精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理.docx

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精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理

专题四立体几何练习理

立体几何

高考定位　高考对本内容的考查主要有：

（1）空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等，A级要求；

（2）线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求.

真题感悟

1.（2015·江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.

解析　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.

答案　

2.（2016·江苏卷）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明　

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.

又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，

A1C1∩A1F＝A1.所以B1D⊥平面A1C1F，

因为直线B1D⊂平面B1DE，

所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

考点整合

1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.

2.空间几何体的两组常用公式

（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S柱侧＝ch（c为底面周长，h为高）；

②S锥侧＝ch′（c为底面周长，h′为斜高）；

③S台侧＝（c＋c′）h′（c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高）；

④S球表＝4πR2（R为球的半径）.

（2）柱体、锥体和球的体积公式：

①V柱体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

②V锥体＝Sh（S为底面面积，h为高）；

③V球＝πR3.

3.直线、平面平行的判定及其性质

（1）线面平行的判定定理：

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

（2）线面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

（3）面面平行的判定定理：

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

（4）面面平行的性质定理：

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

4.直线、平面垂直的判定及其性质

（1）线面垂直的判定定理：

m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

（2）线面垂直的性质定理：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

（3）面面垂直的判定定理：

a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

（4）面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

热点一　空间几何体的有关计算问题

【例1】

（1）（2016·连云港调研）如图，

在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD则几何体EFC1－DBC的体积为________.

（2）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C

上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.

（3）（2016·南京、盐城模拟）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________.

解析　

（1）如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－BDC的体积为

V＝××3×4×6＋××（3＋6）×6×6＝12＋54＝66.

故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.

（2）VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.

另解（特殊点法）：

让E点和A点重合，点F与点C重合，

则VD1－EDF＝×S△ACD×D1D＝××1×1×1＝.

（3）由题意可得正四棱锥的高为2，体积为×

（2）2×2＝8，则正方体的体积为8，所以棱长为2.

答案　

（1）66　

（2）　（3）2

探究提高　

（1）涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线（面），再分析几何体的结构特征，从而进行解题.

（2）求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.

（3）若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.

【训练1】

（1）（2014·江苏卷）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________.

（2）（2012·江苏卷）

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.

（3）（2016·苏州调研）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.

解析　

（1）设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝＝.

（2）关键是求出四棱锥ABB1D1D的高，

连接AC交BD于O，在长方体中，

∵AB＝AD＝3，∴BD＝3且AC⊥BD.

又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.

又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，

∴AO为四棱锥ABB1D1D的高且AO＝BD＝.

∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6，

∴VABB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6（cm3）.

（3）由题意可得三个扇形的弧长分别为，，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5.

答案　

（1）　

（2）6　（3）5

热点二　空间中的平行和垂直的判断与证明问题

[微题型1]　空间线面位置关系的判断

【例2－1】

（1）已知平面α、β，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；

②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

其中是真命题的是________（填写所有真命题的序号）.

（2）（2016·全国Ⅱ卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________.（填写所有正确命题的编号）

解析　

（1）若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β可能平行或相交，①是假命题；若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，②是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题，故真命题序号是③④.

（2）当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案　

（1）③④　

（2）②③④

探究提高　长方体（或正方体）是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体（或正方体），把点、线、面的位置关系转移到长方体（或正方体）中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.

[微题型2]　平行、垂直关系的证明

【例2－2】（2015·江苏卷）如图，

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

【例2－3】（2016·昆明统考）如图，

在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且AA1＝AB＝BC＝1，CD＝2.

（1）求证：

AB1⊥平面A1BC；

（2）在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC?

若存在，求出三棱锥N－AA1C的体积；若不存在，请说明理由.

（1）证明　因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直底面，

所以A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥AA1，

因为BC⊥AB，AB∩AA1＝A，AB⊂平面AA1B1B，

AA1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B.

又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC，

因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B为正方形，

所以AB1⊥A1B，

因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，

所以AB1⊥平面A1BC.

（2）解　法一　

在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.

证明如下：

连接BN、D1N，因为AB∥CD，AB＝1，CD＝2，

所以AB∥DN且AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，

所以BN∥AD且BN＝AD.

在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥AD且A1D1＝AD，

所以A1D1∥BN且A1D1＝BN，

所以四边形A1BND1为平行四边形，所以D1N∥A1B.

又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

所以D1N∥平面A1BC.

连接A1N、AN、AC，所以S△ACN＝S△BCN＝×1×1＝，

又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，

所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，

即三棱锥N－AA1C的体积为.

