北师大版初二数学《一次函数》优秀教案.docx
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北师大版初二数学《一次函数》优秀教案
一次函数
知识点:
函数的概念
定义:
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做
变量,例如x和y,对于x的每一个值,
y都有惟一的值与之对应,我们就说
x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.
..
例1:
求下列函数中自变量
x的取值范围:
(1)y
1
(2)y
x2.
;
x
2
例2:
圆柱底面半径为5cm,则圆柱的体积
V(cm3)与圆柱的高h(cm)之间的函数关系式为
,
它是函数.
知识点:
一次函数的概念
定义:
一次函数:
若两个变量x、y间的关系可以表示成(k、b为常数,k≠0)形式,
则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量).特别地,当b=0时,称y是x的____________.正
比例函数是一次函数的特殊情况.
例1:
有下列函数:
①y=-x-2;②y=-
2
2
x
;③y=-x+(x+1)(x-2);④y=-2,
其中不是一次函数的是
.(填序号)
例2:
要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,则
m、n应满足______________.
例3:
已知y=(k-1)xk2
是正比例函数,则
k=
.
【变式练习】
1、若函数y=(k+1)x+k2-1
是正比例函数,则
k的值为(
)
A.0
B.1
C.±1
D.-1
2、若yx2
3b是正比例函数,则b的值是(
)
A.0
B.
2
C.
2
D.
3
3
3
2
3.下列关于x的函数中,是一次函数的是(
)
A.y=3(x-1)2
B.y=x+1
x
C.y=12-x
D.y=(x+3)2-x2
x
考点:
正比例函数的图象和性质
1/13
例1已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限,则()
A.y随x的增大而减小
B.y随x的增大而增大
C.当x<0时,y随x的增大而增大,当
x>0时,y随x的增大而减小
D.不论x如何变化,y不变
例2已知y
(2m1)xm2
3
是正比例函数,且y随x的增大而减小,则
m的值为_______.
【变式练习】
1、正比例函数
y(3m5)x,当m
时,y随x的增大而增大.
2、函数y=(k
-1)x,y随x增大而减小,则
k的范围是()
A.k0
B.k1
C.k1
D.k1
考点:
一次函数的图象和性质
2/13
总结:
一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b),(-b,0)的一条直线
k
正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线,如下表所示.
例1:
已知函数y=(m-3)x-2
,当m________时,y随x的增大而增大;当
m_________时,y随x
3
的增大而减小.
例2:
已知正比例函数y=(3k-1)x,y随着x的增大而增大,则
k的取值范围是(
)
A.k<0
B.k>0
1
1
C.k<
D.k>
3
3
例3:
如图,表示一次函数y
mxn与正比例函数y
mnx(m,n为常数,且mn
0)图象的
是(
)
3/13
yyyy
【变式练习】
Ox
O
O
x
x
x
O
1、两个一次函数
y1=mx+n,y2=nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是图中的(
)
A
B
C.
D.
1
x2
,当
1
x1时,y的取值范围是(
)
2、已知函数y
2
5
3
3
5
3
5
3
5
A.
y
B.
y
C.
y
D.
y
2
2
2
2
2
2
2
2
3、若关于x的函数y
(n
1)xm1
是一次函数,则
m=
,n
.
4、若m<0,n>0,则一次函数
y=mx+n的图象不经过(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
考点:
直线的平移:
例1:
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
y=2x与y=2x+3
观察y=2x与y=2x+3两条直线,它们有什么样的位置关系?
请回答:
两条直线ykx1
b1与ykx2
b2平行,那么k1____k2,b1____b2
直线的平移:
左“+右”“-”,上“+”下“-”
向左(右)平移p个单位
y
kx
b
y
k(x
p)b
y
kx
b
向上(下)平移
p个单位
kxb
p
y
点的平移同样按照“左‘+右’‘-’,上‘+下’‘-’”.平移几个单位就加上或者减去几.
例2:
直线y=-2x与直线y=-2x-4的位置关系是__________.
函数y=-2x-4图象可以由函数y=-2x的图象向______平移_____个单位得到.
【变式练习】
1、下列说法是否正确,为什么?
(1)直线y=3x+1与y=-3x+1平行;
4/13
(2)直线y
2x
1与y
2x
1重合;
2
2
(3)直线y=-x-3与y=-x平行;
(4)直线y
1x
1
与y
0.5x
1相交.
2
2、将直线y=3x向下平移
5个单位,得到直线
;将直线y=-x-5向上平移
5个
单位,得到直线
.
