冰山运输费用的分析.docx
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冰山运输费用的分析
冰山运输费用的分析
摘要
当今社会，水资源缺乏的形势越来越严峻，尤其是在以盛产石油著称的波斯湾地区。
为了解决国民饮水的问题，有很多人采用淡化海水的办法，但是该方法生产每立方米海水就要0.1英镑，耗费了较多的人力、物力、财力。
于是有专家就提出从南极用拖船运送冰山到波斯湾，该方法是否可行，需要考虑经济问题。
根据该题所给的数据，我们要建立一个模型来估算采用拖船运送冰山每立方米海水的费用。
总费用是由租金和燃料费两部分组成。
冰山的运送可以根据船型和船速的不同采用多个运输方案，现在我们要找到一种最好的方案使其费用最少，并算出其费用与海水淡化的费用进行比较。
通过对数据的分析，我们可以建立一个微积分模型，来求出每立方米水所花的费用。
考虑到燃料的消耗由船速与冰山体积所决定，冰山在运送过程中，其体积随着与南极距离和船速的变化而变化，因此先求出冰山体积的变化规律，再计算出燃料的消耗，由于总费用=租金+燃料
消耗费用，另外每立方米水所花的费用等于总费用与冰山到达目的地后的体积的比值。
最后利用MATLAB计算出其较经济的方案是每立方米的花费大约为0.063英镑。
关键词：
微积分模型冰山体积变化燃料消耗费用
1．问题重述
在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0．1英
镑．有些专家提出从相距9600km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法．
在运送冰山的过程中，拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据如下：
1）三种拖船的日租金和最大运量．
表1
船型
小
中
大
日租金（英镑）
4.0
6.2
8.0
最大运量（m3）
5105
106
107
2．燃料消耗（英镑／千米）．主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可
以忽略．
表2
冰山体积（m3）
船速（km/h）
105
106
107
1
8.4
10.5
12.6
3
10.8
13.5
16.2
5
13.2
16.5
19.8
3．冰山运输过程中的融化速率（即米／天）．指在冰山与海水、大气接触处每天
融化的深度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离
有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故．
表3
与南极距离（km）
船速（km/h）
0
1000
4000
1
0
0.1
0.3
3
0
0.15
0.45
5
0
0.2
0.6
本题要解决的问题：
试选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得
到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．
2.问题分析要使拖船从南极运送冰山到波斯湾的总费用和到达目的地后冰山的体积的比值最小，关键要解决两个问题，一是所需费用，二是运输过程中冰山体积的变化。
以上需要求得的量受到船型、船速、冰山体积等因素的影响，其简化关系图如下：
再利用每立方米水的费用水的体积，便可解决我们的问题。
但由于冰山的体积是一个动态变化的过程，其过程由表3所体现。
因此要确定燃料消耗，必须先对表3的数据进行处理，确定冰山体积随时间和船速的变化关系，然后再对表2的数据进行处理，结合表3数据所确定的关系求出燃料消耗与各变量之间的关系。
最终求出总费用以及融化后水的体积。
据以上分析我们建立的这个模型目的是要选择合适的拖船和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较．
3．模型假设假设一：
拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等因素的影响。
总航9600km。
假设二：
冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同。
假设三：
冰山到达目的地后，1m3冰可融化成0.85m3水。
假设四：
燃料消耗不受船型影响。
4.定义与符号说明
u
轮船航行的船速
r
冰山在运输过程中的融化速率
T
运输冰山到波斯湾的总的天数
t
运输的第t天
Rt
第t天冰山的半径
Vt
第t天冰山的体积
R0
运送冰山的原始半径
V0
运输的冰山的原始体积
f
拖船的租金
y
运输冰山的过程中的燃料消耗费用
S
运输冰山的过程用总费用
Z
冰山运抵目的地后每立方米水所需费用
W
冰融化成水的体积
5．模型建立通过对问题的分析及题中所给数据，我们首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算所用拖船的租金和航行中的燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费．因此，从以下几方面解决此问题：
1.通过对表3的数据进行处理，得出冰山的融化速率r与船速u及拖船与南极的距离d三者之间的关系：
不妨先考虑d4000km的情况，通过表3的数据，用MATLAB可以得到下图：
图1从图像可以看出，此时的r与u呈线性关系，假设ra1a2u，通过表中的数据可得到方
0.3a1a2
程：
12，方程的解a10.225,a20.075，也就可以得到：
0.45a13a212
（1）
r0.2250.075u
当d4000km时，可以控制船速不变，得到r与d关系图为：
ra3d（a1a2u）
（2）
把点（1,1000,0.1）代人可得到a33.3104，故：
r3.3104d（0.2250.075u）（3）把点：
1,0,0）、（3,0,0）、（5,0,0）、（3,1000,0.15），（5,1000,0.2）
1,4000,0.3）、（3,4000,0.45）、（5,4000,0.6）代人该解析式，可发现这些点都满足该方程，因此假设成立。
由
（2）（3）得：
d4000km
d4000km
3.3104d（0.2250.075u）
