完美版圆锥曲线知识点总结.docx
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完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点FI、F2的距离的和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有∣MF1|∙∣MF2∣=2a。
一、、、χ2y2y2χ2、
椭圆的标准方程为：
22=1（ab0）（焦点在X轴上）或r2=1（ab0）（焦点在y轴
abab
上）。
注：
①以上方程中a,b的大小ab∙O,其中b2=a2-C2；
2222
②在x2•爲=1和爲x2=1两个方程中都有abO的条件，要分清焦点的位置，只要看X2和y2的分
abab
22
母的大小。
例如椭圆——=1（mO，n∙0,m=n）当m∙n时表示焦点在X轴上的椭圆；当m：
：
：
n时mn
表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
22
1范围：
由标准方程x2=1知IXNa，∣y亞b,说明椭圆位于直线X=「a，y=F所围成的矩形里；
ab
2对称性：
在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点（x,y）在曲线上时，点（X,-y）也在曲线上，
所以曲线关于X轴对称，同理，以-x代替X方程不变，则曲线关于y轴对称。
若同时以-x代替X，-y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心
叫椭圆的中心；
3顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与X轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令
X=0,得y,则BQ,-b），B2（O,b）是椭圆与y轴的两个交点。
同理令y=0得X-二a,即A（-a,0），
A2（a,0）是椭圆与X轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：
椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtAOB2F2中，∣0B2∣=b,OF2I=C,B2F2I=a,
且IOF2|2=|B2F2|2-IOB2|2,即C^a^b2；
C
④离心率：
椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率°∙∙∙ac0,∙∙.0：
；e：
：
：
1,且e越接近1,C就
a
越接近a,从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0,C就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当a=b时，C=O,两焦点重合，图形变为圆，方程为X2∙y2=a2。
2.双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|-|PF2II=2a）。
注意：
①式中是差的绝对值，在0：
：
：
2a：
：
：
〔F1F2I条件下；IPF1I-IPF2I=2a时为双曲线的一支；IPF2ITPF1p2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a=IF1F2I时，IIPF11-IPF21戶2a表示两条射线；③当2aIF1F21时，IIPRI-IPFzII=2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，IF1F2I叫做焦距。
（2）双曲线的性质
22
1范围：
从标准方程x2-笃-1,看出曲线在坐标系中的范围：
双曲线在两条直线X=a的外侧。
即
a2b2
22
X≥a，XKa即双曲线在两条直线x=±a的外侧。
22
2对称性：
双曲线x2-每=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
ab
22是双曲线xy=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
ab
22
3顶点：
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线笃-笃=1的方程里，对称轴是x,y轴，所
ab
22
以令y=0得X=a,因此双曲线和X轴有两个交点A（-a,0）A2（a,0）,他们是双曲线x^岭=1的顶点。
ab
令X=O,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：
双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：
线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：
线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
4渐近线：
注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从
22
图上看，双曲线笃-占-1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
ab
5等轴双曲线：
1）定义：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：
a=b；
2）等轴双曲线的性质：
（1）渐近线方程为：
y=「x；
（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
22AA
3）注意到等轴双曲线的特征a=b，则等轴双曲线可以设为：
X-y=C-0）,当’■0时交点在X轴,当，：
：
：
0时焦点在y轴上。
χ2y2y2χ2
6注意1与1的区别：
三个量a,b,c中a,b不同（互换）C相同，还有焦点所在的坐标
169916
轴也变了。
3.抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。
定点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线。
方程y=2pχP0叫做抛物线的标准方程。
注意：
它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0）,它的准线方程是X=-^-；
22
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：
y2=-2px,X2=2py,χ2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
标准方程
y2=2px
（PR
y
y2=-2PX
（PM）
X2=
（P=y
=2Py
>0）
X2=-2Py
（PA。
）
图形
l
—t
≡θ—*x
Mr
V
l
F/
焦点坐标
（-,o）
2
P
（歩0）
P
（0,*）
2
P
（0二）
准线方程
X」
2
X」
2
T
V
范围
X王。
X≤0
y30
y≤0
对称性
X轴
X轴
y轴
y轴
顶点
（o,o）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
说明：
（1）通径：
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：
有一个顶
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调P的几何意义：
是焦点到准线
的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=O的
实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：
若曲线C的方程是f（x,y）=0,则点PG（Xo,y0）在曲线C上二f（xo,yO）=O;点PG（Xo,y0）不在曲线C上二f（xo,yo）≠0。
两条曲线的交点：
若曲线Ci,C2的方程分别为fι（x,y）=o,f2（x,y）=o,则点Po（xo,yo）是C，G的交点
U{fι（xo,yO）=O方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没
f2（xo,yo）二。
....222
2、方程：
⑴标准方程：
圆心在c（a,b）,半径为r的圆方程是（x-a）+（y-b）=r
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是χ2+y2=r2
⑵一般方程：
①当D2+E2-4F>0时，一元二次方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为_—）半径
22
IIDE22
是DE-4F。
配方，将方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+）2+（y+）2=DE-4F
2224
2当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D,-—）；
22
3当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（xo,yo）,则丨MClVr=点M在圆C内，丨
MCI=r=点M在圆C上，∣MCl>r：
=点M在圆C内，其中∣MC∣=（x0-a）2（y0-b）2。
（4）直线和圆的位置关系：
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：
直线与圆相交有两个公共点；直
线与圆相切二有一个公共点；直线与圆相离二没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：
（i）判别式法；（ii）利用圆心C（a,b）到直线AX+Bv+C=0的距离K—B^C
√λ2+B2
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,O）的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e（e
>0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F（c,O）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。
当0
Vev1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点Fl,F2的距离之和为定值2a（2a>∣F1F2∣）的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.
