完美版圆锥曲线知识点总结.docx
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完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点FI、F2的距离的和等于常数2a(大于∣F1F2∣)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆
的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点,则有∣MF1|∙∣MF2∣=2a。
一、、、χ2y2y2χ2、
椭圆的标准方程为:
22=1(ab0)(焦点在X轴上)或r2=1(ab0)(焦点在y轴
abab
上)。
注:
①以上方程中a,b的大小ab∙O,其中b2=a2-C2;
2222
②在x2•爲=1和爲x2=1两个方程中都有abO的条件,要分清焦点的位置,只要看X2和y2的分
abab
22
母的大小。
例如椭圆——=1(mO,n∙0,m=n)当m∙n时表示焦点在X轴上的椭圆;当m:
:
:
n时mn
表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
22
1范围:
由标准方程x2=1知IXNa,∣y亞b,说明椭圆位于直线X=「a,y=F所围成的矩形里;
ab
2对称性:
在曲线方程里,若以-y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(X,-y)也在曲线上,
所以曲线关于X轴对称,同理,以-x代替X方程不变,则曲线关于y轴对称。
若同时以-x代替X,-y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于X轴、y轴和原点对称。
这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心
叫椭圆的中心;
3顶点:
确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与X轴、y轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中,令
X=0,得y,则BQ,-b),B2(O,b)是椭圆与y轴的两个交点。
同理令y=0得X-二a,即A(-a,0),
A2(a,0)是椭圆与X轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:
椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtAOB2F2中,∣0B2∣=b,OF2I=C,B2F2I=a,
且IOF2|2=|B2F2|2-IOB2|2,即C^a^b2;
C
④离心率:
椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率°∙∙∙ac0,∙∙.0:
;e:
:
:
1,且e越接近1,C就
a
越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,C就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。
当且仅当a=b时,C=O,两焦点重合,图形变为圆,方程为X2∙y2=a2。
2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1|-|PF2II=2a)。
注意:
①式中是差的绝对值,在0:
:
:
2a:
:
:
〔F1F2I条件下;IPF1I-IPF2I=2a时为双曲线的一支;IPF2ITPF1p2a时为双曲线的另一支(含F1的一支);②当2a=IF1F2I时,IIPF11-IPF21戶2a表示两条射线;③当2aIF1F21时,IIPRI-IPFzII=2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,IF1F2I叫做焦距。
(2)双曲线的性质
22
1范围:
从标准方程x2-笃-1,看出曲线在坐标系中的范围:
双曲线在两条直线X=a的外侧。
即
a2b2
22
X≥a,XKa即双曲线在两条直线x=±a的外侧。
22
2对称性:
双曲线x2-每=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点
ab
22是双曲线xy=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
ab
22
3顶点:
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线笃-笃=1的方程里,对称轴是x,y轴,所
ab
22
以令y=0得X=a,因此双曲线和X轴有两个交点A(-a,0)A2(a,0),他们是双曲线x^岭=1的顶点。
ab
令X=O,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意:
双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:
线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。
虚轴:
线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
4渐近线:
注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从
22
图上看,双曲线笃-占-1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
ab
5等轴双曲线:
1)定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式:
a=b;
2)等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:
y=「x;
(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。
亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
22AA
3)注意到等轴双曲线的特征a=b,则等轴双曲线可以设为:
X-y=C-0),当’■0时交点在X轴,当,:
:
:
0时焦点在y轴上。
χ2y2y2χ2
6注意1与1的区别:
三个量a,b,c中a,b不同(互换)C相同,还有焦点所在的坐标
169916
轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线I上)。
定点F叫做抛物线的焦点,定直线I叫做抛物线的准线。
方程y=2pχP0叫做抛物线的标准方程。
注意:
它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上,焦点坐标是F(卫,0),它的准线方程是X=-^-;
22
(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:
y2=-2px,X2=2py,χ2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
标准方程
y2=2px
(PR
y
y2=-2PX
(PM)
X2=
(P=y
=2Py
>0)
X2=-2Py
(PA。
)
图形
l
—t
≡θ—*x
Mr
V
l
F/
焦点坐标
(-,o)
2
P
(歩0)
P
(0,*)
2
P
(0二)
准线方程
X」
2
X」
2
T
V
范围
X王。
X≤0
y30
y≤0
对称性
X轴
X轴
y轴
y轴
顶点
(o,o)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
说明:
(1)通径:
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
(2)抛物线的几何性质的特点:
有一个顶
点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调P的几何意义:
是焦点到准线
的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O的
实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点PG(Xo,y0)在曲线C上二f(xo,yO)=O;点PG(Xo,y0)不在曲线C上二f(xo,yo)≠0。
两条曲线的交点:
若曲线Ci,C2的方程分别为fι(x,y)=o,f2(x,y)=o,则点Po(xo,yo)是C,G的交点
U{fι(xo,yO)=O方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没
f2(xo,yo)二。
....222
2、方程:
⑴标准方程:
圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是χ2+y2=r2
⑵一般方程:
①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为_—)半径
22
IIDE22
是DE-4F。
配方,将方程χ2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=DE-4F
2224
2当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-D,-—);
22
3当D2+E2-4FV0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(xo,yo),则丨MClVr=点M在圆C内,丨
MCI=r=点M在圆C上,∣MCl>r:
=点M在圆C内,其中∣MC∣=(x0-a)2(y0-b)2。
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交有两个公共点;直
线与圆相切二有一个公共点;直线与圆相离二没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线AX+Bv+C=0的距离K—B^C
√λ2+B2
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e
>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,O)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。
当0
Vev1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点Fl,F2的距离之和为定值2a(2a>∣F1F2∣)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.
