数学中考压轴题.docx
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数学中考压轴题
2018年数学中考压轴题
1·由于受甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．
（1）求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？
（2）4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元．求5、6月份猪肉价格的月平均增长率
解析
（1）【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤x元，由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x元．根据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答．
解：
设4月初猪肉价格下调后每斤x元，则原价格为每斤x元．（1分）
根据题意得：
－＝2，（3分）
解得：
x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解．（4分）
答：
4月初猪肉价格下调后每斤10元．（5分）
（2）【思路分析】由
（1）题可知，猪肉的原价格是10元，设月平均增长率为y，则第一个月上调后的价格为10（1＋y），第二个月上调后的价格为10（1＋y）2，根据题意可列方程．
解：
设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y，
根据题意得，10（1＋y）2＝14.4，（6分）
解得：
y1＝0.2＝20%，y2＝－2.2（不合题意舍去），
答：
5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.（8分）
2·如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象过A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，当t＝1时，求△ACP的面积；
（3）如图③，过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数解析式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？
解析
（1）【思路分析】将A、B两点的坐标代入抛物线解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可．
解：
∵抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象过A（－1，0），B（4，0）两点，
∴，解得：
，
∴抛物线的解析式为：
y＝－x2＋3x＋4或y＝－（x＋1）（x－4）．（3分）
（2）【思路分析】要求△ACP的面积，可用△ACB的面积减去△APB的面积．本题关键是如何求解△APB的面积．过点P作PQ⊥AB于点Q，则PQ是△APB的高．在△APB中根据PB的长度及∠PBA的度数，利用三角函数求出PQ，该题即可得到解决．
第2题解图①
解：
当t＝1时，CP＝.
∵抛物线y＝－（x＋1）（x－4）的图象与y轴交于点C，
∴C（0，4）．
∴CO＝4.（4分）
∵∠COB＝90°，CO＝OB＝4，
∴∠CBO＝45°，
∴CB＝＝＝4，BP＝CB－CP＝3，（5分）
过点P作PQ⊥AB于点Q，如解图①，
PQ＝PB·sin∠CBA＝3×＝3.（6分）
S△ACP＝S△ACB－S△ABP
＝AB·OC－AB·PQ
＝×5×4－×5×3
＝.（8分）
（3）【思路分析】①求出直线BC的解析式，根据∠CBA的度数以及CP的长度与t的关系式，可得到OE的长度与t的关系式，设出点P、F的坐标，由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值；②由翻转特性可知PC＝P′C，PF＝P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC＝PF，由此得出关于t的一元二次方程，解方程确定t值．
解：
①设直线BC的解析式为y＝kx＋m（k≠0），
∵直线BC过B（4，0），C（0，4）两点，
∴，解得：
.
∴直线BC解析式为y＝－x＋4.（9分）
∵CP＝t，∠CBA＝45°，
∴OE＝t，
∵点P在直线BC上，点F在抛物线上，
∴设P（t，－t＋4），F（t，－t2＋3t＋4），（0≤t≤4）
PF＝－t2＋3t＋4－（－t＋4）＝－t2＋4t，（0≤t≤4）
当t＝－＝2时，PF最大＝4.（10分）
第2题解图②
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，如解图②，
∴PC＝P′C，PF＝P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC＝PF.
∴t＝－t2＋4t，解得：
t1＝0（舍去），t2＝4－.
∴当t＝4－时，四边形PFP′C是菱形．（12分）
3·商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形，各扇形分别标有数字2、3、4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出顾客购买商品的价格不超过30元的概率．
第3题图
解析
解：
（1）列表如下：
第一次结果第二次
2
3
4
2
22
32
42
3
23
33
43
4
24
34
44
（4分）
或画树状图如解图：
第3题解图
（4分）
∴共有9种等可能的结果．
（2）如
（1）的列表法或树状图法所示，在一共9种等可能的事件中，其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30元的有3种情况．
∴顾客购买商品的价格不超过30元的概率为：
P＝＝.（7分）
4·如图，在平面直角坐标系中，O为顶点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC＝6，∠BCD＝60°，点E是AB边上一点，AE＝3EB，⊙P过D、O、C三点，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：
ED是⊙P的切线；
（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y＝ax2＋bx＋c上吗？
请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
第4题图
解析
（1）【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标，然后用待定系数法可得抛物线的解析式．
解：
由题意得D、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（－4，0）、（2，0），分别代入y＝ax2＋bx＋c中得，
，解得，
所以抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.（2分）
（2）【思路分析】延长DE交x轴于点F，构造△BFE∽△ADE，利用相似三角形的性质求得BF的长；在Rt△DOF中，利用锐角三角函数得到∠FDO的度数，进而求出∠CDE＝90°.
