第四章 物流过程中的运输决策.docx
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第四章物流过程中的运输决策
第四章物流过程中的运输决策
学习目标
通过本章的学习，了解运输问题模型、最短路和最大量的有关概念，掌握节约
法在运输决策中的应用，以及运输路线选择决策和算法。
运输决策在物流决策中具有十分重要的地位，因为运输成本要占到物流中总成本的1/3~2/3左右，对许多商品来说，运输成本要占到商品价格的4%~10%。
由此可见，降低物流成本、提高物流的效率，要求对货物运输进行优化组织，既要运用掌握的资源（人力、物力、财力）合理安排运输任务，消灭对流、迂回、重复等不合理现象，尽量以最少的资源来完成最多的任务。
这就需要对货物运输问题进行系统分析，建立模型，并运用各种数学方法进行求解，以实现货物运输问题的科学管理。
第一节产销运输问题
一、运输问题模型及有关概念
（一）问题的提出
销售商在组织某一产品销售时，需要从多个厂家或产地采购，运输到其它不同的销售部门，而厂家或产地提供的产品数量和运价各不相同，如何组织运输才能使总运输费用最低？
或生产厂家从多个地方采购原材料时，各地原料可供数量和运价不同，如何确定各地原料的调拨量，才能使得总的运输费用最低？
这就是我们所谓的产销运输问题，可分为产销平衡问题和产销不平衡问题。
一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。
此问题是我国科学家（王元,越民义等）在1959年前率先研究讨论的，并获得了表上作业法和图上作业法等重要结果。
（二）运输问题模型及有关概念
1．产销平衡的运输问题
⑴一般运输问题的线性规划模型及求解思路
假设A1,A2,…,Am表示某物资的m个产地；B1,B2,…,Bn表示某物资的n个销地；ai表示产地Ai的产量；bj表示销地Bj的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价，xij为从产地Ai到销地Bj的运量。
如果（a1+a2+…+am=b1+b2+…+bn）则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。
首先讨论产销平衡问题。
那么目标函数为：
（4-1）
s.t.
（i=1，．．．，m）
（j=1，．．．，n）
xij≥0（i=1，．．．，m；j=1，．．．，n）
⑵运用表上作业法来求解
由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，
则无法利用这些有利条件。
人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的表上作业法。
例1某公司下属三个储存某种物资的料库，供应四个工地的需要。
三个料库的供应量和四个工地的需求量以及由各料库到诸工地调运单位物资的运价（元/吨）由表4.1给出：
表4.1某公司物资供应状况表
工地
运价
（元/吨）
料库
B1
B2
B3
B4
供应量（t）
A1
3
11
3
10
700
A2
1
9
2
8
400
A3
7
4
10
5
900
需求量（t）
300
600
500
600
2000
试求运费用最少的合理调运方案
解
（1）列出调运物资平衡和运价表
运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的供需平衡表（简称平衡表）和运价表，形式如表4.2和表4.3。
表4.2供需平衡表表4.3运价表
需
供
B1
B2
B3
B4
供
应
量
（t）
工地
运价（元/吨）
料库
B1
B2
B3
B4
A1
700
A1
3
11
3
10
A2
400
A2
1
9
2
8
A3
900
A3
7
4
10
5
需求量（t）
300
600
500
600
2000
平衡表和运价表是表上作业的基本资料和运算的依据。
表上作业法的实质就是利用运价表在平衡上进行求解。
为了叙述和考虑问题的方便，通常把上面的平衡表看作为矩阵，并把表中的方格记为（i,j）的形式。
如（2，3）表示第二行和第三列的方格；（1，4）代表第一行第四列的方格等。
此外，在求解过程中，如果平衡表的（2，1）方格中写上300，即表示由A2仓库调运300单位物资给B1工地，此时简记为（2，1）=300，而空格表示供销双方不发生调运关系。