考点:
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤:
一设,二代,三解,四代入:
(1)设一次函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);
(3)求出k与b的值;
(4)将k、b的值带入y=kx+b,得到函数表达式.
例如:
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.解:
设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
12k
b,
k
4,
4
5
解
3
由题意可知,
5.
∴此函数的关系式为y=x
.
3
kb,
b
3
3
3
例1:
已知正比例函数的图象如下图如示,则正比例函数的解析式为多少
?
例2:
已知弹簧的长度
y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量
x(千克)的一次函数.现已测得不
挂重物时弹簧的长度是
6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是
7.2厘米,求这个一次函数
的关系式
例3:
一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是
24,求b.
例4.若一次函数y=kx+b的图象经过(0,1)和(-1,3)两点,则此函数的解析式为
_____________.
例5、若正比例函数y=kx的图象经过点(
1,2),则此函数的解析式为
_____________.
例6.直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是
_______、_______.
例7、已知一次函数的图象经过
A(-2,-3),B(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【变式练习】
5/13
1.油箱中存油20升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩余油量Q(升)与流
出时间t(分钟)的函数关系是()
A.Q=0.2tB.Q=20-0.2tC.t=0.2QD.t=20—0.2Q
2.若正比例函数的图象经过(-l,5)那么这个函数的表达式为__________,y的值随x的减小而
____________
3.
若一次函数y=kx-3经过点(3,0),则k=
,该图象还经过点(0,
)和(
,-2)
4.
一某市市内出租车行程在
4km以内(含
4km)收起步费8元,行驶超过4km时,每超过
1km,
加收
1.80元,当行程超出4km
时收费y元与所行里程x(km)之间的函数关系
式
.
5.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在
销售了部分西瓜之后,余下的每千克降价0.4元,全部售完.销售金额与卖
瓜的千克数之间的关系如图l-6-3所示,那么小李赚了()
A.32元B.36元C.38元D.44元
4
6.直线y=3x+4与x轴交于A,与y轴交于B,O为原点,则△AOB的面积为()
A.12B.24C.6D.10
7.一次函数的图象如图l-6-42所示,那么这个一次函数的表达式是()
A.y=-2x+2B.y=-2x-2C.y=2x+2D.y=2x-2
考点:
一次函数的应用
例1.如果每盒圆珠笔有12支,售价6元,那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x(支)之间
的关系式是()
1
A.y=2xB.y=2xC.y=6xD.y=12x
例2.幸福村办工厂,今年前五个月生产某种产品的总量C(件)关于时间t(月)的函数图象如图
l-6-43所示,则该工厂对这种产品来说()
A.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量逐月减小
B.l月至3月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量与3月持平
C.l月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产
D.l月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产
例3.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲
地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示.根据图像信息,解答下列问题:
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?
请说明理由;
(2)求返程中y与x之间的函数表达式;
(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.
【变式练习】
1、一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为300米.小军先走了一段路程,爸爸才开始
6/13
出发.图l-6-44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t
(分)的关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误的是()
A.爸爸登山时,小军已走了50米
B.爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面
C.小军比爸爸晚到山顶
D.爸爸前10分钟登山的速度比小军慢,10分钟后登山的速度比小军快
2.某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电,采用
分段计费的方法来计算电费.月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为100度时,应交电费元;
⑵当x≥100时,求y与x之间的函数关系式;
⑶月用电量为260度时,应交电费多少元?
基础练习
1.下列函数是一次函数的是.
①y=2x;②y=3+4x;③y=0.5;④y=ax(a≠0的常数);⑤xy=3;⑥2x+3y-1=0;
2.若函数y=(m-2)x+5是一次函数,则m满足的条件是____________.
3.已知y与x-1成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系:
_________;
(2)y与x之间是_________函数关系
4.已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=_______,图象不经过_______象限.
6.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限,那么有()
A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b<0D.k<0,b>0
2x3
7.已知函数:
①y=-x,②y=7-3x,③y=3x-1,④y=3x,⑤y=3,⑥y=x中,正比例函数有()
A.①⑤B.①④C.①③D.③⑥
8.
(1)当m=时,y=m21x2m1xm是一次函数.
(2)我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水.据统计,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2
滴水,每滴水约0.05毫升.李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李丽同学离开x小
时后水龙头滴了y毫升水.则y与x之间的函数关系式是.
(4)设圆的面积为s,半径为R,那么下列说法正确的是()
A.S是R的一次函数B.S是R的正比例函数
C.S是R2的正比例函数D.以上说法都不正确
9.已知一次函数y=(m+2)x+m-m-4的图象经过点(0,2),则m的值是()
A.2B.-2C.-2或3D.3
7/13
10.直线y=-x+2与x轴的交点坐标是
,与y轴的交点坐标是
.
