第三章 位置与坐标.docx

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第三章位置与坐标

第三章位置与坐标

3.1确定位置

一、知识归纳

1.在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。

①有序数对法：

记为（a,b），a表示行数，b表示列数。

②方位角+距离法：

α表示方位角，l表示观察者与目标的距离。

③经纬定位法：

用地图上经度和纬度的交叉点来确定位置。

④区域定位法：

用“字母+数字”的方法，若字母表示纵向区域，则数字表示横向区域。

2.在空间中，确定一个物体的位置一般需要三个或更多的数据。

如楼房的位置确定一般用几号楼、几单元、几号房，多层电影院的座位需用a层、b厅、c排、d号四个数据来确定。

二、题型解析

题型一：

方位角+距离法

例1：

在如图所示的海域中，有各种目标，根据要求回答下列问题：

（1）对于我边潜艇来说：

在南偏东60°的方向上有哪些目标？

（2）敌舰B在我军潜艇的什么方向上？

且有图上敌舰距我军潜艇3cm，则敌舰距我军潜艇实际距离是多少km？

（3）现有敌舰C从距我军潜艇的图上距离为1cm处沿我军潜艇北偏东30°的方向以60km/h速度逃跑，并可能绕过正前方的暗礁（暗礁距我军潜艇的图上距离为3cm）区域逃脱，要在敌舰到达暗礁区域前将它击沉，我军潜艇应沿什么方向，至少以什么速度出击？

题型二：

有序数对法

例2：

丽丽为自己设想并绘制了未来的大学校园的平面示意图，如图所示，你能根据她画的图回答下列问题吗?

（1）花坛位于校门什么方向上?

到校门的图上距离为多少厘米?

实际距离为多少米?

（2）花坛的北偏东45°方向上有什么建筑物?

（3）如果用（1，5）表示图上校门的位置，那么花坛、图书馆、游泳馆、电影院、教学楼、早冰场、体育馆的位置分别可以表示成什么?

题型三：

区域定位法和经纬定位法

例3：

如图是某市区的部分城区简图，人民商场在D2区，体育馆在B5区，文化宫在E1区，请将A、B、C、D、E及1、2、3、4、5分别填入相应的括号中.

:

例4：

根据下列条件能确定位置的是（）

A.王亮住在阳光小区B.A地距B地25千米

C.城市在东经118°，北纬39°D.小华在八年级三班

3.2平面直角坐标系

一、知识归纳

1.平面直角坐标系的定义：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系（简称直角坐标系）

2.水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴。

x轴和y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

3.坐标的定义：

过点P分别向x轴、y轴做垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做P的横坐标和纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。

4.坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。

5.坐标轴把坐标平面分成了四个象限，符号特征如下，第一象限（+，+），第二象限（—，+），第三象限（—，—），第四象限（+，—）。

坐标轴上的点不在任一象限内。

6.点到数轴的距离：

P（a,b）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是。

7.坐标轴上的点的坐标特征：

已知点P（a,b），若点P在x轴上，则，若点P在y轴上，则，若点P在原点上，则。

8.平行于x轴的直线上的所有点的相同，

平行于y轴的直线上的所有点的相同。

9.若点（m,n）在第一、三象限的角平分线上，则，

若点（m,n）在第二、四象限的角平分线上，则。

10.建立平面直角坐标系的方法：

常以直角顶点为坐标原点，以两条直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系。

11.①x轴上两点之间的距离公式：

若P1（x1，0）、P2（x2，0）,则P1P2=；

②y轴上两点之间的距离公式：

若P1（0，y1）、P2（0，y2）,则P1P2=；

③坐标平面内两点间的距离公式：

若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）,则P1P2=。

二、题型解析

题型一：

判断坐标所在的象限或坐标轴

例1：

指出下列各点所在的象限或坐标轴：

A（-1，-0.5），B（

-

），C（-4,

），E（-π,0），F（0,-

），G（0,0）

练习1：

已知点P（a,b）的坐标满足（a-3）2+

=0,则点P的坐标为，点P在第象限。

练习2：

若点P（a,-b）在第二象限，则点Q（-a,b）在第象限。

练习3：

若点P（6-2x，x-5）在第三象限，则x的取值范围为。

题型二：

求点的坐标

例2：

如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标为。

练习4：

如图，Rt△ABO的直角顶点在原点，OA=6，AB=10，∠AOx=30°，求A、B两点的坐标，并求△ABO的面积。

练习5：

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为（-2，0），点B在x轴的上方，设AB=a，那么点B的坐标为.

