北师大版初二数学《一次函数》优秀教案.docx
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北师大版初二数学《一次函数》优秀教案
一次函数
知识点：
函数的概念
定义：
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做
变量，例如x和y，对于x的每一个值，
y都有惟一的值与之对应，我们就说
x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
．．
例1：
求下列函数中自变量
x的取值范围：
（1）y
1
（2）y
x2．
；
x
2
例2：
圆柱底面半径为5cm，则圆柱的体积
V（cm3）与圆柱的高h（cm）之间的函数关系式为
，
它是函数．
知识点：
一次函数的概念
定义：
一次函数：
若两个变量x、y间的关系可以表示成（k、b为常数，k≠0）形式，
则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量）．特别地，当b＝0时，称y是x的____________．正
比例函数是一次函数的特殊情况．
例1：
有下列函数：
①y＝－x－2；②y＝－
2
2
x
；③y＝－x＋（x+1）（x－2）；④y＝－2，
其中不是一次函数的是
．（填序号）
例2：
要使y＝（m－2）xn－1＋n是关于x的一次函数，则
m、n应满足______________．
例3：
已知y=（k－1）xk2
是正比例函数，则
k=
．
【变式练习】
1、若函数y=（k＋1）x＋k2－1
是正比例函数，则
k的值为（
）
A．0
B．1
C．±1
D．－1
2、若yx2
3b是正比例函数，则b的值是（
）
A.0
B.
2
C.
2
D.
3
3
3
2
3.下列关于x的函数中，是一次函数的是（
）
A.y=3（x-1）2
B.y=x+1
x
C.y=12-x
D.y=（x+3）2-x2
x
考点：
正比例函数的图象和性质
1/13
例1已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象过第二、四象限，则（）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当x<0时，y随x的增大而增大，当
x>0时，y随x的增大而减小
D．不论x如何变化，y不变
例2已知y
（2m1）xm2
3
是正比例函数，且y随x的增大而减小，则
m的值为_______.
【变式练习】
1、正比例函数
y（3m5）x，当m
时，y随x的增大而增大.
2、函数y=（k
－1）x，y随x增大而减小，则
k的范围是（）
A.k0
B.k1
C.k1
D.k1
考点：
一次函数的图象和性质
2/13
总结：
一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b），（－b，0）的一条直线
k
正比例函数y=kx的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示．
例1：
已知函数y=（m－3）x－2
，当m________时，y随x的增大而增大；当
m_________时，y随x
3
的增大而减小．
例2：
已知正比例函数y=（3k－1）x，y随着x的增大而增大，则
k的取值范围是（
）
A．k<0
B．k>0
1
1
C．k<
D．k>
3
3
例3：
如图，表示一次函数y
mxn与正比例函数y
mnx（m，n为常数，且mn
0）图象的
是（
）
3/13
yyyy
【变式练习】
Ｏx
Ｏ
Ｏ
x
x
x
Ｏ
1、两个一次函数
y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（
）
Ａ
Ｂ
C．
D．
1
x2
，当
1
x1时，y的取值范围是（
）
2、已知函数y
2
5
3
3
5
3
5
3
5
A.
y
B.
y
C.
y
D.
y
2
2
2
2
2
2
2
2
3、若关于x的函数y
（n
1）xm1
是一次函数，则
m=
，n
.
4、若m<0，n>0，则一次函数
y=mx+n的图象不经过（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
考点：
直线的平移:
例1：
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
y＝2x与y＝2x＋3
观察y＝2x与y＝2x＋3两条直线，它们有什么样的位置关系?
请回答：
两条直线ykx1
b1与ykx2
b2平行，那么k1____k2，b1____b2
直线的平移:
左“+右”“－”，上“+”下“－”
向左（右）平移p个单位
y
kx
b
y
k（x
p）b
y
kx
b
向上（下）平移
p个单位
kxb
p
y
点的平移同样按照“左‘+右’‘－’，上‘+下’‘－’”．平移几个单位就加上或者减去几．
例2：
直线y＝－2x与直线y＝－2x－4的位置关系是__________．
函数y＝－2x－4图象可以由函数y＝－2x的图象向______平移_____个单位得到．
【变式练习】
1、下列说法是否正确，为什么?