（2）编制初始调运方案
物资调运规划其总的目的是寻求一个运费最少的最优调运方案。
一般最优方案是由初始方案经过反复调整得到的。
因此，编制出较好的初始调运方案显得非常重要。
因为最好的调运方案也就是使运费最省的方案，因此结合本例介绍一种考虑运价因素来制订初始调运方案的方法——最小元素法。
所谓最小元素法，就是按运价表依次挑选运费小的供-需点尽量优先安排供应的调运方法。
具体做法是在运价表（表4-3）内找出最小的数值（当此数值不止一个时，可任意选择一个），方格（2，1）数值是1，最小，这样，参考A2尽可能地满足B1工地的需要，于是在平衡表中有（2，1）=300，即在空格（2，1）中填入数字300。
此时，由于工地B1已经全部得到满足，不在需要A1，A3仓库供应给它了，运价表中的第一列数字已不起作用，因此将原运价表4-3的第一列划去，并标注①，（见表4.4）。
然后，在运价表未划去的各行、列中，再选择取一个最小的数值，即（2，3）=2，让A2料库尽量供应满足B3工地的需要。
由于A2库储量400t已供应给B1工地300t了，所以最多只能供给B3工地100t。
于是在平衡表（2，3）空格填入100；相应地由于仓库A2所储物资已全部供应完毕，因之，在运价表中与A2同行的运价也不再作用，所以也将他们划去，并标注②。
仿照上面的方法，一直作下去，就可得到如下的表格4.4和4.5：
表4.4运价表
运价（元/吨）
工地
料库
B1
B2
B4
A1
3
11
3
②
10
A2
1
9
2
⑤
8
A3
7
4
10
5
①
④
③
表4.5供需平衡表
需
供
B1
B2
B3
B4
供
应
量
（t）
A1
400
300
700
A2
300
100
400
A3
600
300
900
需求量（t）
300
600
500
600
2000
此时，在运价表中只要方格（1，4）处的运价没有划掉，而B4尚有300t的需求，为了满足供需平衡，所以最后在平衡表上应有（1，4）=300。
这样就得到了表4.6的初始调运方案。
表中填有数字的方格右上角是其相应的运价（元/吨）。
根据得到的初始调运方案，可以计算其运输费用是：
S=1×300+4×600+3×400+2×100+10×300+5×300=8600（元）
表4.6初始调运方案
需
供
B1
B2
B3
B4
供
应
量
（t）
A1
1
3
2
400
10
300
700
A2
300
4
100
5
400
A3
600
300
900
需求量（t）
300
600
500
600
2000
对于编制初始方案说明以下几点：
（1）应用最小元素法编制初始调运方案，这里的“最小”系指局部而言，就整体考虑的运费不见得一定是最小的。
（2）特别需要指出，并不是任意一个方案都可以作为表上作业法的初始方案。
可以作为初始方案的调运方案，其填有数字的方格数目应是供应点个数加需求点个数之和在再减1，即（m+n-1）。
本例表4-6所填有数字的方格恰好是3+4-1=6，因此，可以作为初始调运方案的提出。
但是，在制定初始方案时，有时会碰到按最小元素所确定的方格中，其相应的供应点再无物资可供或需求点全部得到满足的情况，此时平衡表上填有数字的方格数小于（m+n-1）。
我们规定，在未填数字的方格中必须填上一个零，并将它和其他发生供需关系的格子同样看待，而不能视作为空格。
其目的是保证使填有数字的方格数满足（m+n-1）的需求。
下面用一个例子来说明上述情况的处理。
表4.7和4.8给出了一个物资调运问题，运用最小元素法经过三次运算后，得到下面两表4.9和4.10（表4.9外面的①②③为运算的一个顺序）。
表4.7供需平衡表表4.8运价表
产地
销地
B1
B2
B3
供
应
量
（t）
运价（元/吨）
产
销
B1
B2
B3
A1
10
A1
1
2
2
A2
20
A2
3
1
3
A3
40
A3
2
3
1
需求量（t）
10
20
40
70
表4.9运价表表4.10供需平衡表
产
运价（元/吨）
销
B1
B2
B3
A1
3
11
3
A2
1
9
2
②
A3
7
4
10
①
③
产地
销地
B1
B2
B3
供
应
量
（t）
A1
10
10
A2
20
20
A3
40
40
需求量（t）
10
20
40
70
可以看出，表4-11虽然构成了一个调运方案，但在运价表4-9中，（1，3）及（2，3）方格尚未被划去，所以在平衡表4-10中方格（1，3）及（2，3）处应各填上一个“0”，随后得到表4.11。