直线y=-x-1与x轴的交点坐标是
,与y轴的交点坐标是
.
直线y=4x-2与x轴的交点坐标是
,与y轴的交点坐标是
.
直线y=2x
2与x轴的交点坐标是
,与y轴的交点坐标是
.
3
12.
在下列四个函数中,y的值随x值的增大而减小的是(
)
A.y2x
B.y
3x
6
C.y
2x
5
D.y
3x
7
1
x3,y
1
5和y
1
,直线y
1
13、直线y
x
x的位置关系是
x3可以
2
1x向
2
2
2
看作是直线y
平移
个单位得到的.
2
14.
将直线y=-2x+3向下平移5个单位,得到直线
.
15.
直线y=kx-4平行于直线
y=-2x,则直线ykx
4的解析式为
;
16.电话每台月租费28元,市区内电话(三分钟以内)每次
0.20
元,若某台电话每次通话均不超
过3分钟,则每月应缴费y(元)与市内电话通话次数
x之间的函数关系式是(
)
A.y=28x+0.20B.y=0.20x+28xC.y=0.20x+28D.y=28-0.20x
17.某人购进一批苹果到集市上零售,已知卖出的苹果
x(千克)与销售的金额
y元的关系如下表:
x(千克)
1
2
3
4
5
⋯
y(元)
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
⋯
(1)写出y与x的函数关系式:
___________;
(2)该商贩要想使销售的金额达到250元,至少需要卖出多少千克的苹果?
18.如图2-4,某游客为爬上3千米的山顶看日出,先用1小时爬了2千米,休息0.5小时后,再
用1小时爬上山顶,游客爬山所用时间(t小时)与山高h(千米)间的函数关系用图象表示是()
19.一次函数y1x3的图象与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_________.一
2
般的,一次函数y=kx+b与y轴的交点坐标是__________,与x轴的交点坐标是__________.
20.依据给定的条件,求一次函数的解析式.
(1)已知一次函数的图象如图4-5所示,求此一次函数的解析式,并判断点(6,5)是否在此
函数图象上.
8/13
图4-5
(2)已知一次函数y=2x+b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4,求其函数解析式.
21.依据给定的条件,求一次函数解析式:
y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的交点.
22、已知函数ykxb的图象与y轴交点的纵坐标为5,且当x=1时,y=2,则此函数的解析式。
23.已知y-1与x成正比例,且x=2时,y=5,写出y与x之间的函数关系式。
24.如图3-4,居室窗户的高90cm,活动窗拉开的最大距离是80cm.如果活动窗拉开xcm时,窗
户的通风面积是ycm2.
(1)试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围;
(2)画出这个函数的图象.
图3-4
25.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时,实验记录得到的相应数据如下表:
砝码的质量(x克)
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置(y厘米)
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)y关于x的函数图象是()
9/13
图6-5
26.气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,气温下降
6℃.高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为y℃.当0≤x≤11
时,求y与x之间的关系式.
27.我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识,某市制定了每月用水4吨以内(包括4
吨)和用水4吨以上两种收费标准(收费标准:
每吨水的价格),某用户每月应交水费y(元)是用
水量x(吨)的函数,其函数图象如图6-6所示.
(1)观察图象,求出函数在不同范围内的解析式;
(2)说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准;
(3)若某用户该月交水费12.8元,求该户用了多少吨水.
图6-6
提高练习
1.一次函数的图象过点
A(5,3)且平行于直线y=3x-
1,则这个函数的解析式为________.
2
y
2.
一次函数y1
kx
b与y2
xa的图象如图,则下列结论:
y2
xa
①
k0;②a
0;③当x
3
时,y1
y2中,正确的个数是(
)
O3
x
A.0
B.1
C.2
D.3
y1
kxb
3.已知一次函数图象经过点(
2,3),且与y轴交点的纵坐标为
第2题图
____.
4,则这个函数的表达式是
4、一束光线从
y轴上点A(0,1)出发,经过x轴上点C反射后经过点B(3,3),
则光线从A点到B点经过的路线长是
;直线BC的解析式
为
.
a
c
5.
若ab>0,bc<0,则直线y=-bx-b
不通过(
)
A.第一象限
B.第一象限
C.第三象限
D.第四象限
3
1
6.
已知一次函数
y=2x+m和y=-2
x+n的图象都经过点A(-2,0)且与y轴分别交于B、C两
点,那么△ABC的面积是(
)
A.2
B.3
C.4
D.6
7.已