r
0.2250.075u
再者，当拖船从南极出发航行第t天时，与南极距离为：
（5）
d24ut
记第t天冰山球面半径融化速率为r，，将（5）代入（4）式得：
记第t天冰山半径为Rt，体积为Vt，则：
其中R0,V0为从南极启运时冰山的初始半径和体积．由（7）式可知冰山体积是船速
u、初始体积V0和航行天数t的函数，记作V（u,V0,t），有：
其中rt由（6）式表示。
2.根据表2，确定燃料消耗与船速和冰山体积的关系：
控制冰山体积不变，分别取105m3、106m3、107m3，可得到y与u的关系图为：
可以看出当冰山体积为定值时，y与u呈线性关系；
控制船速不变时，分别取1km/h、3km/h、5km/h，可得到y与V0关系图为：
图4
该图像不大好确定y与V0的关系，不妨对数据进行处理，作出y与lgV0关系的图形大致为：
图5
不难发现，当船速为定值时，y与lgVt呈线性。
综合考虑以上因素，不妨假设：
yc1（uc2）（lgVtc3）
（9）
c10.3
把点（1,5,8.4）、（1,6,10.5）、（3,5,10.8）代人（6）可求出：
c26，所以c31
y0.3（u6）（lgVt1）
（10）
总之，拖船航行到第t天的燃料消耗记作y（u,V0,t）（英镑／
天）yu.V0,t24uc1（uc2）（lgVtc3）7.2uu6lg
300r（t）dt
３．先求出总费用及融合后水的体积，再求每立方米水的费用：
1.运送冰山总费用S由拖船的租金和燃料消耗两部分组成日租金为：
4.0f（v0）6.2
8.0
v05105
5105v0106
106v0107
（11）
又冰山运送到目的地时间T9600400
24uu
故租金的总费用为ftfV0400u
燃料消耗的费用为：
400
yu,V0,t0u7.2uu6lg
4
3
故运送冰山总费用：
Su,V0f
V04u00
u
400
0u7.2uu6lg
4
3
T
0r（t）dt1dt
（12）
3.冰山到达目的地融合成水的体积
注意到假设（3），则得到水的体积为:
４．每立方米水所需费用:
（14）式显然
记冰山运抵目的地后每立方米水所需费用为Z（u,V0），由（12），
有：
Zu,V0
Su,V0
Wu,V0
（15）
６．模型的求解根据题中所给数据及公式（6）（12）（14）（15）可以得到以下表格：
1.先计算出冰山在运输过程中融化的深度：
表4
u
1
3
5
400
0ur（t）dt
103
51.5
41.2
2.融化后的体积：
表5
v0
u
1
3
5
5
5105
4
1.805104
106
3
4.163103
4
3.220104
107
1.025105
1.970106
2.813106
3.总费用：
表6
v0
u
1
3
5
5105
5
1.057105
106
7.055104
3.189104
107
8.548104
1.381105
1.760105
4.每立方米费用：
表7
v0
u（km/h）
1
3
5
5
5105
5.8584
106
16.947
0.9904
107
0.834
0.0704
0.0626
有以上数据可知：
拖船的型号以及拖船速度的不同对每立方米水的花费影响很大，若选择最大的拖船，并使其船速在3km/h～5km/h范围内，每立方米水所花的费用大约为0.063英镑，此时费用最少。
然而采用淡化海水的方法，每立方米大约0.1英镑，两者相比之下，从南极拖运冰山到波斯湾更为经济实惠。
7．结果分析该模型忽略了影响航行的不利因素，冰山的体积以及冰山的融合规律都太过理想化。
况且总费用没有包括空拖船去的过程的燃料消耗以及那段时间的租金，因此冰山运输方式每平方米水的花费存在很大的不确定性，也就是该方法预算的花费可能与实际的花费存在很大的差别。
得到的结果虽然小于海水淡化的费用（每立方米0．1英镑），但是没有远小于每立方米0．1英镑，所以方案是否可行有待实际的检验。
8．模型的评价
1．优点:
（1）此模型从简单模型入手，思路清晰
（2）.此模型假设冰山为球体，忽略了冰山的实际形状，给计算带来很大的方便。
（3）结果都是经过大量的计算和对比求出来的，具有一定的可靠性。
2.缺点:
该模型太过理想化，估算值可能存在很大的误差。
9．参考文献
（1）费浦生羿旭明的数学建模及其基础知识详解.武汉大学出版社
（2）华东师范大学数学系.数学分析（下册）第四版高等教育出版社
（3）赵静但琦《数学建模与数学实验》[M]高等教育出版社，2003
（4）《MATLAB》谢金星高等教育出版社（第三版）
10．附录%当d>4000km时，融化速率r与船速u的关系图：
>>x=[135];
y=[0.30.450.6];plot（x,y）
%当d<=4000km时，燃料消耗r与距离d的的关系图：
x=[010004000];
y=[00.10.3];
x1=[010004000];
y1=[00.150.45];
x2=[010004000];
y2=[00.20.6];
plot（x,y）;
holdon
plot（x1,y1）;
holdon
plot（x2,y2）
%燃料消耗y和船速u的关系图：
x=[135];
y=[8.410.512.6];x1=[135];y1=[10.813.516.2];x2=[135];
y2=[13.216.519.8];plot（x,y）;
holdonplot（x1,y1,'r'）;
holdonplot（x2,y2,'b'）
%当控制船速u，燃料消耗y与冰山体积V0的关系图：
x=[10^510^610^7];
y=[8.410.512.6];x1=[10^510^610^7];
y1=[10.813.516.2];
x2=[10^510^610^7];
y2=[13.216.519.8];plot（x,y,'r'）;
holdon
plot（x1,y1,'y'）;holdonplot（x2,y2,'b'）%y和log（V0）之间的关系图：
x=[567];
y=[8.410.512.6];
x1=[567];
y1=[10.813.516.2];
x2=[567];
y2=[13.216.519.8];plot（x,y,'r'）;
holdonplot（x1,y1,'y'）;
holdon
plot（x2,y2,'b'）
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