法二　在线段CD上存在点N，且当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC，

证明如下：

取C1D1的中点M，连接AN、A1M、D1N、MC，

因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，所以A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，

所以A1B1∥MC1且A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，

所以A1M∥B1C1且A1M＝B1C1.

又BC∥B1C1且BC＝B1C1，所以A1M∥BC且A1M＝BC，

所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1B∥CM，

又D1M＝NC＝1且D1M∥NC，

所以四边形D1MCN为平行四边形，

所以CM∥D1N，所以D1N∥A1B.

又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

所以D1N∥平面A1BC.

连接A1N、AC，所以S△ACN＝×1×1＝，

又A1A⊥平面ABCD，且A1A＝1，

所以VN－AA1C＝VA1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，

即三棱锥N－AA1C的体积为.

探究提高　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.

【训练2】（2016·苏北四市模拟）如图，

在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.

求证：

（1）CE∥平面PAD；

（2）平面EFG⊥平面EMN.

证明　

（1）法一　如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.

又因为E为PB的中点，

所以EH∥AB，且EH＝AB.

图1

又AB∥CD，CD＝AB，

所以EH∥CD，且EH＝CD.

所以四边形DCEH是平行四边形.

所以CE∥DH.

又DH⊂平面PAD，

CE⊄平面PAD，

因此，CE∥平面PAD.

图2

法二　如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.

又CD＝AB，

所以AF＝CD，又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.

又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，

故平面CEF∥平面PAD.

又CE⊂平面CEF，

所以CE∥平面PAD.

（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥DC，又AB∥DC，

所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

1.求解几何体的表面积或体积

（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算.

（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.

（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.

（4）求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.

2.锥体体积公式为V＝Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉.

3.空间中点、线、面的位置关系的判定

（1）可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.

（2）可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.

4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（1）证明线线平行常用的方法：

一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：

三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

（2）证明线线垂直常用的方法：

①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：

即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

一、填空题

1.（2016·浙江卷改编）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：

①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.

则上述结论正确的是________（填序号）.

解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，③正确.

答案　③

2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________.

解析　利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.

答案　6π

3.（2016·徐州、宿迁、连云港模拟）已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.

解析　设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，则高h＝＝8，则此圆锥的体积为πr2h＝π×36×8＝96π.

答案　96π

4.

如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________.

解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2.

∵ABCD是正方形，E是AC的中点，

∴△CED是等腰直角三角形.

AB＝1，故CE＝ED＝，

S△CED＝CE·ED＝··＝.

故VCPED＝VPCED＝·S△CED·PA＝··2＝.

答案　

5.

如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.

解析　∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，

又∵E是AD的中点，

∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，

∴EF＝AC＝×2＝.

答案　

6.（2016·镇江高三期末）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：

①若b⊂α，c∥α，则b∥c；

②若b⊂α，b∥c，则c∥α；

③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；

④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.

其中正确的命题是________（写出所有正确命题的序号）.

解析　①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c⊂α，则②错误；

③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④.

答案　④

7.（2016·苏、锡、常、镇调研）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________.

解析　棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝πr3，侧面积S2＝πr2，则＝＝，则a＝r，所以＝＝.

答案　

8.（2016·无锡高三期末）如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.

解析　由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝S△AOB·VO＝.

△VAB是边长为的等边三角形，其面积为×（）2＝，设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥O－VAB＝

S△VAB·h＝×h＝V三棱锥V－AOB＝，

解得h＝，

即点O到平面VAB的距离是.

答案　

二、解答题

9.（2014·江苏卷）

如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

证明　

（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.

又因为PA⊄平面DEF，

DE⊂平面DEF，

所以直线PA∥平面DEF.

（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.

又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.

又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，

所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，

所以平面BDE⊥平面ABC.

10.

如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点.

（1）求证：

EF∥平面ABC；

（2）求证：

平面AEF⊥平面AA1B1B；

（3）若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积.

（1）证明　如图

连接A1C.

∵直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形.

∴点F在A1C上，且为A1C的中点.

在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC.

又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

（2）证明　∵直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.

又∵EF∥BC，AB⊥BC，

∴AB⊥EF，B1B⊥EF.

∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.

∵EF⊂平面AEF，

∴平面AEF⊥平面ABB1A1.

（3）解　VFABC＝VA1ABC＝××S△ABC×AA1

＝××a2×2a＝.

11.

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形.

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，

且四边形ABED为平行四边形.

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，

且CD⊂平面PCD，

又E，F分别是CD和CP的中点，

所以EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD.