数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx
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数学课本多项式函数的图形与多项式不等式
2-4 多项式函数的图形与多项式不等式
这一节要透过多项式函数图形讨论如何解多项式不等式,例如
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0。
f(x)与0的关系就有f(x)>0,
f(x)≥0,f(x)<0,f(x)≤0。
1 多项式函数的图形
1.一次函数f(x)=ax+b的图形是一条直线。
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图形是一条拋物线。
3.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图形:
可用描点画图。
在高三选修数学甲的课程中,会用微积分来处理,此处我们用计算机软件来描绘,例如:
(1)f(x)=x3-4x2+x+6
=(x+1)(x-2)(x-3)。
图43
(2)f(x)=-x3-2x2-2x-1
=-(x+1)(x2+x+1)。
图44
图43的图形最右方会上升到无限大,最左方会下降到负无限大。
图44的图形最右方会下降到负无限大,最左方会上升到无限大。
4.四次函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图形:
(1)f(x)=x4-3x2+2
=(x2-2)(x+1)(x-1)。
(2)f(x)=-x4-2x3+2x+1
=-(x-1)(x+1)3。
图45
图46
图45的图形最右方上升到无限大。
图46的图形最右方下降到负无限大。
5.五次以上的多项式函数,要透过微积分来处理,此处我们就不介绍了。
一般来说,有以下观察的结论:
※多项式函数的图形
多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的图形,则:
(1)若an>0,则图形的最右方会上升到无限大;
若an<0,则图形的最右方会下降到负无限大。
(2)多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。
同学们要思考一下多项式函数的图形性质
(2)的重要性:
有了这个性质,勘根定理才能成立(想象由大楼的12楼到地下1楼,这条路线是连续不断且必通过地表)。
例题 1
已知多项式函数f(x)=-x4-2x3+2x+1=-(x-1)(x+1)3的图形如图47,试就x讨论f(x)值的正负号。
解 观察图47可得,
若-1<x<1,则f(x)>0,
若x=-1,1,则f(x)=0,
若x<-1或x>1,则f(x)<0。
图47
随堂练习
已知多项式函数f(x)=x3-4x2+x+6的图形如图48,试就x讨论f(x)值的正负号。
图48
2 一次不等式
设f(x)为多项式,则f(x)>0(或f(x)≥0,f(x)<0,f(x)≤0)称为多项式不等式。
“解多项式不等式”的意思是求出使得不等式成立的所有x值。
一次不等式形如
ax+b>0(或ax+b≥0,ax+b<0,ax+b≤0)。
解一次不等式只要移项即可,但是要注意同乘或同除一个负数时,不等号要变方向。
随堂练习
试解下列不等式:
(1)2x-4<0。
(2)-3x-5<0。
3 二次不等式
二次不等式形如ax2+bx+c>0(或≥,<,≤),可以利用图形来解。
例题 2
试解下列不等式:
(1)x2+5x-6≤0。
(2)x2-4x+4>0。
(3)x2-x+1<0。
解
(1)画y=x2+5x-6=(x-1)(x+6)的概略图形如图49:
我们要找函数值小于或等于0的那些x值。
观察图形可知-6≤x≤1,
故不等式的解为-6≤x≤1。
图49
(2)画y=x2-4x+4=(x-2)2的概略图形如图50:
我们要找函数值大于0的那些x值。