（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；
4/13
（2）直线y
2x
1与y
2x
1重合；
2
2
（3）直线y=－x－3与y=－x平行；
（4）直线y
1x
1
与y
0.5x
1相交.
2
2、将直线y＝3x向下平移
5个单位，得到直线
；将直线y＝－x－5向上平移
5个
单位，得到直线
.
考点：
用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：
一设，二代，三解，四代入：
（1）设一次函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值；
（4）将k、b的值带入y=kx+b，得到函数表达式．
例如：
已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）求此一次函数的关系式．解：
设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），
12k
b,
k
4,
4
5
解
3
由题意可知，
5.
∴此函数的关系式为y=x
．
3
kb,
b
3
3
3
例1：
已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解析式为多少
?
例2：
已知弹簧的长度
y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量
x（千克）的一次函数．现已测得不
挂重物时弹簧的长度是
6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是
7.2厘米，求这个一次函数
的关系式
例3：
一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是
24，求b.
例4.若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为
_____________.
例5、若正比例函数y=kx的图象经过点（
1，2），则此函数的解析式为
_____________.
例6.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是
_______、_______.
例7、已知一次函数的图象经过
A（－2，－3），B（1，3）两点.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）试判断点P（－1，1）是否在这个一次函数的图象上；
（3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【变式练习】
5/13
1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流
出时间t（分钟）的函数关系是（）
A．Q＝0.2tB．Q＝20－0.2tC．t=0.2QD．t=20—0.2Q
2.若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这个函数的表达式为__________，y的值随x的减小而
____________
3.
若一次函数y=kx－3经过点（3，0），则k=
，该图象还经过点（0，
）和（
，－2）
4.
一某市市内出租车行程在
4km以内（含
4km）收起步费8元，行驶超过4km时，每超过
1km，
加收
1．80元，当行程超出4km
时收费y元与所行里程x（km）之间的函数关系
式
．
5.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在
销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖
瓜的千克数之间的关系如图l－6－3所示，那么小李赚了（）
A．32元B．36元C．38元D．44元
4
6.直线y=3x＋4与x轴交于A，与y轴交于B，O为原点，则△AOB的面积为（）
A．12B．24C．6D．10
7.一次函数的图象如图l－6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（）
A．y＝－2x＋2B．y＝－2x－2C．y＝2x＋2D．y＝2x－2
考点：
一次函数的应用
例1.如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x（支）之间
的关系式是（）
1
A．y=2xB．y=2xC．y=6xD．y=12x
例2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图
l－6－43所示，则该工厂对这种产品来说（）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
例3.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲
地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同?
请说明理由；
（2）求返程中y与x之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
【变式练习】
1、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始
6/13
出发．图l－6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S（米）与登山所用的时间t
（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（）
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
2.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用
分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示.
⑴月用电量为100度时，应交电费元；
⑵当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶月用电量为260度时，应交电费多少元?
基础练习
1.下列函数是一次函数的是．
①y=2x；②y=3+4x；③y=0.5；④y=ax（a≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y－1=0；
2.若函数y=（m－2）x+5是一次函数，则m满足的条件是____________．
3．已知y与x－1成正比例，且x=2时，y＝7．
（1）写出y与x之间的函数关系：
_________；
（2）y与x之间是_________函数关系
4．已知一次函数y＝kx＋5的图象经过点（－1，2），则k＝_______，图象不经过_______象限．
6.如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k<0，b＜0D．k＜0，b＞0
2x3
7.已知函数：
①y=－x，②y=7－3x，③y=3x－1，④y=3x，⑤y=3，⑥y=x中，正比例函数有（）
A．①⑤B．①④C．①③D．③⑥
8．
（1）当m=时，y=m21x2m1xm是一次函数．
（2）我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2
滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x小
时后水龙头滴了y毫升水．则y与x之间的函数关系式是．
（4）设圆的面积为s，半径为R，那么下列说法正确的是（）
A．S是R的一次函数B．S是R的正比例函数
C．S是R2的正比例函数D．以上说法都不正确
9．已知一次函数y=（m＋2）x＋m－m－4的图象经过点（0，2），则m的值是（）
A．2B．－2C．－2或3D．3
7/13
10．直线y=－x+2与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标是
．
直线y=－x－1与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标是
．
直线y=4x－2与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标是
．
直线y=2x
2与x轴的交点坐标是
，与y轴的交点坐标是
．
3
12.
