTTT iil5.选用适当的坐标计算下列各题：(1)其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域； d y(2)|/| ，其中/是由圆周;c2 +/ =】及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；( 3 ) J (x2 +)2)如，其中/)是由直线7 = ：1，7 = 1 + 61，7 = 61，7=30(10)所围成D的闭区域；(4) | yx2 + y2d(r，其中是圆环形闭区域丨Uj)丨a2矣/ +y2b2.解 (1 ) Z)如图1 0 - 30所示?根据/)的形状，选用直角坐标较宜.D = (xyy)da =丄 d: jdy = | (

19、- x + x3 ) dx =r2(2)根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.I)二(p,0)(77-2).7T（3） D如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜 采用先对后对y的积分次序.于是jj( x2 + j2 ) dcr = J dy ( x2 r2 ) d./-2ttx2 + y2 da = |p pdpdO = dO p2Jplay2 - a2y -f- Idy = 14o4.b、- cr ).2tt m ( b - aSal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（0矣0莓j）与直线0 =;所围成，它的面密度为M（x，y） =x2+y2.

20、求这薄片的质量.解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二车:积分（ 10-32）.即 Jju(x，;y)da x2 + j2 ) da由于曲顶柱体关于面对称，故V = 2 ff ( x2 + y2 ) (lid) facoa 02Jp2 PPO二2丄 丄 pp注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也 能减少错误1*19.作适当的变换，计算下列二重积分：（1 ） J（x - y）2sin2（x + y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 /）（7T，0） , （2tt,7t），（7T，27T）和（0，TT）;（ 2 ） ，其中是由两条双曲线

21、w = 1和X） = 2 ,直线）=.r和y = 4a所 1）围成的在第一象限内的闭区域；（3） （，其中?是由.v轴、）轴和直线.r + .r = l所围成的闭区域；解 （1）令=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： = - 2在这变换下，的边界I -y = - it ,x y = it ,x - y = tt ,x + y = 3ir 依次与 u = 一 tt，r = tt，u = tt，； = 3tt 对应.后者 构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）的边界.于是D = U ,v） | 一71$“$77,77$311:（图10-35）.V371D71一-71 On 14(b)3 (.，V) l(u ,v)imiyLu1卜ITJLsin 2vT.y.L 24-2 dw sin2f；dy/uv-在这变换下，D的边界xy = 1，y =，叮=2,1Jud(x,y)2 yuv2d(u,v)fvJu2 Ju2 Jvfj2y2 dxdy-h2-dudv = 2v2.)= 4x依次与u = Jv = ,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D对应的闭区域 的边界.于是D1 = (u,v) | 1彡a彡2，1彡i;彡4丨(图10 -36)又阁 10-36(3) u = x + y ,v = y x = = 则在这变换下，/)的