表4.11初始调运方
产地
销地
B1
B2
B3
供
应
量
（t）
A1
10
10
A2
20
20
A3
40
40
需求量（t）
10
20
40
70
表4.11填有数字（也包括零）的方格数恰是3+3-1=5，如此才可以构成该调运问题的初始方案。
（3）初始方案的检验与调整
在制订了初始调运方案之后，需要对它进行检验，如果判定初始调运方案不是最优方案，需要对其进行调整直到获得最优调运方案。
但是如何判定调运方案是不是最优的呢？
在此，引进最优方案的数字表征——检验数的概念。
①最优方案的数字表征——检验数
首先我们介绍闭回路的概念。
从理论上得知（不予证明），对于表上作业法的初始方案来说，从调运方案表上的一个空格出发，存在一条且存在一条以该空格（用Xij表示）为起点，以其他填有数字的点为其他顶点闭合回路，简称闭合回路。
这个闭合回路具有下列性质：
①每个顶点都是转角点；
②闭合回路是一条封闭折线，每条都是水平或垂直的；
③每一行（列）若有闭合回路顶点，则必有两个。
只有从空格出发，其余转角点所对应的方格内均有数字时，所构成的闭合回路，到处是我们这里所说的闭合回路；另外，过任一空格的闭合回路不仅是存在的，而且是唯一的。
下面以表4.6给定的初始调运方案为例，说明闭合回路的性质。
表4.12中给出了空格（1，1）和（3，1）所形成的闭合回路：
（1，1）——（1，3）——（2，3）——（1，1）
（3，1）——（2，1）——（2，3）——（1，3）——（1，4）——（3，4）——（3，1）
表4.12初始调运方案
需
供
B1
B2
B3
B4
供
应
量
（t）
A1
400
300
700
A2
300
100
400
A3
600
300
900
需求量（t）
300
600
500
600
2000
其它空格的闭合回路与此同理。
在调运方案内的每个空格所形成的闭合回路上，作单位物资的运量调整，总可以计算出相应的运费是增加还是减少。
我们把所计算出来的每条闭合回路上调整单位运量而使运输费用发生变化的增减值，称其为检验数。
如果检验数小于零，表示在该空格的闭合回路上调整运量使运费减少；相反，如果检验数大于零，则会使运费增加。
有了检验数这一概念，对于求运费最小的物资调运问题来说，如果所以空格的检验数都小于零，那么如果再对调运方案进行任何调整，都会增加运输费用。
因此调运方案是否是最优方案的判定准则就是：
初始调运方案，如果它所以的检验数都是非负的，那么这个初始调运方案一定是最优。
否则，这一调运方案不一定是最优的。
下面介绍一种用于求检验数的方法——位势法
仍以前面的物资调运问题为例。
设Cij（i=1,2,3；j=1,2,3,4）表示变量Ｘij相应的运
价，将初始调运方案中填有数值方格的Ｃij分解成两部分：
Cij=ui+vj
其中u和v分别称为该方格对应于i行和j的位势量。
因为i有m=3行，j有n=4列，故位势的个数有m+n=3+4=7个。
但填有运量数的单元只有m+n-1=6个.这样,有m+n-1=6个cij的方程,要解出m+n=7个未知的位势量,ui和uj可以有很多解。
所以，可以先任意给定一个未知数的位势量，如表4.13所示。
假设取v1=0，则由c21=u2+v1=1，可以得到u2=1；再由c23=23，又得到v3=1；由c13=3，可得u1=2。
依此可以得到v4=8，u3=-3，v2=7等。
由上面所求出的行位势量ui与列位势量vj对应相加填入表4.13的空白处，得到准检验数表4.14。
表4.13位势计算表
需
供
B1
B2
B3
B4
ui
A1
3
10
U1=2
A2
1
2
U2=1
A3
4
5
U3=-3
vj
v1=0
v2=7
v3=1
v4=8
表4.14准检验数表
需
供
B1
B2
B3
B4
ui
A1
[2]
[9]
3
10
U1=2
A2
1
[8]
2
[9]
U2=1
A3
[-3]
4
[-2]
5
U3=-3
vj
v1=0
v2=7
v3=1
v4=8
表中带有[]者为初始调运方案表里的空格。
用该调运问题的相应运价减去表4.14中的数值，那么对初始方案中每个填有运量数值的方格来说，都会满足
cij=（ui+vj）=0
而对于每个空格来说，相应得到的数值就是该空格的检验数，即
△xij=cij－ui+－vj式（4-2）
上式（4-2）就是用位势法求检验数的公式。
按照该公式计算初始的调运方案的检验数，计算结果列表构成该初始调运方案的检验表4.15。