在下列四个函数中，y的值随x值的增大而减小的是（
）
Ａ．y2x
Ｂ．y
3x
6
Ｃ．y
2x
5
Ｄ．y
3x
7
1
x3,y
1
5和y
1
，直线y
1
13、直线y
x
x的位置关系是
x3可以
2
1x向
2
2
2
看作是直线y
平移
个单位得到的．
2
14.
将直线y＝－2x＋3向下平移5个单位，得到直线
．
15.
直线y＝kx－4平行于直线
y＝－2x，则直线ykx
4的解析式为
；
16．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次
0.20
元，若某台电话每次通话均不超
过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数
x之间的函数关系式是（
）
A．y＝28x＋0.20B．y＝0.20x＋28xC．y＝0.20x＋28D．y＝28－0.20x
17．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果
x（千克）与销售的金额
y元的关系如下表：
x（千克）
1
2
3
4
5
⋯
y（元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
⋯
（1）写出y与x的函数关系式：
___________；
（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果?
18．如图2－4，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再
用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（t小时）与山高h（千米）间的函数关系用图象表示是（）
19．一次函数y1x3的图象与y轴的交点坐标是_________，与x轴的交点坐标是_________．一
2
般的，一次函数y＝kx＋b与y轴的交点坐标是__________，与x轴的交点坐标是__________．
20．依据给定的条件，求一次函数的解析式．
（1）已知一次函数的图象如图4－5所示，求此一次函数的解析式，并判断点（6，5）是否在此
函数图象上．
8/13
图4－5
（2）已知一次函数y＝2x＋b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解析式．
21．依据给定的条件，求一次函数解析式：
y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点．
22、已知函数ykxb的图象与y轴交点的纵坐标为5，且当x=1时，y=2，则此函数的解析式。
23.已知y－1与x成正比例，且x＝2时，y＝5，写出y与x之间的函数关系式。
24．如图3－4，居室窗户的高90cm，活动窗拉开的最大距离是80cm．如果活动窗拉开xcm时，窗
户的通风面积是ycm2．
（1）试确定这个函数的解析式并指出自变量x的取值范围；
（2）画出这个函数的图象．
图3－4
25．某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量（x克）
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置（y厘米）
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）y关于x的函数图象是（）
9/13
图6－5
26．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降
6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．当0≤x≤11
时，求y与x之间的关系式．
27．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某市制定了每月用水4吨以内（包括4
吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：
每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用
水量x（吨）的函数，其函数图象如图6－6所示．
（1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式；
（2）说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准；
（3）若某用户该月交水费12.8元，求该户用了多少吨水．
图6－6
提高练习
1．一次函数的图象过点
A（5，3）且平行于直线y=3x－
1，则这个函数的解析式为________.
2
y
2.
一次函数y1
kx
b与y2
xa的图象如图，则下列结论：
y2
xa
①
k0；②a
0；③当x
3
时，y1
y2中，正确的个数是（
）
O3
x
A．0
B．1
C．2
D．3
y1
kxb
3．已知一次函数图象经过点（
2，3），且与y轴交点的纵坐标为
第2题图
____．
4，则这个函数的表达式是
4、一束光线从
y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），
则光线从A点到B点经过的路线长是
；直线BC的解析式
为
．
a
c
5.
若ab＞0，bc<0，则直线y=－bx－b
不通过（
）
A.第一象限
B.第一象限
C.第三象限
D.第四象限
3
1
6.
已知一次函数
y=2x+m和y=－2
x+n的图象都经过点A（－2，0）且与y轴分别交于B、C两
点，那么△ABC的面积是（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
7．已
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