解：
延长DE交x轴于点F，如解图①所示，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BFE，
第4题解图①
∴＝，即＝，
∴BF＝2，
∵B（－4，0），∴OB＝4，
∴OF＝6.（3分）
∵D（0，2），
∴OD＝2.
在Rt△DOF中，∵tan∠FDO＝＝＝，
∴∠FDO＝60°.（4分）
∵∠BCD＝60°，∴∠CDO＝30°，
∴∠CDE＝90°，∴CD⊥DE，
∴ED是⊙P的切线．（5分）
（3）【思路分析】根据旋转的性质求得E′点的坐标，代入抛物线的解析式验证即可．
解：
点E′不会落在抛物线y＝－x2－x＋2上．理由如下：
第4题解图②
将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点是E′，A点的对应点是A′，如解图②所示，
则DA′＝DA＝6，
∵AD∥BC，∠EDO＝60°，
∴∠ADE＝30°，A′E′＝AE＝
AD＝3，
∵∠A＝∠BCD＝60°，
∴∠DEA＝90°，（6分）
过点E′作E′G⊥y轴于点G，则∠A′E′G＝30°，
∴A′G＝，∴OG＝6－－2＝－2，
在Rt△A′E′G中，E′G＝＝＝，
∴E′（，－＋2），（7分）
当x＝时，y＝－×（）2－×＋2，
＝－≠－＋2.
所以点E′不会落在抛物线y＝－x2－x＋2上．（8分）
（4）【思路分析】先求得M点的坐标，然后分别以MB、DM、BD为平行四边形的对角线，通过平移的性质确定N点的坐标．
解：
存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
∵y＝－x2－x＋2＝－（x＋1）2＋，
∴M（－1，），且B（－4，0），D（0，2），
如解图③所示：
第4题解图③
①当BM为平行四边形BDNM的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M（－1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（－5，）;（9分）
②当DM为平行四边形BNDM的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；（10分）
③当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（－3，－），（11分）
综上所述，点N的坐标为（－5，）、（3，）、（－3，－）．（12分）
5·如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．
第5题图
解析
（1）【思路分析】连接OE，如解图，由BE平分∠ABD和OE＝OB，可得OE∥BD，由等腰三角形的性质得BD⊥AC，所以OE⊥AC，根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切．
解：
连接OE，如解图，（1分）
第5题解图
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE＝∠DBE，（2分）
∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BD，（3分）
∵AB＝BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；（4分）
（2）【思路分析】设⊙O半径为r，易证△AOE∽△ABD，利用相似三角形对应边成比例，建立关于r的方程，然后解方程求出r.
解：
设⊙O半径为r，则AO＝10－r，（5分）
由
（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴＝，即＝，（6分）
∴r＝，
即⊙O半径为.（8分）
6·如图，直线l：
y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，使得点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD＝6？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
第6题图
解析
（1）【思路分析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式．
解：
∵直线l：
y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.
∴A（－1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，使点A落到点C，
∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：
y＝kx＋b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴，
解得k＝－1，b＝3；
∴直线BD的解析式为：
y＝－x＋3.（1分）
由于点D（3，0），点C（1，0）均在抛物线上，
故可设抛物线的解析式为：
y＝a（x－1）（x－3），
∵点B（0，3）也在抛物线上，
∴3＝a×（－1）×（－3），
解得：
a＝1，
∴抛物线的解析式为：
y＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.（3分）
（2）【思路分析】解题关键首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如解图①所示，符合条件的点N有3个．
解：
抛物线的解析式为：
y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－1）．
第6题解图①
∵直线y＝－x＋3与抛物线的对称轴交于点M，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF＝FD＝MF＝1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如解图①所示：
（Ⅰ）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1（0，0）；（5分）
（Ⅱ）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB＝OD＝ON2＝3，
∴N2（－3，0）；（6分）
（Ⅲ）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB＝OD＝ON3＝3，
∴N3（0，－3）．（7分）
∴满足条件的点N坐标为：
（0，0），（－3，0）或（0，－3）．（8分）
（3）【思路分析】解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD＝6的已知条件，列出方程求解即可．
第6题解图②
解：
假设存在点P，使S△PBD＝6，设点P坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当点P位于直线BD上方时，如解图②所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，连接PD、PB，
则PE＝n，DE＝m－3.