表4.15检验数表
需
供
B1
B2
B3
B4
A1
1
2
A2
1
-1
A3
10
12
在本例中，由于检验数出现负值，依照最优方案判定准则，可知该初始调运方案不一定是最优的，需要进行调整。
2）调运方案的调整
当判定一个初始调运方案不是最优调运方案时，就要在检验数出现负值的该空格内进行调整。
如果检验数是负值的空格不只一个时，一般选择负检验数绝对值大的空格作为具体的调整对象。
具体调整的方法仍用前例加以说明。
由初始调运方案的检验数表4-15发现，空格x24的检验数是负值，因此对其进行调整，具体过程如表4-16所示：
表4.16
X13
400+100=500
X14
300-100=200
X23
100-100=0
X24
0+100=100
从空格开始，沿闭回路在各奇数次转角点中挑选运量的最小值作为调运量。
本例是将方格的100作为调运量，将这个数填入空格内，同时调整该闭回路中其他转角点上的运量，使各行、列保持原来的供需平衡，这样便得到一个新的调运方案，如表4.17所示。
表4.17新调运方案
需
供
B1
3
1
B2
B3
B4
供
应
量
（t）
A1
1
9
3
2
500
10
200
700
A2
300
4
5
100
400
A3
7
600
10
300
900
需求量（t）
300
600
500
600
2000
按新方案计算调运物资的运输费用为：
S=3×500+10×200+8×100+1×300+4×600+5×300=8500（元）
新方案是否是最优方案，还需要再对它进行检验。
经计算，该方案的所有检验数都是非负的，说明这个方案已经是最优方案了。
（4）表上作业法基本步骤小结
综上所述，采用表上作业法求解平衡运输问题的物资调运最优方案，其计算步骤可以归纳如下：
1列出调运物资的供需（产销）平衡表及运价表
2按照最小元素法建立初始
3采用位势法计算初始每个空格的闭回路的检验数xij；
4检查检验数，如所有△xij≥0，说明方案是最优的，已经得到我们想要的方案，结束求解；
5如果有某个或某几个△xij<0，则选择负检验数中绝对值最大的闭回路进行调整，建立新的方案；
6重复3~5步，直至获得最优调运方案。
（5）供需不平衡的物资调运问题
在应用表上作业法制订物资调运方案时，要求有产销（供需）平衡的条件。
可是在实际中常常会碰到这种情况，我们不仅要对产销供需的规划问题进行考虑，同时还必须找出哪些供应点的库存过多，多多少，哪些需求地的供应不足，缺口又是多少。
这样的问题，虽然不能直接应用表上作业法，但经过适当的处理后，还是可以化成供需平衡问题来应用表上作业清，使之获得圆满解决。
下面就一般的物资调运问题发生供销不平衡的情况进讨论。
供应量大于需求量
为了解决这一问题，我们可以引入一个虚设的需求点，令其的需求量等于实际问题中供应量与需求量之差。
实际上，这就相当于在某个供应点的仓库里，将多余的供应量储存起来。
由于虚高的需求并没有参加实际的调配运输，因此可视它的相应运价为零，从面实际上不会对整个物资调运问题最小运输费用值的结果产生影响。
但是，由于引人了一个需求点，其需求量刚好等于多余的供应量，从面使不平衡的调运问题转化为供销平衡的运输问题，所以可以应用前面介绍的表上作业法求出它的物资调运最优方案。
需求量大于供应量
同样，为了使该问题达到产销平衡状态以化为平衡问题，我们可以虚设一个供应点。
令这个虚设的供应点的供应量等于实际问题中需求量与供应的差额。
这样，就相当于在某个需求点内高立一个仓库，假设需求不足部分的物资已经通过另找出路供应，预先储备起来了。
因此，这一部分需求量对该调运问题来说，也不存在运输问题，所以同样可设它的相应运价为零，从面也不会影响到最小运输费用的值。
但这时我们已经可以应用表上作业法来求出它的最优物资调运方案。
由于篇幅有限，我们仅就供过于求的情况举例说明。
例题2某建筑公司有三个储砂仓，供应四个拌合场的混凝土搅拌机所需用砂。
各拌合场估计需砂量和、储砂仓的供应能力以及由第i砂仓运往第j拌合场的单位运价cij（元/吨）见表4.18。
表4.18某建筑公司供沙砖状况表
砂仓
cij
拌合场
B1
B2
B3
B4
ai（t）
A1
0.12
0.10
0.08
0.11
5000
A2
0.09
0.11
0.11
0.13
10000
A3
0.10
0.14
0.13
0.03
12000
bj（t）
5000
4000
7000
8000
该公司要求找出一个运费最小的供砂调动方案.