观察图形可知除了x=2之外都成立。
故不等式的解为
x<2或x>2(可合并写为x≠2)。
图50
(3)画y=x2-x+1的概略图形如图51:
因为判别式b2-4ac=(-1)2-4.1.1=-3<0,
且二次项系数1>0,故图形恒在x轴上方,
即x2-x+1之值恒为正。
因此不等式x2-x+1<0无解。
图51
随堂练习
试解下列不等式:
(1)(x-1)(x+2)≥0。
(2)x2-6x+9≤0。
(3)x2+x+1>0。
依判别式b2-4ac的正负,可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示:
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
a>0
a<0
解不等式时,可先由判别式可知概略的图形,然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围即可。
实际上,调整让最高次方的系数为正,较容易思考。
例如:
解-x2-x+2<0,可化为x2+x-2>0来思考。
随堂练习
试解下列不等式:
(1)-6x2-7x+5<0。
(2)-x2-x-3>0。
底下我们介绍另一个观点:
分析每个因式的正负号,
这个观点有助于我们解高次的不等式。
以x2-3x-4=(x+1)(x-4)≥0为例,关键是看每个因式的正负变化。
正负号改变的“关键点”在x=-1和x=4。
因此分三段讨论:
①先看“x+1”。
它在x<-1时为负,x>-1时为正,在x=-1时为零。
②再看“x-4”。
它在x<4时为负,x>4时为正,在x=4时为零。
因此有下表中的前两列正负号。
第三列(x+1)(x-4)的正负号可由前两列相乘而来。
x
-1 4
x+1
-
+
+
x-4
-
-
+
(x+1)(x-4)
+
-
+
③我们要解x2-3x-4=(x+1)(x-4)≥0,因此观察第三列的正负号马上得到解为x≤-1或x≥4。
图52示意图
随堂练习
试解不等式x2-7x+10<0。
4 高次不等式
解高次不等式的原理是相同的。
如果已经有图形,则观察图形即可,否则就先因式分解,然后逐个讨论因式的正负号。
例题 3
(1)试解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>0。
(2)试解不等式(x-2)2(x+3)(-x2+x-1)≥0。
解
(1)考虑每个因式的正负号:
x-1在x<1时为负,在x>1时为正。
x+2在x<-2时为负,在x>-2时为正。
x-3在x<3时为负,在x>3时为正。
因此可得下表:
x
-2 1 3
x-1
-
-
+
+
x+2
-
+
+
+
x-3
-
-
-
+
(x-1)(x+2)(x-3)
-
+
-
+
因此所求(x-1)(x+2)(x-3)>0的解为-2<x<1或x>3。
图53示意图
(2)将不等式两边同乘-1使最高次项为正,以方便思考。
此时即解(x-2)2(x+3)(x2-x+1)≤0。
考虑每个因式的正负号:
(x-2)2在x=2时为零,其余为正。
x+3在x<-3时为负,在x>-3时为正,在x=-3时为零。
x2-x+1恒正(因为首项系数1>0且判别式b2-4ac<0)。
因此可得下表:
x
-3 2
(x-2)2
+
+
+
x+3
-
+
+
x2-x+1
+
+
+
(x-2)2(x+3)(x2-x+1)
-
+
+
因此所求(x-2)2(x+3)(x2-x+1)≤0的解为x≤-3或x=2。
图54示意图
随堂练习
(1)试解不等式(x-1)(x-4)(x+3)3<0。
(2)试解不等式(x+1)2(x+2)(x2+x+3)>0。
因为实系数多项式必可分解成一次或二次的因式乘积,因此只要知道如何分解,按照上述方法就可以解任意次数的多项式不等式了。
例题 4
已知实系数方程式f(x)=x3+ax+b=0有一虚根1-2i,试解f(x)<0。
解 因为实系数多项式方程式虚根成对,故1+2i也是f(x)=0的根。
因此(x-(1-2i))(x-(1+2i))=x2-2x+5为f(x)的因式。
令f(x)=(x2-2x+5)(x+c),
比较二次项系数得-2+c=0,得c=2,
所以f(x)=(x+2)(x2-2x+5)。
因为x2-2x+5=(x-1)2+4恒正,故原不等式相当于解x+2<0。
故f(x)=(x+2)(x2-2x+5)<0的解为x<-2。
随堂练习
令f(x)=x3+x2-4x+6,且已知方程式f(x)=0有一虚根1+i。
试求不等式f(x)≥0的解。
5 简易分式不等式
观察到
>0⇔f(x),g(x)同号⇔f(x)‧g(x)>0,
若解
≥0时,就要注意分母g(x)不能为0,其他情形亦同理。
整理解分式不等式的原则如下:
※解分式不等式的原则
若f(x),g(x)为多项式,g(x)≠0,则:
(1)
>0的解与f(x).g(x)>0的解相同。
(2)
<0的解与f(x).g(x)<0的解相同。
(3)
≥0的解与“f(x).g(x)≥0且g(x)≠0”的解相同。
(4)
≤0的解与“f(x).g(x)≤0且g(x)≠0”的解相同。
例题 5
试解下列不等式:
(1)
>0。
(2)
≥x。
解
(1)因为
>0与(x-1)(x+1)(x-2)>0的解相同,
故解(x-1)(x+1)(x-2)>0,
得-1<x<1或x>2。
(2)移项得
-x≥0,通分得
≥0,
图55示意图
即
≤0,故解x(x-2)(x-1)≤0,得x≤0或1≤x≤2。
但是分母为x-1,所以要剔除掉x=1,
故原不等式的解为
x≤0或1<x≤2。
注意到
(2)的第一步不可以贸然地消去x,因为我们并不知道x是正是负,也不知道x是否为0。
随堂练习
试解下列不等式:
(1)
>0。
(2)
≤1。
例题 6
小崇打算在自家庭院内围一面积为12平方米的矩形,因成本考虑,希望周长不超过16米,试问此矩形宽的范围?
解 设所围的矩形宽为x米,
所以长为
米。
故依题意,
周长2
≤16,x>0,
所以
≤8,
故得x2+12≤8x,(因为x>0,可以左右两式同乘x)
图56
即x2-8x+12≤0。
分解为(x-6)(x-2)≤0,
故得解为2≤x≤6,
即矩形宽的范围为2米到6米。
随堂练习
某数与其倒数的和不超过3,则此数可能的范围为何?
最后,我们看一题综合本章概念的问题。
例题 7
若k为实数,且对所有的实数x,不等式x2+(k+1)x+4≥0均成立﹐试求k的范围。
解 因为x2+(k+1)x+4≥0恒成立,
表示函数y=x2+(k+1)x+4的图形会是下图两者之一
(总之不会落到x轴以下)。
图57
图58
如果是第一种(如图57),则判别式b2-4ac=0,
如果是第二种(如图58),则判别式b2-4ac<0。
因此综合起来判别式b2-4ac≤0,即
(k+1)2-4‧1‧4≤0,
整理得k2+2k-15≤0,
分解得(k-3)(k+5)≤0,
解得-5≤k≤3。
随堂练习
若对所有的实数x,不等式3x2+2ax-a≥0均成立,试求a的范围。
习题 2-4
一、基本题
1.试解下列不等式:
(1)2x+5<3+5x。
(2)
。
2.试解下列不等式:
(1)x2-2x<3。
(2)x2-6x+1≥0。
(3)x2+x+2<0。
3.试解下列不等式:
(1)(x+2)(x-1)(x-4)≥0。
(2)(x+1)(x-1)2(x-2)3<0。
(3)2x3-5x2-x+6>0。
(提示:
先因式分解─用上一节的方法!
)
4.试解下列不等式:
(1)
<x。
(2)
≤1。
二、进阶题
5.已知三次函数f(x)的图形如下,试求f(x)≤0的解。
6.设f(x)=x2-4mx+m+3,若f(x)恒为正值,试求m之范围。
7.下图为三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图形,试求出f(x)。
8.已知|x-a|<b的解是-2<x<8,试求不等式x2-2ax+b≥0的解。
9.设二次函数y=f(x)的图形如下,试求f(2x)>0的解。
三、挑战题
10.已知通过原点的直线L与拋物线y=x2+1没有交点。
试求直线L的斜率之范围。