S△PBD＝S梯形PEOB－S△BOD－S△PDE＝（3＋n）·m－×3×3－·（m－3）·n＝6，
化简得：
m＋n＝7①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n＝m2－4m＋3，
代入①式整理得：
m2－3m－4＝0，
解得：
m1＝4，m2＝－1，
∴n1＝3，n2＝8，
∴P1（4，3），P2（－1，8）；（10分）
第6题解图③
（Ⅱ）当点P位于直线BD下方时，如解图③所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，连接PD、PB，则PE＝m，OE＝－n，BE＝3－n.
S△PBD＝S梯形PEOD＋S△BOD－S△PBE＝·（3＋m）·（－n）＋×3×3－·（3－n）·m＝6，
化简得：
m＋n＝－1②，
∵P（m，n）在抛物线上，∴n＝m2－4m＋3，
代入②式整理得：
m2－3m＋4＝0，Δ＝－7＜0，此方程无解．
故此时点P不存在．（11分）
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD＝6，且点P的坐标为（4，3）或（－1，8）．（12分）
第6题解图④
一题多解：
假设存在点P，使S△PBD＝6，
如解图④所示，过点P作直线l′平行BD，l′与BD的距离为d，l′与y轴交点为B′，
∵BD＝＝3，
∴S△PBD＝BD×d＝6，
∴d＝2，
∵BD与y轴夹角为45°，
∴BB′＝4，
∴将BD上移或下移4个单位，
①上移4个单位，l′解析式为：
y＝－x＋7，
联立l′解析式与抛物线解析式得：
x2－3x－4＝0，
∴x1＝4，x2＝－1，
∴此时点P′坐标为（4，3）或（－1，8）；
②下移4个单位，l′解析式为y＝－x－1，
联立l′解析式与抛物线解析式可得：
x2－3x＋4＝0，
∵Δ＜0，∴此方程无解，∴此时点P不存在．
综上所述，点P的坐标为（4，3）或（－1，8）．
7·如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
（1）求证：
BD＝CE，BD⊥CE；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°<α<90°），如图②，
（1）的结论还成立吗？
请说明理由．
第7题图
解析
（1）【思路分析】要证BD＝CE，可先证BD、CE所在的两个三角形即△ABD、△ACE全等，根据题意可用SAS证全等；要证BD⊥CE，可先延长BD，交CE于点F，证∠BFE（或∠BFC）为90°即可；而要证∠BFE＝90°，可先证∠ABD＋∠BEF＝90°，由△ABD≌△ACE可得∠ABD＝∠ACE，而∠ACE＋∠BEF＝90°，问题就得到解决了．
第7题解图①
解：
延长BD交CE于点F，如解图①，（1分）
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，（3分）
在Rt△AEC中，∠ACE＋∠BEF＝90°，
∴∠ABD＋∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝180°－90°＝90°，
∴BD⊥CE.（4分）
（2）【思路分析】结论仍然成立，要证BD＝CE，还是先证△ABD≌△ACE；要证三角形全等，可先证∠BAD＝∠EAC，然后仍用SAS证全等；要证BD⊥CE，可先延长BD交CE于点F，证∠BFC＝90°；而要证∠BFC＝90°只需证出∠CBF＋∠BCF＝90°即可．
第7题解图②
解：
（1）的结论仍成立．延长BD交CE于点F，如解图②，（5分）
∵∠BAD＋∠CAD＝90°，
∠EAC＋∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，（6分）
在△DAB和△EAC中，
，∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，（8分）
∵∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠CBF＋∠BCF＝∠ABC－∠ABD＋∠ACB＋∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝180°－∠CBF－∠BCF＝180°－90°＝90°，
∴EC⊥BD.（9分）
8·如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点且对称轴为x＝1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF⊥x轴，交直线CD于点F，求EF的长；
（3）在第
（2）问的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心，OM为半径的圆与直线CD相切？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第8题图
解析
（1）【思路分析】设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），把点A（－1，0），点C（0，3）分别代入式中，再由对称轴公式x＝－＝1，列出三元一次方程组求解．
