数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx

1、数学课本多项式函数的图形与多项式不等式2-4多项式函数的图形与多项式不等式这一节要透过多项式函数图形讨论如何解多项式不等式，例如 f（x）anxnan1xn1a1xa0。f（x）与 0 的关系就有 f（x）0，f（x） 0，f（x）0，f（x） 0。1多项式函数的图形1. 一次函数 f（x）axb 的图形是一条直线。2. 二次函数 f（x）ax2bxc 的图形是一条拋物线。3. 三次函数 f（x）ax3bx2cxd 的图形：可用描点画图。在高三选修数学甲的课程中，会用微积分来处理，此处我们用计算机软件来描绘，例如：(1) f（x）x34x2x6 （x1）（x2）（x3）。图 43(2) f（x

2、）x32x22x1 （x1）（x2x1）。图 44图 43 的图形最右方会上升到无限大，最左方会下降到负无限大。图 44 的图形最右方会下降到负无限大，最左方会上升到无限大。4. 四次函数 f（x）ax4bx3cx2dxe 的图形：(1) f（x）x43x22 （x22）（x1）（x1）。(2) f（x）x42x32x1 （x1）（x1）3。图 45图 46图 45 的图形最右方上升到无限大。图 46 的图形最右方下降到负无限大。5. 五次以上的多项式函数，要透过微积分来处理，此处我们就不介绍了。一般来说，有以下观察的结论：多项式函数的图形多项式函数 f（x）anxnan1xn1a1xa0 的

3、图形，则：(1) 若 an0，则图形的最右方会上升到无限大；若 an0，则图形的最右方会下降到负无限大。(2) 多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。同学们要思考一下多项式函数的图形性质(2)的重要性：有了这个性质，勘根定理才能成立（想象由大楼的 12 楼到地下 1 楼，这条路线是连续不断且必通过地表）。例题1 已知多项式函数 f（x）x42x32x1（x1）（x1）3 的图形如图 47，试就 x 讨论 f（x）值的正负号。 解观察图 47 可得，若1x1，则 f（x）0 ，若 x1，1，则 f（x）0 ，若 x1 或 x1 ，则 f（x）0。图 47随堂练习 已知多项式函数 f（x）x34

4、x2x6 的图形如图 48，试就 x 讨论 f（x）值的正负号。图 48 2一次不等式设 f（x）为多项式，则 f（x）0（或 f（x） 0，f（x）0，f（x） 0）称为多项式不等式。“解多项式不等式”的意思是求出使得不等式成立的所有 x 值。一次不等式形如axb0（或 axb 0，axb0，axb 0）。解一次不等式只要移项即可，但是要注意同乘或同除一个负数时，不等号要变方向。随堂练习 试解下列不等式：(1) 2x40。 (2) 3x50。 3二次不等式二次不等式形如 ax2bxc0（或 ， ），可以利用图形来解。例题2 试解下列不等式：(1) x25x6 0。(2) x24x40。(3)

5、 x2x10。 解(1) 画 yx25x6（x1）（x6）的概略图形如图 49：我们要找函数值小于或等于 0 的那些 x 值。观察图形可知6 x 1，故不等式的解为6 x 1。图 49(2) 画 yx24x4（x2）2 的概略图形如图 50：我们要找函数值大于 0 的那些 x 值。观察图形可知除了 x2 之外都成立。故不等式的解为x2 或 x2（可合并写为 x2）。图 50(3) 画 yx2x1 的概略图形如图 51：因为判别式 b24ac（1）241130，且二次项系数 10，故图形恒在 x 轴上方，即 x2x1 之值恒为正。因此不等式 x2x10 无解。图 51随堂练习 试解下列不等式：(

6、1)（x1）（x2） 0。(2) x26x9 0。(3) x2x10。 依判别式 b24ac 的正负，可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示：b24ac0b24ac0b24ac0a0a0解不等式时，可先由判别式可知概略的图形，然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围即可。实际上，调整让最高次方的系数为正，较容易思考。例如：解x2x20，可化为 x2x20 来思考。随堂练习 试解下列不等式：(1) 6x27x50。 (2) x2x30。 底下我们介绍另一个观点：分析每个因式的正负号，这个观点有助于我们解高次的不等式。以 x23x4（x1）（x4） 0 为例，关键是看每个因式的正负变化。正负号改

7、变的“关键点”在 x1 和 x4。因此分三段讨论： 先看“x1”。它在 x1 时为负，x1 时为正，在 x1 时为零。 再看“x4”。它在 x4 时为负，x4 时为正，在 x4 时为零。因此有下表中的前两列正负号。第三列（x1）（x4）的正负号可由前两列相乘而来。x14x1x4（x1）（x4） 我们要解 x23x4（x1）（x4） 0，因此观察第三列的正负号马上得到解为 x 1 或 x 4。图 52 示意图随堂练习 试解不等式 x27x100。 4高次不等式解高次不等式的原理是相同的。如果已经有图形，则观察图形即可，否则就先因式分解，然后逐个讨论因式的正负号。例题3 (1) 试解不等式（x1）

