初中数学巧添辅助线解证几何题.docx

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初中数学巧添辅助线解证几何题

巧添辅助线解证几何题

[引出问题]在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：

一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题

研究∠α＝2∠β或∠β=

∠α问题通称为倍角问题。

倍角问题分两种情形：

1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=

∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）

2、

∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。

倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）

[例题解析]

例1：

如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。

求证：

∠DBC=

∠BAC.

分析：

∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。

证法一：

∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=

（180°-∠BAC）=90°-

∠BAC。

∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90°

∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°-

∠BAC）=

∠BAC

即∠DBC=

∠BAC

分析二：

∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC=∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。

证法二：

如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°

∵AB=AC∴∠EAG=

∠BAC

∵BD⊥AC于D

∴∠DBC+∠C=90°

∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）

即∠DBC=

∠BAC。

证法三：

如图3，在AD上取一点E，使DE=CD

连接BE

∵BD⊥AC

∴BD是线段CE的垂直平分线

∴BC=BE∴∠BEC=∠C

∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∴∠BAC=180°-2∠C

∴∠EBC=∠BAC

∴∠DBC=

∠BAC

说明：

例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。

同学们不妨试一试。

例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B

求证：

BC2=AC2+ACAB

分析：

由BC2=AC2+ACAB=AC（AC+AB），启发我们构建两个相似

的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，

构建以AB为腰的等腰三角形。

证明：

延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA

∵∠BAC是△ABD的一个外角

∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D

∵∠BAC=2∠ABC

∴∠D=∠ABC

又∵∠C=∠C

∴△ABC∽△BDC∴

∴BC2=ACCDAD=AB

∴BC2=AC（AC+AB）=AC2+ACAB

二、中点问题

已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。

这类问题常用三种方法添加辅助线

（1）延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。

若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。

（2）构造中位线，如图三

（3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。

图一图二图三图四

[例题解析]

例3．已知：

如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。

求证：

BD=CE

分析：

由于BD、CE的形成与D、E两点有关，

但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以

关系不明显，由于条件F是DE的中点，如何利用这个

中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。

由已知AB=AC,联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新

的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD或CE

移动一下位置，从而使问题得解。

证明：

证法一：

过点D作DG∥AC,交BC于点G（如上图）

∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE

∵AB=AC∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DGB∴BD=DG

∵F是DE的中点∴DF=EF

在△DFG和△DEFC中，

∴△DFG≌EFC

∴DG=CE∴BD=CE

证法二：

如图，在AC上取一点H,使CH=CE,连接DH

∵F是DE的中点

∴CF是△EDH的中位线∴DH∥BC

∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA

∵AB=AC∴∠B=∠BCA

∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH

∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC

∴BD=CE

说明：

本题信息特征是“线段中点”。

也可以过E作EM∥BC,交AB延长线于点G，仿照证法二求解。

例4．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中点

求证：

AD=AB+CD

证法一：

延长AE交DC延长线于F

∵AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF

∵E是BC的中点∴BE=CE

在△ABE和△CEF中

∴△ABE≌△CEF

∴AB=CF

∵AE平分∠ABD

∴∠BAE=∠DAE

∴∠DAE=∠F

∴AD=DF

∵DF=DC+CF

CF=AB

∴AD=AB+DC

证法二：

取AD中点F，连接EF

∵AB∥CD，E是BC的中点

∴EF是梯形ABCD的中位线

∴EF∥AB,EF=

（AB+CD）

∴∠BAE=∠AEF

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

∴∠AEF=∠FAE

∴AF=EF

∵AF=DF

∴EF=AF=FD=

AD

∴

（AB+CD）=

AD

∴AD=AB+CD

三．角平分线问题

已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。

常用的辅助线有两种：

1.以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。

2.由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。

图一图二图三

[例题解析]

例5．如图

（1），OP是∠MON的平分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。

（1）如图

（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F,请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。

（2）如图（3），在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其他条件不变，请问，你在

（1）中所得的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

分析：

本题属于学习性题型。

这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。

指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。

解：

（1）EF=FD

（2）答：

（1）结论EF=FD仍然成立

理由：

如图（3），在AC上截取AG=AE,连接FG

在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF

∴EF=GF,∠EFA=∠GFA

由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC∠BCA的平分线

可得∠FAG+∠FCA=60°

∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°

∴∠GFC=60°

在△CFG和△CFD中

∴△CFG≌△CFD

∴FG=FD

又因为EF=GF

∴EF=FD

说明：

学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。

抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。

解法二：

（2）答

（1）中的结论EF=FD仍然成立。

理由：

作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M

∵∠EAD=∠DAC∴FG=FH

∵∠ACE=∠BCE∴FH=FG

∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°

∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°

在四边形BEFD中

∠BEF+∠BDF=180°

∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEF

在△EFG和△DFM中

∴EFG≌△DFM

∴EF=DF

四、线段的和差问题

已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：

1.短延长：

若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,然后证明AM=c；

2.长截短：

若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,然后证明MB=b。

[例题解析]

例6如图，在△ABC中，AB=AC,点P是边BC上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。

分析：

判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM.