（01.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<2a<∣F1F2∣）
的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的轨迹•
轨迹条件
点集：
（{MI
=2a,IF
IMF+IMFI1F2IV2a}.
点集：
{MI
=±2a,
MFI-IMFI.
F2F2I>2a}.
点集｛MI
线
IMF1=点M至悄
I的距离｝.
图形
W
IJr■
M
X
7
1
k
—
方程
标准
方程
22
XV
P+—=1（aab>Q）ab
22
XV
2∖=1（a>Q,b>Q）
ab
y2=2px
参数
方程
∖=acos日
[y=bsinθ
（参数日为离心角）
「x=asecθ
Cly=btan日（参数日为离心角）
"一2巴（t为参数）
J=2pt
范围
—a≤x≤a,-b今切
|x|≥a,yER
xXQ
中心
原点0（Q,Q）
原点O（Q,Q）
顶点
（a,Q）,（—a,Q）,
（Q,b）,（Q,—b）
（a,Q）,（—a,Q）
（Q,Q）
对称轴
X轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
X轴，y轴；实轴长2a,虚轴长2b.
X轴
焦占
八'、八\、
Fι（c,Q）,F2（—c,Q）
Fι（c,Q）,F2（—c,Q）
F&0）
准线
2
亠aX=±—
C
准线垂直于长轴，且在椭圆
外•
2
亠aX=±—
C
准线垂直于实轴，且在两顶点的
内侧•
X=-卫
2
准线与焦点位于顶点两侧，
且到顶点的距离相等•
焦距
2c（c=Ja2_b2）
/22
2c（c=Ta+b）
离心率
e=C（Oeecl）
a
e=£（e>1）
a
e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线：
双曲线χ2-y2=a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=*,离心率e=$2.
2
y2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:
a~b2
22
L丄=Q.a2b2
222
⑸共渐近线的双曲线系方程：
务-义r-Q）的渐近线方程为--
2,2'’2aba
2
話=0如果双曲线的渐近线为
汁0时，
⑷共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线
与焦点F的距离MF
到准线的距离为p.
叫做焦半径）.
五、坐标的变换:
（1）坐标变换：
在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施
坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程
（2）坐标轴的平移：
坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平
（3）坐标轴的平移公式：
设平面内任意-
中的坐标是（XIy）.设新坐标系的原点
点M,它在原坐标系XQy中的坐标是（x,y）,在新坐标系
0'在原坐标系XQy中的坐标是（h,k）,则
X"h
或
y=y，k
X'Q'y
X’=X「h
y=y_k
移，简称移轴。
叫做平移（或移轴）公式•
（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表:
方程
焦占
八\、八、、
焦线
对称轴
椭圆
（x-h）2I（y-k）2
a2b2
（±c+h,k）
2
丄a「
X=±—+h
G
x=h
y=k
（x-h）2ι（y-k）2Ib2+a2=1
（h,±c+k）
2
aIy=±—+k
G
x=h
y=k
双曲线
22
（x-h）-（y-k）=1
（±c+h,k）
2
丄aI
X=±—+k
C
x=h
y=k
2.2ab
（y-k）2（x-h）2=1
2.2I
ab
（h,±c+h）
2
aIy=±—+k
C
x=h
y=k
抛物线
2
（y-k）=2p（x-h）
（-+h,k）
2
x=-—+h
2
y=k
2
（y-k）=-2p（x-h）
（--+h,k）
2
X=-P+h
2
y=k
（x-h）2=2p（y-k）
（h,卫+k）
2
y=-—+k
2
x=h
2
（x-h）=-2p（y-k）
（h,-卫+k）
2
y=-p+k
2
x=h
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点•
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
22
5.若Po（xo,yo）在椭圆y∑=1上，则过P）的椭圆的切线方程是^x°X^y°2y=1.