(01.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<∣F1F2∣)
的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)
与定点和直线的距离相等的点的轨迹•
轨迹条件
点集:
({MI
=2a,IF
IMF+IMFI1F2IV2a}.
点集:
{MI
=±2a,
MFI-IMFI.
F2F2I>2a}.
点集{MI
线
IMF1=点M至悄
I的距离}.
图形
W
IJr■
M
X
7
1
k
—
方程
标准
方程
22
XV
P+—=1(aab>Q)ab
22
XV
2∖=1(a>Q,b>Q)
ab
y2=2px
参数
方程
∖=acos日
[y=bsinθ
(参数日为离心角)
「x=asecθ
Cly=btan日(参数日为离心角)
"一2巴(t为参数)
J=2pt
范围
—a≤x≤a,-b今切
|x|≥a,yER
xXQ
中心
原点0(Q,Q)
原点O(Q,Q)
顶点
(a,Q),(—a,Q),
(Q,b),(Q,—b)
(a,Q),(—a,Q)
(Q,Q)
对称轴
X轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
X轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b.
X轴
焦占
八'、八\、
Fι(c,Q),F2(—c,Q)
Fι(c,Q),F2(—c,Q)
F&0)
准线
2
亠aX=±—
C
准线垂直于长轴,且在椭圆
外•
2
亠aX=±—
C
准线垂直于实轴,且在两顶点的
内侧•
X=-卫
2
准线与焦点位于顶点两侧,
且到顶点的距离相等•
焦距
2c(c=Ja2_b2)
/22
2c(c=Ta+b)
离心率
e=C(Oeecl)
a
e=£(e>1)
a
e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:
双曲线χ2-y2=a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=*,离心率e=$2.
2
y2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
a~b2
22
L丄=Q.a2b2
222
⑸共渐近线的双曲线系方程:
务-义r-Q)的渐近线方程为--
2,2'’2aba
2
話=0如果双曲线的渐近线为
汁0时,
⑷共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线
与焦点F的距离MF
到准线的距离为p.
叫做焦半径).
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:
在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施
坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程
(2)坐标轴的平移:
坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平
(3)坐标轴的平移公式:
设平面内任意-
中的坐标是(XIy).设新坐标系的原点
点M,它在原坐标系XQy中的坐标是(x,y),在新坐标系
0'在原坐标系XQy中的坐标是(h,k),则
X"h
或
y=y,k
X'Q'y
X’=X「h
y=y_k
移,简称移轴。
叫做平移(或移轴)公式•
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方程
焦占
八\、八、、
焦线
对称轴
椭圆
(x-h)2I(y-k)2
a2b2
(±c+h,k)
2
丄a「
X=±—+h
G
x=h
y=k
(x-h)2ι(y-k)2Ib2+a2=1
(h,±c+k)
2
aIy=±—+k
G
x=h
y=k
双曲线
22
(x-h)-(y-k)=1
(±c+h,k)
2
丄aI
X=±—+k
C
x=h
y=k
2.2ab
(y-k)2(x-h)2=1
2.2I
ab
(h,±c+h)
2
aIy=±—+k
C
x=h
y=k
抛物线
2
(y-k)=2p(x-h)
(-+h,k)
2
x=-—+h
2
y=k
2
(y-k)=-2p(x-h)
(--+h,k)
2
X=-P+h
2
y=k
(x-h)2=2p(y-k)
(h,卫+k)
2
y=-—+k
2
x=h
2
(x-h)=-2p(y-k)
(h,-卫+k)
2
y=-p+k
2
x=h
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的
两个端点•
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
22
5.若Po(xo,yo)在椭圆y∑=1上,则过P)的椭圆的切线方程是^x°X^y°2y=1.