分析：

在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再证明CQ=PE

答：

PD+PE=CM

证法一：

在CM上截取MQ=PD，连接PQ.

∵CM⊥AB于M,PD⊥AB于D

∴∠CMB=∠PDB=90°

∴CM∥DP

∴四边形PQMD为平行四边形

∴PQ∥AB

∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ECP

∴∠QPC=∠ECP

∵PE⊥AC于E

∴∠PEC=90°

在△PQC和△PEC中

∴△PQC≌△PEC∴QC=PE

∵MQ=PD∴MQ+QC=PD+PE

∴PD+PE=CM

分析2：

延长DF到N使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM,

再证明PN=PE

证法2：

延长DF到N，使DN=CM，连接CN

同证法一得平行四边形DNCM，及△PNC≌△PEC

∴PN=PE

∴PD+PE=CM

分析3：

本题中含有AB=AC及三条垂线段PD、DE、CM，

且

，所以可以用面积法求解。

证法三：

连接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M

∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PC

∴

∵AB=AC且

∴

说明：

当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。

五、垂线段问题

已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。

常用的面积关系有：

1.同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；

2.同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。

[例题解析]

例7在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上点，且

垂足分别是E、F

求证：

分析：

将比例式

转化为等积式

，联想到

，

即△PAB与△PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。

证明：

连接AC与BD交于点O,连接PA、PC

在平行四边形ABCD中，AO=CO

同理，

∵

例8求证：

三角形三条边上的中线相交于一点。

分析：

这是一个文字叙述的命题。

要证明文字命题，需要根据题意画出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。

已知：

△ABC中，AF、BD、CE是其中线。

求证：

AF、BD、CG相交于一点。

分析：

要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。

证明：

设BD、CE相交于点G，连接AG，并延长交BC于点F,.

作BM⊥AF,于M,CN⊥AF,于N

则

在△BMF,和△CNF,中

∴△BMF≌△CNF

∴

∴AF,是BC边上的中线

又∵AF时BC边上的中线

∴AF与AF,重合

即AF经过点D

∴AF、BD、CE三线相交于点G

因此三角形三边上的中线相交于一点。

六、梯形问题

梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。

因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：

梯形问题三角形或者平行四边形问题

在转化、分割、拼接时常用的辅助线：

1.平移一腰。

即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。

研究有关腰的问题时常用平移一腰。

2.过顶点作高。

即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）。

研究有关底或高的问题时常过顶点作高。

3.平移一条对角线。

即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）。

研究有关对角线问题时常用平移对角线。

这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转化为三角形的问题。

此三角形的面积等于梯形的面积。

4.延长两腰交于一点。

把梯形问题转化为两个相似的三角形问题（图四）；

5.过底的中点作两腰的平行线。

当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五）；

6.过一腰中点作直线与两底相交。

当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一顶点和此中点，并延长交另一底于一点，将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三角形。

此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；

7.作梯形中位线。

当已知中有一腰的中点时，常取另一腰的中点，作梯形的中位线，（图七），利用梯形中位线性质解题。

图一图二图三

图四图五图六

图七

[例题解析]

例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底，以c=10为一腰，则另一腰长d的取值范围是＿

分析：

如图，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，过B作BE∥AD,得到平行四边形ABED，从而得AD=BE=10,AB=DE=13

所以EC=DC-DE=16-13=3.

所以另一腰d的取值范围是

10-3＜d＜10+3

答案：

7＜d＜13

例10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面积。

分析：

已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。

另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。

解：

解法一：

如图，过A作AF∥BD,交CD延长线于F

在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15

在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15

解法二：

如图，过B作BF⊥DC于F

∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E

在直角三角形ABC中，

在直角三角形BDF中，

例11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点，

试说明：

分析1：

∠B+∠C=90°，考虑延长两腰，使它们相交于一点，构成直角三角形。

解法1：

延长BA、CD交于点G,连接GM、GN

∵B、A、G共线∴G、M、N共线

分析2：

考虑M、N分别为AD、BC中点，可以过M分别作AB、DC的平行线，梯形ABCD内部构成直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。

解法2：

作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F

∵AD∥BC∴四边形ABEM、DCFM都是平行四边形

∴BE=AM,FC=DM

∴∠EMF=90°,又∵EN=FN

[拓展延伸]

1.已知：

如图，△ABC中，D是BC的中点，F是CA延长线上一点，连接FD交AB于E，若AE=AF求证：

BE=CF

证法一：

延长ED到G使DG=DE,连接CG.

在△BDE和△CDG中，

证法二：

延长FD到G,使DG=DF,连接BG。

△DCF和△BDG中

2、如图，△ABC中，BC=2AB,D是BC中点，E是BD中点

求证：

AD平分∠EAC。

证明一：

延长AE到F,使EF=AE

在三角形ADE和BEF中

在三角形ADC和ABF中

证明2：

取AC中点F,连接DF

∵D是BC的中点∴DF是△ABC的中位线

在三角形ADE和ADF中

3.已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,∠C=45°,BE⊥CD于E，AD=1,

求BE的值。

解：

过D作DF∥AB,交BC于点F

说明2：

延长两腰交于一点，也可求解。

同学们不妨一试。