(1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分;
(2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为_______,十分位为______.
课后反思
第2课时22.1一元二次方程
教学内容
1.一元二次方程根的概念;
2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.
教学目标
了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.
重难点关键
1.重点:
判定一个数是否是方程的根;
2.难点关键:
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
教学过程
一、复习引入
学生活动:
请同学独立完成下列问题.
问题1.前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0
列表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
x2-8x+20
…
问题2.前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x
1
2
3
4
5
6
…
x2+7x
…
列表:
老师点评(略)
二、探索新知
提问:
(1)问题1中一元二次方程的解是多少?
问题2中一元二次方程的解是多少?
(2)如果抛开实际问题,问题2中还有其它解吗?
老师点评:
(1)问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解,问题2中,x=4是x2+7x-44=0的解.
(2)如果抛开实际问题,问题2中还有x=-11的解.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
回过头来看:
x2-8x+20=0有两个根,一个是2,另一个是10,都满足题意;但是,问题2中的x=-11的根不满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析:
要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.
解:
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
练习:
关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:
如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
分析:
要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义.
解:
略
三、巩固练习
教材P33思考题练习1、2.
四、应用拓展
例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪?
设长为xcm,则宽为(x-5)cm
列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题:
(1)x可能小于5吗?
可能等于10吗?
说说你的理由.
(2)完成下表:
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150
(3)你知道铁片的长x是多少吗?
分析:
x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根,但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根.
解:
(1)x不可能小于5.理由:
如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意.
x不可能等于10.理由:
如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能.
(2)
x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……
(3)铁片长x=15cm
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
(1)一元二次方程根的概念;
(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根;
(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.(“夹逼”方法;平方根的意义)
六、布置作业
1.教材P34复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9.
2.选用课时作业设计.
作业设计
一、选择题
1.方程x(x-1)=2的两根为().
A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().
A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=
C.x1=a,x2=
D.x1=a2,x2=b2
3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
二、填空题
1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
3.方程(x+1)2+
x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;x2=________.
三、综合提高题
1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:
-1必是该方程的一个根.
3.在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在(
)2-2x
+1=0,令
=y,则有y2-2y+1=0,根据上述变形数学思想(换元法),解决小明给出的问题:
在(x2-1)2+(x2-1)=0中,求出(x2-1)2+(x2-1)=0的根.
课后反思
第3课时22.2.1直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:
通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:
请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;
(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题1:
根据完全平方公式可得:
(1)164;
(2)42;(3)(
)2
.
问题2:
目前我们都学过哪些方程?
二元怎样转化成一元?
一元二次方程于一元一次方程有什么不同?
二次如何转化成一次?
怎样降次?
以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:
回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3
即2t+1=3,2t+1=-3
方程的两根为t1=1,t2=--2
例1:
解方程:
(1)(2x-1)2=5
(2)x2+6x+9=2(3)x2-2x+4=-1
分析:
很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:
(2)由已知,得:
(x+3)2=2
直接开平方,得:
x+3=±
即x+3=
,x+3=-
所以,方程的两根x1=-3+
,x2=-3-
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:
设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:
设每年人均住房面积增长率为x,
则:
10(1+x)2=14.4
(1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2
即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:
解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:
把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
三、巩固练习
教材P36练习.
补充题:
如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
老师点评:
问题2:
设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得:
x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义,得x=±2
即x1=2
,x2=-2
可以验证,2
和-2
都是方程
x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2
秒后△PBQ的面积等于8cm2.
四、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:
设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
解:
设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31
把(1+x)当成一个数,配方得:
(1+x+
)2=2.56,即(x+
)2=2.56
x+
=±1.6,即x+
=1.6,x+
=-1.6
方程的根为x1=10%,x2=-3.1
因为增长率为正数,
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
五、归纳小结
本节课应掌握:
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±
,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解
六、布置作业
1.教材P45复习巩固1、2.
2.选用作业设计:
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为().
A.3B.-3C.±3D.无实数根
3.用配方法解方程x2-
x+1=0正确的解法是().
A.(x-
)2=
,x=
±
B.(x-
)2=-
,原方程无解
C.(x-
)2=
,x1=
+
,x2=
D.(x-
)2=1,x1=
,x2=-
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足
+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
课后反思
第4课时22.2.2配方法
(1)
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程.
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
重难点关键
1.重点:
讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
2.难点与关键:
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5
(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7
老师点评:
上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±
或mx+n=±
(p≥0).
如:
4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题2:
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:
前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:
x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.用配方法解下列关于x的方程
(1)x2-8x+1=0
(2)x2-2x-
=0
分析:
(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;
(2)同上.
解:
略
三、巩固练习
教材P38讨论改为课堂练习,并说明理由.
教材P39练习12.
(1)、
(2).
四、应用拓展
例3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
分析:
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式.
解:
设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
根据题意,得:
(8-x)(6-x)=
×
×8×6
整理,得:
x2-14x+24=0
(x-7)2=25即x1=12,x2=2
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△A