漳州二检数学试题及参考答案 1.docx
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漳州二检数学试题及参考答案1
..
漳州市2021届高三毕业班第二次教学质量检测
数学试题
本试卷共5页ꎮ满分150分ꎮ
考生注意:
1答题前ꎬ考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名ꎮ考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致ꎮ
2回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其它答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ
3考试结束ꎬ考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ
一、单项选择题:
本大题共8小题ꎬ每小题5分ꎬ共40分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.
B
A
U
1.设全集U=Rꎬ若集合A={x|0≤x≤2}ꎬB={x|y=x-1}ꎬ
则如图所示的阴影部分表示的集合为
A.(-∞ꎬ0)B.[1ꎬ2]C.[1ꎬ+∞)D.(2ꎬ+∞)
2.若(3+i)(2+xi)=yꎬ其中xꎬy∈Rꎬ则复数x+yi在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图ꎬ有着广大宽阔的直线ꎬ看起来就像机场跑道一样ꎬ描绘的大多是动植物ꎬ位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上ꎬ是存在了2000年的谜局:
究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造ꎬ至今仍无人能解ꎬ因此被列入“十大谜团”.在这些图案中ꎬ最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛
(如图)ꎬ据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见ꎬ只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为30°的摄像头(注:
当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时ꎬ该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄ꎬ使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内ꎬ则该摄像头距地面的高度的最小值是
A.50米B.25(22+6)米
C.50(2+3)米D.50(22+6)米
..
4.函数f(x)=xln|x|+sinx的部分图象大致为
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
ABCD
5.已知实数xꎬy满足x2+3y2=3ꎬ则x+y的最大值为
A.1B.3C.2D.4
B.
D.
C.
6.某校甲、乙、丙三位同学报名参加AꎬBꎬCꎬD四所高校的强基计划考试ꎬ每所高校报名人数不限ꎬ因为四所高校的考试时间相同ꎬ所以甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校ꎬ则恰有两人报考同一所高校的概率为
4
A.1
949
9
3216
7.已知直角梯形ABCD中ꎬAB∥DCꎬ∠ABC=90°ꎬP是边BC上一点(不包括B、C两点).若|A→B|=2ꎬ|B→C|=4ꎬ且|C→D|=|A→B|+|B→P|ꎬ则P→AP→D的最小值为
A.0B.2C.3D.4
8.已知函数f(x)=ex4+1ꎬ则下列结论错误的是
A.函数f(x)的值域为(0ꎬ4)
B.函数f(x)的图象关于点(0ꎬ2)对称
C.函数g(x)=f(x)-|x|有且只有2个零点
D.曲线y=f(x)的切线斜率的最大值为-1
二、多项选择题:
本大题共4小题ꎬ每小题5分ꎬ共20分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得5分ꎬ选对但不全的得2分ꎬ有选错的得0分.
9.设△ABC的内角AꎬBꎬC的对边分别为aꎬbꎬcꎬ若a=22ꎬb=2ꎬ则角B可以是
A.15°B.30°C.45°D.75°
..
10.在第一次全市高三年级统考后ꎬ某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况ꎬ将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)ꎬ将数学成绩按如下方式分成八组:
第一组[65ꎬ75)ꎬ第二组[75ꎬ85)ꎬꎬ第八组[135ꎬ145]ꎬ按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分ꎬ如图所示ꎬ则下列结论正确的是
A.第七组的频率为0008
B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分
C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分
D.该班级数学成绩的方差的估计值大于26
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中ꎬAB=2ꎬAA1=1ꎬM为AB的中点ꎬ点P在线段BC1上ꎬ则下列结论正确的是
A.直线BC1∥平面A1MCB.A和P到平面A1MC的距离相等
C.存在点Pꎬ使得AP⊥平面A1MCD.存在点Pꎬ使得AP⊥A1C
12.已知F为抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点ꎬK为C的准线与x轴的交点ꎬ点P在抛物线C上ꎬ设∠KPF=αꎬ∠PKF=βꎬ∠PFK=θꎬ则下列结论正确的是
A.抛物线C在点(pꎬp)处的切线过点KB.β的最大值为π
23
2
C.tanβ=sinθD.存在点Pꎬ使得α=3β
三、填空题:
本题共4小题ꎬ每小题5分ꎬ共20分.
13.写出一个离心率为2的双曲线方程:
.
14.已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2++a6(x-1)6ꎬ则a4=.