8、（x2）（x3）0。(2) 试解不等式（x2）2（x3）（x2x1） 0。 解(1) 考虑每个因式的正负号： x1 在 x1 时为负，在 x1 时为正。 x2 在 x2 时为负，在 x2 时为正。 x3 在 x3 时为负，在 x3 时为正。因此可得下表：x2 1 3x1x2x3（x1）（x2）（x3）因此所求（x1）（x2）（x3）0的解为 2x 1 或 x3。图 53 示意图(2) 将不等式两边同乘1 使最高次项为正，以方便思考。此时即解（x2）2（x3）（x2x1） 0。考虑每个因式的正负号：（x2）2 在 x2 时为零，其余为正。 x3 在 x3 时为负，在 x3 时为正，在 x3 时为

9、零。 x2x1 恒正（因为首项系数 10 且判别式 b24ac0）。因此可得下表：x32（x2）2x3x2x1（x2）2（x3）（x2x1）因此所求（x2）2（x3）（x2x1） 0 的解为 x 3 或 x2。图 54 示意图随堂练习 (1) 试解不等式（x1）（x4）（x3）3 0。(2) 试解不等式（x1）2（x2）（x2x3）0。 因为实系数多项式必可分解成一次或二次的因式乘积，因此只要知道如何分解，按照上述方法就可以解任意次数的多项式不等式了。例题4 已知实系数方程式 f（x）x3axb0 有一虚根 12i，试解 f（x）0。 解因为实系数多项式方程式虚根成对，故 12i 也是 f（x

10、）0 的根。因此（x（12i）（x（12i）x22x5 为 f（x）的因式。令 f（x）（x22x5）（xc），比较二次项系数得2c0，得 c2，所以 f（x）（x2）（x22x5）。因为 x22x5（x1）24 恒正，故原不等式相当于解 x20。故 f（x）（x2）（x22x5）0 的解为 x2。随堂练习 令 f（x）x3x24x6，且已知方程式 f（x）0 有一虚根 1i。试求不等式 f（x） 0 的解。 5简易分式不等式观察到0 f（x），g（x）同号 f（x）g（x）0，若解 0 时，就要注意分母 g（x）不能为 0，其他情形亦同理。整理解分式不等式的原则如下：解分式不等式的原则若 f

11、（x），g（x）为多项式，g（x）0，则：(1) 0 的解与 f（x）g（x）0 的解相同。(2) 0 的解与 f（x）g（x）0 的解相同。(3) 0 的解与“f（x）g（x） 0 且 g（x）0”的解相同。(4) 0 的解与“f（x）g（x） 0 且 g（x）0”的解相同。例题5 试解下列不等式：(1) 0。 (2) x。 解(1) 因为0 与（x1）（x1）（x2）0 的解相同，故解（x1）（x1）（x2）0，得1x1 或 x2。(2) 移项得 x 0，通分得 0，图 55 示意图即 0，故解 x（x2）（x1） 0，得 x 0 或 1 x 2。但是分母为 x1，所以要剔除掉 x1，故原

12、不等式的解为x 0 或 1x 2。注意到(2)的第一步不可以贸然地消去 x，因为我们并不知道 x 是正是负，也不知道 x 是否为 0。随堂练习 试解下列不等式：(1) 0。 (2) 1。 例题6 小崇打算在自家庭院内围一面积为 12 平方米的矩形，因成本考虑，希望周长不超过 16 米，试问此矩形宽的范围？ 解设所围的矩形宽为 x 米，所以长为 米。故依题意，周长 2 16，x0，所以 8，故得 x212 8x，（因为 x0，可以左右两式同乘 x）图 56即 x28x12 0。分解为（x6）（x2） 0，故得解为 2 x 6，即矩形宽的范围为 2 米到 6 米。随堂练习 某数与其倒数的和不超过

13、3，则此数可能的范围为何？ 最后，我们看一题综合本章概念的问题。例题7 若 k 为实数，且对所有的实数 x，不等式 x2（k1）x4 0 均成立试求 k 的范围。 解因为 x2（k1）x4 0 恒成立，表示函数 yx2（k1）x4 的图形会是下图两者之一（总之不会落到 x 轴以下）。图 57图 58如果是第一种（如图 57），则判别式 b24ac0，如果是第二种（如图 58），则判别式 b24ac0。因此综合起来判别式 b24ac 0，即（k1）2414 0，整理得 k22k15 0，分解得（k3）（k5） 0，解得 5 k 3。随堂练习 若对所有的实数 x，不等式 3x22axa 0 均成立

14、，试求 a 的范围。 习题2-4一、基本题1. 试解下列不等式：(1) 2x535x。(2) 。2. 试解下列不等式：(1) x22x3。(2) x26x1 0。(3) x2x20。3. 试解下列不等式：(1)（x2）（x1）（x4） 0。(2)（x1）（x1）2（x2）30。(3) 2x35x2x60。（提示：先因式分解用上一节的方法！）4. 试解下列不等式：(1) x。(2) 1。二、进阶题5. 已知三次函数 f（x）的图形如下，试求 f（x） 0 的解。6. 设 f（x）x24mxm3，若 f（x）恒为正值，试求 m 之范围。7. 下图为三次函数 f（x）ax3bx2cxd 的图形，试求出 f（x）。8. 已知|xa|b 的解是2x8，试求不等式 x22axb 0 的解。9. 设二次函数 yf（x）的图形如下，试求 f（2x）0 的解。三、挑战题10. 已知通过原点的直线 L 与拋物线 yx21 没有交点。试求直线 L 的斜率之范围。