解：
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可得：
，解得，（2分）
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.（3分）
（2）【思路分析】要求EF的长，可放到Rt△ENF中，用勾股定理求解，这就需要知道EN、FN的长；而要求EN、FN的长，需知道点E、F的坐标，这就需要先求出直线CD的解析式；设直线CD解析式为y＝kx＋b，将C、D两点代入，用待定系数法求出直线CD的解析式．
解：
∵点D为抛物线的顶点，∴D（1，4），
设CD的解析式为y＝kx＋b，把C（0，3），D（1，4）代入，
得，
解得k＝1，b＝3，
∴直线CD解析式为y＝x＋3，（4分）
∴E（－3，0），
∴OE＝OC＝3，∴∠AEC＝45°，
令抛物线y＝－x2＋2x＋3中y＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴OB＝3，（5分）
∵点N是OB的中点，
∴ON＝，NE＝，（6分）
∵FN⊥x轴，∴∠AEC＝∠EFN＝45°，
∴EN＝FN＝，
∴EF＝EN＝.（7分）
（3）【思路分析】假设存在符合条件的点M，设M（，y），过点M作MQ⊥CD于点Q，根据题意得MQ＝MO，再证出Rt△FQM∽Rt△FNE，根据相似三角形对应边成比例列出关于y的方程求解．
解：
直线NF上存在点M.过点M作MQ⊥CD于点Q，如解图，（8分）
第8题解图
∵⊙M与CD相切，∴MQ＝OM，
设M（，y），
∴MQ2＝OM2＝＋y2，（9分）
∵∠MFQ＝∠NFE，
∠FQM＝∠FNE＝90°，
∴△FQM∽△FNE，
∴＝，∴＝，
即＝，
整理得：
4y2＋36y－63＝0，解得：
y1＝，y2＝－.（11分）
∴点M的坐标为：
M1（，）、M2（，－）．（12分）
9·如图①，边长为4的正方形ABCD的边AD∥y轴，点P（0，－1）是CD的中点，以P为顶点的抛物线经过点B，连接BD.
（1）求抛物线和直线BD的解析式；
（2）如图②，若点M是抛物线上一动点（点M不与点A、B重合），过点M作y轴的平行线FM与直线AB交于点F，与直线BD交于点E，当线段ME＝2EF时，求点M的坐标；
（3）如图③，平移抛物线，使平移后的抛物线顶点N在直线PB上，抛物线与直线PB的另一个交点为Q，点H在y轴正半轴上，当以H、N、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的H点的坐标．
第9题图
解析
（1）【思路分析】由点P（0，－1）是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为y＝ax2－1，抛物线经过点B，故可求出a值，进而得抛物线的解析式；设直线BD解析式为：
y＝kx＋b，用待定系数法即可求出直线解析式．
解：
由正方形ABCD边长为4及点P（0，－1）可得，
B（2，3）、D（－2，－1），
设抛物线的解析式为y＝ax2－1，
把B（2，3）代入得，
3＝4a－1，解得a＝1,
∴抛物线的解析式为y＝x2－1；（2分）
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
把B（2，3）、D（－2，－1）代入得，
，
解得k＝1，b＝1，（3分）
∴直线BD的解析式为y＝x＋1.（4分）
（2）【思路分析】设点M（x，x2－1），进而表示出E，F点坐标，再根据ME＝2EF列方程，便可求出M点坐标．
解：
设点M（x，x2－1），
则E（x，x＋1），F（x，3），
∴ME＝x＋1－（x2－1）＝－x2＋x＋2，EF＝3－（x＋1）＝2－x，（5分）
当ME＝2EF时，可列方程－x2＋x＋2＝2（2－x），（6分）
解得x＝2或x＝1，（7分）
∵点M不与点A、B重合，
∴x＝1，
∴M（1，0）．（8分）
（3）【思路分析】由平移性质可知：
NQ＝PB，设PB与y轴的夹角为α，由正方形可得sinα；以点H、N、Q为顶点的三角形如果是等腰直角三角形，可分三种情况解答，即∠HQN＝90°、∠HNQ＝90°或∠NHQ＝90°三种情况．
解：
由平移性质可知，NQ＝PB＝＝＝2，设PB与y轴的夹角为α，由正方形可得sinα＝＝.
①当∠HQN＝90°时，如解图①，HQ＝NQ＝2，
在Rt△PHQ中，sinα＝＝，解得HP＝10，
∴H（0，9）．（9分）
第9题解图①
第9题解图②
②当∠HNQ＝90°时，如解图②，HN＝NQ＝2，
在Rt△PHN中，sinα＝＝，解得HP＝10，
∴H（0，9）．（10分）
③当∠NHQ＝90°时，如解图③，NQ＝2，过点H作HG⊥PB于点G，由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得，HG＝NQ＝，
在Rt△PHG中，sinα＝＝，解得HP＝5，
∴H（0，4）．（11分）
综上，所有符合条件的H点的坐标为：
（0，9）和（0，4）．（12分）
第9题解图③
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