3
15.已知ω>0ꎬφ>0ꎬ函数f(x)=2cos(3x+π)+1的图象向右平移φ个单位得到g(x)
6
的图象ꎬ若函数g(x)与函数h(x)=4sin(ωx-π)的极值点完全相同ꎬ则ω=
ꎬφ的最小值为.(第一空2分ꎬ第二空3分)
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4ꎬ点P在平面A1BCD1内ꎬ且PA=3PBꎬ则点
P的轨迹的长度为.
..
四、解答题:
本题共6小题ꎬ共70分ꎮ解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ꎮ
17.(10分)
已知数列{an}的前n项和为Snꎬ且满足a1=1ꎬSn+1-3Sn=1.
(1)求{an}的通项公式ꎻ
(2)若bn=log3an+1ꎬ求数列{b
18.(12分)
1
nbn+1
}的前n项和Tn.
已知△ABC的内角AꎬBꎬC所对的边分别为aꎬbꎬcꎬ且满足
2sin2A-2sin2B-sin2C-2sinBsinC=cos2C-cos2C.
(1)求角Aꎻ
(2)设点D在边BC上ꎬ且AD=2ꎬ
证明:
若ꎬ则b+c存在最大值或最小值.
请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上ꎬ并证明.
①AD是△ABC的中线ꎻ
②AD是△ABC的角平分线.
19.(12分)
如图ꎬ在四棱锥P-ABCD中ꎬ侧面PAB⊥底面ABCDꎬ底面ABCD是直角梯形ꎬAD∥
BCꎬAB⊥BCꎬ∠PAB=120°ꎬPA=AD=AB=1ꎬBC=2.
(1)证明:
平面PBC⊥平面PABꎻ
5
(2)在线段PB上是否存在点Mꎬ使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为15?
若存
在ꎬ求出线段PM的长度ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.
M
A
D
P
BC
x2
..
20.(12分)
已知左、右焦点分别为F1、F2
的椭圆C:
a2
+y2b2
=1(a>b>0)过点(2ꎬ3)ꎬ以
F1F2为直径的圆过C的下顶点A.
(1)求椭圆C的方程ꎻ
(2)若过点P(0ꎬ1)的直线l与椭圆C相交于MꎬN两点ꎬ且直线AM、AN的斜率分别为k1、k2ꎬ证明:
k1k2为定值.
21.(12分)
某种玩具启动后ꎬ该玩具上的LED灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)ꎬ第1次亮灯时ꎬ亮起红灯的概率为P1ꎬ亮起绿灯的概率为1-P1.若第n次亮起的是红
灯ꎬ则第n+1次亮起红灯的概率为1ꎬ亮起绿灯的概率为2ꎻ若第n次亮起的是绿
33
灯ꎬ则第n+1次亮起红灯的概率为2ꎬ亮起绿灯的概率为1.记第n次亮灯时ꎬ亮起红
33
2021
灯的概率为Pnꎬn∈N∗.该玩具启动前可输入P1ꎬ玩具启动后ꎬ当1010
<P<1且
n2
第n次亮起红灯时ꎬ该玩具会唱一首歌曲ꎬ否则不唱歌.
2
(1)若输入P1=1ꎬ记该玩具启动后ꎬ前3次亮灯中亮起红灯的次数为Xꎬ求X的分布
列和期望ꎻ
3
(2)若输入P1=1ꎬ
(ⅰ)求数列{Pn}的通项公式ꎻ
(ⅱ)该玩具启动后ꎬ在前20次亮灯中ꎬ该玩具最多唱几次歌?
22.(12分)
已知函数f(x)=1x+blnx-aꎬg(x)=aex-1+lnx-aꎬh(x)=f(x)-g(x).
(1)求f(x)的单调区间ꎻ
(2)若b=1ꎬ且f(x)有两个不同的零点x1ꎬx2ꎬ
证明:
h(x)有唯一零点(记为x0)ꎬ且x1+x2>2x0.
..
漳州市2021届高三毕业班第二次教学质量检测
数学参考答案及评分细则
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则ꎮ
2.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分ꎮ
3.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ
4.只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ
一、单项选择题:
本大题共8小题ꎬ每小题5分ꎬ共40分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.
1.D2.B3.B4.A5.C6.D
7.C8.D
二、多项选择题:
本大题共4小题ꎬ每小题5分ꎬ共20分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得5分ꎬ选对但不全的得2分ꎬ有选错的得0分.
9.AB10.BCD11.AB12.ACD
三、填空题:
本大题共4题ꎬ每小题5分ꎬ共20分.
