精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理.docx
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精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何练习理
专题四立体几何练习理
立体几何
高考定位 高考对本内容的考查主要有:
(1)空间概念,空间想象能力,点线面位置关系判断,表面积与体积计算等,A级要求;
(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明,B级要求.
真题感悟
1.(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________.
解析 设新的底面半径为r,由题意得πr2·4+πr2·8=π×52×4+π×22×8,解得r=.
答案
2.(2016·江苏卷)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,
A1C1∩A1F=A1.所以B1D⊥平面A1C1F,
因为直线B1D⊂平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:
①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);
②S锥侧=ch′(c为底面周长,h′为斜高);
③S台侧=(c+c′)h′(c′,c分别为上下底面的周长,h′为斜高);
④S球表=4πR2(R为球的半径).
(2)柱体、锥体和球的体积公式:
①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);
②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);
③V球=πR3.
3.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:
a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理:
a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理:
a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理:
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
4.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:
m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:
a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:
a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
热点一 空间几何体的有关计算问题
【例1】
(1)(2016·连云港调研)如图,
在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在C1D1与C1B1上,且C1E=4,C1F=3,连接EF,FB,DE,BD则几何体EFC1-DBC的体积为________.
(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C
上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.
(3)(2016·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2,侧棱长为的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为________.
解析
(1)如图,连接DF,DC1,那么几何体EFC1-DBC被分割成三棱锥D-EFC1及四棱锥D-CBFC1,那么几何体EFC1-BDC的体积为
V=××3×4×6+××(3+6)×6×6=12+54=66.
故所求几何体EFC1-DBC的体积为66.
(2)VD1-EDF=VF-DD1E=S△D1DE·AB=××1×1×1=.
另解(特殊点法):
让E点和A点重合,点F与点C重合,
则VD1-EDF=×S△ACD×D1D=××1×1×1=.
(3)由题意可得正四棱锥的高为2,体积为×
(2)2×2=8,则正方体的体积为8,所以棱长为2.
答案
(1)66
(2) (3)2
探究提高
(1)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题,要在正确理解概念的基础上,画出符合题意的图形或辅助线(面),再分析几何体的结构特征,从而进行解题.
(2)求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.
【训练1】
(1)(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且=,则的值是________.
(2)(2012·江苏卷)
如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3.
(3)(2016·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3=________.
解析
(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由=,得=,则=.由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2,则=,所以==.
(2)关键是求出四棱锥ABB1D1D的高,
连接AC交BD于O,在长方体中,
∵AB=AD=3,∴BD=3且AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面ABCD,∴BB1⊥AC.
又DB∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D,
∴AO为四棱锥ABB1D1D的高且AO=BD=.
∵S矩形BB1D1D=BD×BB1=3×2=6,
∴VABB1D1D=S矩形BB1D1D·AO=×6×=6(cm3).
(3)由题意可得三个扇形的弧长分别为,,5π,分别等于三个圆锥底面圆的周长,则r1=,r2=,r3=,所以r1+r2+r3=++=5.
答案
(1)
(2)6 (3)5
热点二 空间中的平行和垂直的判断与证明问题
[微题型1] 空间线面位置关系的判断
【例2-1】
(1)已知平面α、β,直线m,n,给出下列命题:
①若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;
②若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.
其中是真命题的是________(填写所有真命题的序号).
(2)(2016·全国Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
解析
(1)若m∥α,n∥β,m∥n,则α,β可能平行或相交,①是假命题;若α∥β,m∥α,n∥β,则m,n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系,②是假命题;由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题,故真命题序号是③④.
(2)当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
答案
(1)③④
(2)②③④
探究提高 长方体(或正方体)是一类特殊的几何体,其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此,对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题,常构造长方体(或正方体),把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中,对各条件进行检验或推理,根据条件在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,判断条件的真伪,可使此类问题迅速获解.
[微题型2] 平行、垂直关系的证明
【例2-2】(2015·江苏卷)如图,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
证明
(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,
所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥AC.
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
因此BC1⊥B1C.
因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,
所以BC1⊥AB1.
【例2-3】(2016·昆明统考)如图,
在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥BC,且AA1=AB=BC=1,CD=2.
(1)求证:
AB1⊥平面A1BC;
(2)在线段CD上是否存在点N,使得D1N∥平面A1BC?
若存在,求出三棱锥N-AA1C的体积;若不存在,请说明理由.
(1)证明 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直底面,
所以A1A⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥AA1,
因为BC⊥AB,AB∩AA1=A,AB⊂平面AA1B1B,
AA1⊂平面AA1B1B,所以BC⊥平面AA1B1B.
又AB1⊂平面AA1B1B,所以AB1⊥BC,
因为A1A⊥AB,A1A=AB=1,所以四边形AA1B1B为正方形,
所以AB1⊥A1B,
因为A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BC,
所以AB1⊥平面A1BC.
(2)解 法一
在线段CD上存在点N,且当N为CD的中点时,D1N∥平面A1BC.
证明如下:
连接BN、D1N,因为AB∥CD,AB=1,CD=2,
所以AB∥DN且AB=DN,所以四边形ABND为平行四边形,
所以BN∥AD且BN=AD.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥AD且A1D1=AD,
所以A1D1∥BN且A1D1=BN,
所以四边形A1BND1为平行四边形,所以D1N∥A1B.
又D1N⊄平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,
所以D1N∥平面A1BC.
连接A1N、AN、AC,所以S△ACN=S△BCN=×1×1=,
又A1A⊥平面ABCD,且A1A=1,
所以VN-AA1C=VA1-ACN=S△ACN×A1A=××1=,
即三棱锥N-AA1C的体积为.