练习6：

（1）在平面直角坐标系中，已知点A（1-2a,a-2）是x轴上的点，则点A的坐标是。

（2）若点P在第二象限内，且到x轴、y轴的距离分别为-3和4，则P点的坐标为。

练习7：

已知P（a-2，3-2a）到x轴的距离等于它到y轴距离的两倍，求a的值。

练习8：

已知点A（x-6，4-3x）到两条坐标轴的距离相等，则A点的坐标为

。

练习9：

已知点P的坐标为（2-a,3a+6），且P点到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标为。

练习10：

（1）若点P（x+1，x-1）在y轴上，则P点的坐标为。

（2）点P（x,y）是平面直角坐标系内一点，若xy＞0，则点P的位置在。

（3）若xy=0，则点P的位置在；若x2+y2=0,则点P的位置在。

（4）无论x为任何实数值，点P（x+1,x-1）都不在第象限。

练习10：

点A（1,0），点B（0,1），在坐标轴上找一点P，使△PAB是等腰三角形，求出点P的坐标。

练习11：

已知点M在y轴上，点P（3，-2），若线段MP的长为5，则M的坐标为。

练习12：

已知在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请画出符合要求的图形，并直接写出这个直角三角形未知顶点的坐标。

练习13：

如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2

，∠C=120°，则点B′的坐标为。

练习14：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.

题型三：

建立直角坐标系

例3：

，如图，对于边长为6的等边△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

C

B

A

练习15：

已知菱形ABCD的两条对角线分别是6和2

，AB=BC=CD=DA，且对角线AC⊥BD。

AO=OC，DO=BO，建立适当的平面直角坐标系，并写出四个顶点的坐标.

练习16：

已知正方形的边长为a，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

练习17：

已知A（-2,1），B（4,1），在平面内可以画出几个以A、B为顶点的正方形？

分别写出这几个正方形另外两个顶点的坐标。

题型四：

直角坐标系中图形的面积问题

例4：

如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7）,求四边形ABCD的面积。

若将该四边形各顶点的横坐标都增加2，纵坐标都增加3，其面积为？

练习18：

在平行四边形ABCD中，已知AD∥BC，AD∥x轴，且A的坐标为（0,3），点B的坐标为（-2，-1），AD=5，试写出C、D的坐标，并求出平行四边形ABCD的面积。

练习19：

在平面直角坐标系内有一个△ABC，已知A（0,2）、B（2

，0）、

C（m，1），若S△ABC=4

，求m的值。

练习20：

已知三角形A（-1，-1）、B（5，-1）、C（2,2）为顶点，试判断三角形ABC的形状，并求出它的面积。

3.3轴对称与坐标变化

一、知识点归纳

1.关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数。

2.点P（a,b）关于第一、三象限角平分线的对称点为；

点P（a,b）关于第二、四象限角平分线的对称点为；

3.将原图形各点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形关于对称；

将原图形各点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形关于对称。

4.点若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）,则P1P2的中点坐标为。

二、题型解析

题型一：

直角坐标系中画图形

例1：

在平面直角坐标系中描出下列各点A（1,1）、B（2,3）、C（4,2）.

（1）连结各点得到什么图形？

（2）若△DEF与△ABC关于y轴对称，请写出D、E、F的坐标。

（3）若△A′B′C′与△ABC关于原点对称，请写出A′、B′、C′坐标，并画出图形。

练习2：

按要求完成下列各题：

（1）在平面直角坐标系中描出点（8,0）及当它关于y轴对称的点C，点C的坐标是；描出点B（0,6）及与它关于x轴对称的点D，则点D的坐标为

。

（2）分别写出顺次用线段连结A、B、C、D所得图形的各边的中点的坐标，顺次连结这些中点，所得图形是什么图形？

练习3：

已知平行四边形的三个顶点坐标分别为（0,2）、（0,0）、（3,1），利用平行四边形的对边平行且相等的性质，或对角线互相平分的性质，在平面直角坐标系中画出图形，并写出四个顶点的坐标。

题型二：

关于对称求点的坐标

例2：

已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（4,3），那么点P关于x轴的对称点P2的坐标为。

练习4：

若点P位于y轴右侧，距y轴5个单位长度，位于x轴下方，距x轴6个单位长度，则点P关于y轴对称的点的坐标为。

练习5：

若点P1与点P2关于y轴对称，点P2与点P3关于x轴对称，则点P1与点P3关于对称。

练习6：

已知点P关于x轴的对称点为（a，-2），关于y轴的对称点为（1，b）,则点P的坐标为。

题型三：

求距离之和最短问题

例3：

已知两点A（0,2），B（4,1），点P是x轴上一点，求PA+PB的最小值。

练习7：

已知两点A（2，-2），B（4,1），点P是y轴上一点，求PA+PB的最小值。