abab
22
6.若Po(xo,y°)在椭圆xy=1外,则过P)作椭圆的两条切线切点为P、则切点弦PR的直线方程是
ab
2I2
ab
22
7.椭圆x^=1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,F2,点P为椭圆上任意一点∙FiPF^,则椭圆的焦点
ab
2Y
角形的面积为S∙FPF2=b2tan—.
22
8.椭圆律計1(a>b>。
)的焦半径公式
IMFIFaeX0,IMF?
Fa-ex0(F1(-c,0),F2(c,O)M(x°,y°)).
3、若P为椭圆
2
X——+
2a
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点
F的椭圆准线于MN两点,贝UMFLNF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A为椭圆长轴上的顶点,AP和AQ交于点MAaP和AQ
交于点N,贝UMFLNF.
【推论】:
2
∙y2-1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,.PFιF2=-,PF2F^'■,
b
a-CTLl''
贝UtanCQt—.
aC22
22
Xy
4、设椭圆—+2r=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PFF2中,记
ab
F1PF2「,PF1F2八,F1F2P=,则有Snc=e∙
SinP十Sin『a
22_
5、若椭圆令y^=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0Ve≤-2-1时,可在椭圆上
ab
求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF>的比例中项.
X2y2
6、P为椭圆—2-1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,贝U
2a-1AF2I_|PAl■|PF1匡2a■|AF11,当且仅当A,F21P三点共线时,等号成立
22222
AaBb_(AxoBy。
C).
则四
IMN|
22
XV
12、设A、B是椭圆—2=1(a>b>O)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB
ab
2a2b2
tan:
tan-一1-e2.(3)SPAB22cot
x2
13、已知椭圆—2
a2b2
J=1(a>b>0)的右准线I与X轴相交于点
E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于
A、
的中点∙
则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
b-a
B两点,点C在右准线I上,且BC_X轴,则直线AC经过线段EF
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点•)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项•
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分△PFF2在点P处的内角•
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点•
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交•
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•(内切:
P在右支;外切:
P在左支)
P1P2的直线方程是笃χ-I⅛y=1.
ab
22
7、双曲线务…占=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点ZF1PF^,则双曲ab
2Y线的焦点角形的面积为SFPF=b2cot—•
22
XV
&双曲线-2=1(a>0,b>0)的焦半径公式:
(Fd-c,0),F2(c,0))当M(XO)V。
)在右支上时,
ab
|MF11=eX0a,|MF?
∣=ex°-a;当M(x°,V。
)在左支上时,∣MFj=-eX0a,|MF?
I=-e^-a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点,贝UMF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点,AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N,贝UMF⊥NF.
22
XV
11、AB是双曲线—2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,
ab
即KAB卑
22
XV
13、若Po(Xo,Vo)在双曲线—2=1(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
X
2
a
V2XoX
b2
a2
VoV
b2
aV0
【推论】:
22
XV
1、双曲线—2=I(a>0,b>0)的两个顶点为AI(-a,0),A2(a1O),与y轴平行的直线交双曲线于Pi、P2时
ab
22
AiPi与AP2交点的轨迹方程是Xy-y2≡1.
ab
22
2、过双曲线
XV
—2=1(a>0,b>0)上任一点A(XOly0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,
ab
U)|OP|2|OQ|2
22
4ab
1i224ab
22;
(2)|OP|+|OQ|的最小值为;(3)SOPQ的最小值是22
abb-ab-a
a2b2
22
6、P为双曲线于古「(a>0,b>O)上任一点,Fi,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则
|AF21-2a<|PAl'|PFi|,当且仅当代F?
P三点共线且P和A,F?
在y轴同侧时,等号成立•
2
7、双曲线*-計1(a>0,b>O)与直线AXBy^O有公共点的充要条件是Ab-B2ZC2.
9、过双曲线
22
Xy一
1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN勺垂直平分线交
X轴于P,贝y-LPFl
IMN|
22
11、设P点是双曲线笃-占-1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记.F1PF?
=",则
ab
⑴∣PF1∣∣PF2∣=^b-.⑵SPFIF^b2cot-.
①ay2byC=X顶点(4ac~b—).
4a2a
px(p≠0)则焦