法二 在线段CD上存在点N,且当N为CD的中点时,D1N∥平面A1BC,
证明如下:
取C1D1的中点M,连接AN、A1M、D1N、MC,
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AB=1,CD=2,所以A1B1∥C1D1,A1B1=1,C1D1=2,
所以A1B1∥MC1且A1B1=MC1,所以四边形A1B1C1M为平行四边形,
所以A1M∥B1C1且A1M=B1C1.
又BC∥B1C1且BC=B1C1,所以A1M∥BC且A1M=BC,
所以四边形A1BCM为平行四边形,所以A1B∥CM,
又D1M=NC=1且D1M∥NC,
所以四边形D1MCN为平行四边形,
所以CM∥D1N,所以D1N∥A1B.
又D1N⊄平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,
所以D1N∥平面A1BC.
连接A1N、AC,所以S△ACN=×1×1=,
又A1A⊥平面ABCD,且A1A=1,
所以VN-AA1C=VA1-ACN=S△ACN×A1A=××1=,
即三棱锥N-AA1C的体积为.
探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.
【训练2】(2016·苏北四市模拟)如图,
在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
求证:
(1)CE∥平面PAD;
(2)平面EFG⊥平面EMN.
证明
(1)法一 如图1,取PA的中点H,连接EH,DH.
又因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,且EH=AB.
图1
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,且EH=CD.
所以四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,
CE⊄平面PAD,
因此,CE∥平面PAD.
图2
法二 如图2,连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.
又CD=AB,
所以AF=CD,又AF∥CD,
所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.
又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,
故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥DC,又AB∥DC,
所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
1.求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
(4)求解几何体的表面积时要注意S表=S侧+S底.
2.锥体体积公式为V=Sh,在求解锥体体积中,不能漏掉.
3.空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.
4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:
(1)证明线线平行常用的方法:
一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:
三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:
①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:
即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
一、填空题
1.(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,且直线m,n满足m∥α,n⊥β,给出下列结论:
①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n.
则上述结论正确的是________(填序号).
解析 由已知,α∩β=l,∴l⊂β,又∵n⊥β,∴n⊥l,③正确.
答案 ③
2.已知圆柱的底面半径为1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为________.
解析 利用圆柱的侧面积公式求解,该圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,一个底面圆的面积是π,所以该圆柱的表面积为4π+2π=6π.
答案 6π
3.(2016·徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10cm,侧面积为60πcm2,则此圆锥的体积为________cm3.
解析 设圆锥底面圆的半径为r,母线为l,则侧面积πrl=10πr=60π,解得r=6,则高h==8,则此圆锥的体积为πr2h=π×36×8=96π.
答案 96π
4.
如图所示,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AC,PC的中点,PA=2,AB=1,求三棱锥C-PED的体积为________.
解析 ∵PA⊥平面ABCD,∴PA是三棱锥P-CED的高,PA=2.
∵ABCD是正方形,E是AC的中点,
∴△CED是等腰直角三角形.
AB=1,故CE=ED=,
S△CED=CE·ED=··=.
故VCPED=VPCED=·S△CED·PA=··2=.
答案
5.
如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析 ∵EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,
平面ABCD∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,
又∵E是AD的中点,
∴F是CD的中点,即EF是△ACD的中位线,
∴EF=AC=×2=.
答案
6.(2016·镇江高三期末)设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题:
①若b⊂α,c∥α,则b∥c;
②若b⊂α,b∥c,则c∥α;
③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;
④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).
解析 ①中直线b,c平行或异面,则①错误;②中c∥α或c⊂α,则②错误;
③中c,β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上,则③错误;由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确,故正确命题是④.
答案 ④
7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为________.
解析 棱长为a的正方体的体积V1=a3,表面积S1=6a2,底面半径和高均为r的圆锥的体积V2=πr3,侧面积S2=πr2,则==,则a=r,所以==.
答案
8.(2016·无锡高三期末)如图,在圆锥VO中,O为底面圆心,半径OA⊥OB,且OA=VO=1,则O到平面VAB的距离为________.
解析 由题意可得三棱锥V-AOB的体积为V三棱锥V-AOB=S△AOB·VO=.
△VAB是边长为的等边三角形,其面积为×()2=,设点O到平面VAB的距离为h,则V三棱锥O-VAB=
S△VAB·h=×h=V三棱锥V-AOB=,
解得h=,
即点O到平面VAB的距离是.
答案
二、解答题
9.(2014·江苏卷)
如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明
(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,
DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
10.
如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥BC,E,F分别是A1B,AC1的中点.
(1)求证:
EF∥平面ABC;
(2)求证:
平面AEF⊥平面AA1B1B;
(3)若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥FABC的体积.
(1)证明 如图
连接A1C.
∵直三棱柱A1B1C1ABC中,AA1C1C是矩形.
∴点F在A1C上,且为A1C的中点.
在△A1BC中,∵E,F分别是A1B,A1C的中点,∴EF∥BC.
又∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)证明 ∵直三棱柱A1B1C1ABC中,B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥BC.
又∵EF∥BC,AB⊥BC,
∴AB⊥EF,B1B⊥EF.
∵B1B∩AB=B,∴EF⊥平面ABB1A1.
∵EF⊂平面AEF,
∴平面AEF⊥平面ABB1A1.
(3)解 VFABC=VA1ABC=××S△ABC×AA1
=××a2×2a=.
11.
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明
(1)因为平面PAD∩平面ABCD=AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD.
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,
且四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.又因为PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD,
且CD⊂平面PCD,
又E,F分别是CD和CP的中点,
所以EF∥PD,故CD⊥EF.
由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.