3
13.x2-y2=1(答案不唯一)14.60
3
2
15.3ꎬπ16.34π
四、解答题:
本大题共6小题ꎬ共70分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤.
17.解:
(1)因为Sn+1-3Sn=1ꎬ所以当n=1时ꎬS2-3S1=a1+a2-3a1=1ꎬ
又a1=1ꎬ所以a2=3.
因为Sn+1-3Sn=1ꎬ
1分
所以当n≥2时ꎬSn-3Sn-1=1ꎬ两式相减得:
an+1-3an=0ꎬ
所以an+1=3anꎬn≥2ꎬ3分
又a2=3a1ꎬ所以an+1=3anꎬn∈N∗ꎬ4分
所以数列{an}是以1为首项ꎬ以3为公比的等比数列ꎬ所以an=3n-1.
5分
.
.
(2)由(1)得bn
=log3an+1=log33
n-1
+1=nꎬ
6分
所以b
1
1
nbn+1
=n(n1+
=
1)n
-n+11ꎬ
8分
所以T=(1-1)+(1-1)++(1-
n
n
+1)=1-+1
=n.
223
n1n
1n+1
18.解:
(1)因为2sin2A-2sin2B-sin2C-2sinBsinC=cos2C-cos2Cꎬ
10分
所以2sin2A-2sin2B-sin2C-2sinBsinC=cos2C-(cos2C-sin2C)=sin2Cꎬ
2分所以sin2B+sin2C-sin2A=-sinBsinCꎬ
所以由正弦定理ꎬ得b2+c2-a2=-bcꎬ
所以cosA=b2+c2-a2=-bc=-1ꎬ
3分
4分
2bc2bc2
因为A∈(0ꎬπ)ꎬ所以A=2π.6分
(2)
若选择①ꎬ
则A→D=1(
A→B
3
+A→C)ꎬ
7分
2
4
所以A→D2=1(A→B2+2A→BA→C+A→C2)ꎬ8分因为AD=2ꎬ
所以4=1[c2+2cb(-1)+b2]ꎬ9分
42
所以16=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(b+c)2=(b+c)2ꎬ
24
即(b+c)2≤64ꎬ所以b+c≤8ꎬ
11分
当且仅当b=c=4时ꎬ(b+c)max=8.
所以b+c存在最大值ꎬ所以原命题成立.
12分
若选择②ꎬ则∠BAD=∠DAC=1A=πꎬ
23
因为S△ABD+S△ADC=S△ABCꎬ
7分
所以1ABADsinπ+1ADACsinπ=1ABACsin2πꎬ
8分
232323
因为AD=2ꎬ
所以1c23+12b3=1cb3ꎬ
222222
bc2
所以2c+2b=bcꎬ所以1+1=1ꎬ9分
bcc
所以b+c=2(b+c)(1+1)=2(1+b
+c
b
+1)≥2(2+2
)=8ꎬ
bc
cb
当且仅当b=c=4时ꎬ(b+c)min=8.
11分
ꎬ
..
所以b+c存在最小值所以原命题成立.
12分
19.(1)证明:
因为平面PAB⊥底面ABCDꎬ且平面PAB∩平面ABCD=ABꎬ
BC⊥ABꎬBC⊂平面ABCDꎬ所以BC⊥平面ABPꎬ2分
又BC⊂平面PBCꎬ所以平面PBC⊥平面PAB.4分
(2)解:
在平面PAB内ꎬ过点A作AE⊥AB交PB于点Eꎬ则可知AE⊥平面ABCD.
以A为坐标原点ꎬ分别以A→BꎬA→DꎬA→E方向为xꎬyꎬz轴的正方向ꎬ建立空间直角坐
标系A-xyzꎬ5分
则由∠PAB=120°ꎬPA=AD=AB=1ꎬBC=2ꎬ
可得P(-1ꎬ0ꎬ3)ꎬB(1ꎬ0ꎬ0)ꎬC(1ꎬ2ꎬ0)ꎬD(0ꎬ1ꎬ0)ꎬ
22
P
E
M
A
D
B
则D→P=(-1ꎬ-1ꎬ3)ꎬ
22
D→B=(1ꎬ-1ꎬ0)ꎬ
P→B=(3ꎬ0ꎬ-3)ꎬ
6分
22C
设→n=(xꎬyꎬz)为平面PBD的法向量ꎬ
⎨
则有
→
ꎬ即⎪
2
2
ꎬ
{→nD→P=0⎧⎪-1x-y+3z=0
→nDB=0
取→n=(1ꎬ1ꎬ3)ꎬ
⎪⎩x-y=0
8分
设P→M=λP→B(0≤λ≤1)ꎬ则A→M=A→P+P→M=(3λ-1ꎬ0ꎬ3(1-λ))ꎬ
22
若直线AM与平面PBD所成角的正弦值为15ꎬ
5
→|A→M→n|1
15
则|cos<AMꎬ→n
>|=|A→M||
→n|=
=
3λ2-3λ+15
5ꎬ
10分
解得λ=1
3
或λ=2ꎬ
11分
3
故存在点M满足题意ꎬ此时PM=3或PM=23.