这是一个供销不平衡的调运问题。
总供应量27000T，大于总需求量24000T，因此，我们虚拟一个需求最为27000-24000=3000T的需求点D。
，同其他需求点Bj一样看待，构成亲的供需平衡表，如表4.19所示。
表4.19虚拟供砂平衡表
砂仓
cij
拌合场
B1
B2
B3
B4
D0
ai（t）
A1
0.12
0.10
0.08
0.11
5000
A2
0.09
0.11
0.11
0.13
10000
A3
0.10
0.14
0.13
0.03
12000
bj（t）
5000
4000
7000
8000
3000
这样就可以运用表上作业法进行求解，经过计算最优调运方案如表4.20所示。
表4.20最优调运方案
砂仓
cij
拌合场
B1
B2
B3
B4
D0
ai（t）
A1
5000
5000
A2
4000
4000
2000
10000
A3
1000
8000
3000
12000
bj（t）
5000
4000
7000
8000
3000
表中需求点D。
所在的列，x35=3000，x15=x25=0，这说明应在三号砂仓设一个容量为3000T的储备库，将供过求的砂子储存起来。
因此最优调运方案应是：
A1砂仓——B2拌合场5000T砂子
A2砂仓——B1拌合场4000T砂子
B2拌合场4000T砂子
B3拌合场2000T砂子
A3砂仓——B1拌合场1000T砂子
B4拌合场8000吨砂子
剩余3000吨砂子储存起来
在此最优调运方案下的最小运费为：
S=0.09×4000+0.10×1000+0.11×4000+0.08×5000
+0.11×2000+0.03×8000=1760（元）
利用这种表上作业法，我们已经可以确定物资的调运方向，即物资调运的发点和收点，但是在具体实施运输方案时，还会遇到运输路线的选择问题。
第二节节约法在运输决策中的应用
节约法最早是由Clarke-Wright所提来的，能够对站点不多的VRP问题进行快速求解，其结果与最优解比较接近，而且节约法的一个重要特点是其能够包含实际应用中许多重要的约束条件，如时间窗口条件、最长驾驶时间条件、司机休息时间条件等，因此一直以来是求解VRP问题的一个有效的方法。
假设中心仓库0用两辆车分别向仓库i和j送货，随后返回，如图4.1所示，这时的路线里程为：
D1=c0i+ci0+c0j+cj0
但如果使用一辆车辆由0-i-j-0进行一次巡回送货，如图所示4.2，其总行使线路里程将变为：
D2=coi+cij+cj0
显然，后一种送货方案比前一种可减少行使里程为：
△Dij=ci0+c0j-cij
这一减少的行使里程△Dij称为节约里程。
图4.2合并后的送货的线路
（b）
在对多个分仓库进行送货时，将其中能取得最大“节约里程”的两个分仓库合并在一条线路上，进行巡回送货，能够获得最大的里程节约。
同时，在不超过按其所能取得“节约里程”的大小纳入这条路线中，则能获得更大的里程节约效果。
这就是节约法的基本原理。
一般VSP问题的节约法求解步骤如下:
（1）计算收货点i,j的节约里程△Dij,令M={△Dij│△Dij
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