abab
22
6.若Po（xo,y°）在椭圆xy=1外，则过P）作椭圆的两条切线切点为P、则切点弦PR的直线方程是
ab
2I2
ab
22
7.椭圆x^=1（a>b>0）的左右焦点分别为Fi,F2,点P为椭圆上任意一点∙FiPF^,则椭圆的焦点
ab
2Y
角形的面积为S∙FPF2=b2tan—.
22
8.椭圆律計1（a>b>。
）的焦半径公式
IMFIFaeX0,IMF?
Fa-ex0（F1（-c,0）,F2（c,O）M（x°,y°））.
3、若P为椭圆
2
X——+
2a
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点
F的椭圆准线于MN两点，贝UMFLNF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点MAaP和AQ
交于点N,贝UMFLNF.
【推论】：
2
∙y2-1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,.PFιF2=-,PF2F^'■,
b
a-CTLl''
贝UtanCQt—.
aC22
22
Xy
4、设椭圆—+2r=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFF2中，记
ab
F1PF2「，PF1F2八，F1F2P=,则有Snc=e∙
SinP十Sin『a
22_
5、若椭圆令y^=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0Ve≤-2-1时，可在椭圆上
ab
求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF>的比例中项.
X2y2
6、P为椭圆—2-1（a>b>0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝U
2a-1AF2I_|PAl■|PF1匡2a■|AF11,当且仅当A,F21P三点共线时，等号成立
22222
AaBb_（AxoBy。
C）.
则四
IMN|
22
XV
12、设A、B是椭圆—2=1（a>b>O）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB
ab
2a2b2
tan：
tan-一1-e2.（3）SPAB22cot
x2
13、已知椭圆—2
a2b2
J=1（a>b>0）的右准线I与X轴相交于点
E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于
A、
的中点∙
则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
b-a
B两点，点C在右准线I上，且BC_X轴，则直线AC经过线段EF
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.
（注：
在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点•）
17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项•
七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的内角•
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点•
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交•
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•（内切：
P在右支；外切：
P在左支）
P1P2的直线方程是笃χ-I⅛y=1.
ab
22
7、双曲线务…占=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点ZF1PF^，则双曲ab
2Y线的焦点角形的面积为SFPF=b2cot—•
22
XV
&双曲线-2=1（a>0,b>0）的焦半径公式：
（Fd-c,0）,F2（c,0））当M（XO）V。
）在右支上时,
ab
|MF11=eX0a,|MF?
∣=ex°-a；当M（x°,V。
）在左支上时，∣MFj=-eX0a,|MF?
I=-e^-a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，贝UMF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N,贝UMF⊥NF.
22
XV
11、AB是双曲线—2=1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦,
ab
即KAB卑
22
XV
13、若Po（Xo,Vo）在双曲线—2=1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
X
2
a
V2XoX
b2
a2
VoV
b2
aV0
【推论】：
22
XV
1、双曲线—2=I（a>0,b>0）的两个顶点为AI（-a,0）,A2（a1O）,与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P2时
ab
22
AiPi与AP2交点的轨迹方程是Xy-y2≡1.
ab
22
2、过双曲线
XV
—2=1（a>0,b>0）上任一点A（XOly0）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,
ab
U）|OP|2|OQ|2
22
4ab
1i224ab
22；
（2）|OP|+|OQ|的最小值为；（3）SOPQ的最小值是22
abb-ab-a
a2b2
22
6、P为双曲线于古「（a>0,b>O）上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
|AF21-2a<|PAl'|PFi|,当且仅当代F?
P三点共线且P和A,F?
在y轴同侧时，等号成立•
2
7、双曲线*-計1（a>0,b>O）与直线AXBy^O有公共点的充要条件是Ab-B2ZC2.
9、过双曲线
22
Xy一
1（a>0,b>0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交
X轴于P,贝y-LPFl
IMN|
22
11、设P点是双曲线笃-占-1（a>0,b>0）上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记.F1PF?
=",则
ab
⑴∣PF1∣∣PF2∣=^b-.⑵SPFIF^b2cot-.
①ay2byC=X顶点（4ac~b—）.
4a2a
px（p≠0）则焦
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