12分
33
20.解:
(1)因为以F1F2为直径的圆过点A(0ꎬ-b)ꎬ所以b=cꎬ1分
所以a=b2+c2=2bꎬ2分
x2
所以C:
+y2=1ꎬ因为C过点(2ꎬ3)ꎬ所以2+3=1ꎬ
2b2b22b2b2
..
解得b=2ꎬa=22ꎬ4分
x
2
所以椭圆C的方程为8
+y2
4
=1.
5分
(2)由题意ꎬ可设直线l的方程为y=kx+1ꎬM(x1ꎬy1)ꎬN(x2ꎬy2)ꎬ
⎧⎪x2
由方程组⎨8
+y2
4
=1ꎬ消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0.
6分
⎪⎩y=kx+1
于是x1+x2=-1
4k
21+22k
+2k
ꎬx1x2=-6ꎬ
8分
因为A(0ꎬ-2)ꎬ所以k1
=y1+2
ꎬ
x1
=y2+2
ꎬk
2x2
9分
于是k1k2
=(y1+2)(y2+2)
x1x2
=(kx1+3)(kx2+3)
x1x2
=k2x1x2+3k(x1+x2)+9
x1x2
=k2+2k2-9(1+2k2)=-3
为定值.
12分
62
21.解:
(1)由题意ꎬ得X的所有取值为0ꎬ1ꎬ2ꎬ3ꎬ
因为X=0表示前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”ꎬ
2
所以P(X=0)=1
×13
×13
=1.
18
因为X=1表示前3次亮灯的颜色为“红绿绿”或“绿红绿”或“绿绿红”ꎬ
2
所以P(X=1)=1
×23
×13
+12
×23
×23
+12
×13
×23
=4.
9
因为X=2表示前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”ꎬ
2
所以P(X=2)=1
×13
×23
+12
×23
×23
+12
×23
×13
=4.
9
因为X=3表示前3次亮灯的颜色为“红红红”ꎬ
2
X
0
1
2
3
p
118
49
49
118
所以P(X=3)=1
所以X的分布列为
×13
×13
=1.
18
4分
18
所以E(X)=0×1
+1×4
+2×4
+3×1
=3.
2
5分
9
9
18
(2)(ⅰ)由题意ꎬ得P+1=P×1+(1-P)×2=-1P+2ꎬ
nn
n
n
6分
3333
n1
n
所以P+-1=-1(P-1)ꎬ7分
232
..
因为P1=1ꎬ所以P1-1
=-1
≠0ꎬ
8分
326
所以{P-1}是首项为-1ꎬ公比为-1
n
的等比数列ꎬ
所以Pn
2
-12
=-1
6
6
()ꎬ所以
×-1n-1P
3n
3
=1
2
+12
×(-1)n.
3
32得23又所以
9分
(ⅱ)由P
=1+1
n22
×(-1)n<1ꎬ1×(-1)n<0ꎬn∈N∗ꎬ
n为正奇数ꎬ
由P=1+1
×(-1)n>1010ꎬ
(-1)n>-1ꎬ
n2232021得32021
当n为奇数时ꎬ1<1ꎬ3n>2021ꎬ所以n≥7ꎬ
n
11分
32021
所以该玩具启动后ꎬ在前20次亮灯中ꎬ当n=7ꎬ9ꎬ11ꎬ13ꎬ15ꎬ17ꎬ19
时ꎬ该玩具可能唱歌ꎬ所以该玩具启动后ꎬ在前20次亮灯中ꎬ该玩具最
多唱7次歌.12分
x2
22.解:
(1)f(x)的定义域为(0ꎬ+∞)ꎬf′(x)=-1
+bx
=-1+bxx2
1分
①若b≤0ꎬ则f′(x)<0ꎬ所以f(x)的递减区间