专题检测卷六专题二第三讲.docx

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专题检测卷六专题二第三讲

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专题检测卷（六）

导数的简单应用

（40分钟）

一、填空题

1.设a为实数,函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数为f′（x）,且f′（x）是偶函数,则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为　　　　　　　.

2.曲线y=x3+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　　　　.

3.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是　　　　.

4.（2013·福建高考改编）设函数f（x）的定义域为R,x0是f（x）的极大值点,以下结论一定正确的是　　　　.

①x∈R,f（x）≤f（x0）

②-x0是f（-x）的极小值点

③-x0是-f（x）的极小值点

④-x0是-f（-x）的极小值点

5.已知存在实数a,满足对任意的实数b,有直线y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线,则实数a的取值范围是　　　　.

6.（2013·江西高考）设函数f（x）在（0,+∞）内可导,且f（ex）=x+ex,则f′

（1）

=　　　　.

7.（2013·启东模拟）已知曲线C:

y=2x2,点A（0,-2）及点B（3,a）,从点A观察点B,要使视线不被C挡住,则实数a的取值范围是　　　　　.

8.若函数f（x）=x2-lnx+1在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1）内不是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　　　.

9.（2013·阳泉模拟）已知函数f（x）=给出如下命题:

①f（x）在[,+∞）上是减函数;

②f（x）的最大值是2;

③函数y=f（x）有两个零点;

④f（x）≤在R上恒成立.

其中正确的命题有　　　　.（把正确的命题序号都填上）

10.（2013·徐州模拟）设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0,y1）处的切线为l1,曲线y=（1-x）e-x在点B（x0,y2）处的切线为l2,若存在x0∈,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是　　　　.

11.（2013·浙江高考改编）已知e为自然对数的底数,设函数f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1,2）,下列结论

①当k=1时,f（x）在x=1处取到极小值;

②当k=1时,f（x）在x=1处取到极大值;

③当k=2时,f（x）在x=1处取到极小值;

④当k=2时,f（x）在x=1处取到极大值.

其中正确的是　　　　.

12.（2013·苏州模拟）等比数列{an}中,a1=1,a2012=9,函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a2012）+2,则曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为　　　　.

二、解答题

13.已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R）.

（1）当a=1时,求f（x）的极小值.

（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线,求a的取值范围.

14.（2013·湛江模拟）已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a.

（1）求f（x）的单调减区间.

（2）若f（x）在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

15.（2013·常州模拟）已知常数a为正实数,在曲线Cn:

y=上一点P（xn,yn）处的切线Ln总经过定点（-a,0）,（n∈N*）.求证:

点列:

P1,P2,…,Pn在同一直线上.

16.（2013·广东高考）设函数f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）当k=1时,求函数f（x）的单调区间.

（2）当k∈时,求函数f（x）在[0,k]上的最大值M.

答案解析

1.【解析】因为f（x）=x3+ax2+（a-3）x,

所以f′（x）=3x2+2ax+（a-3）.

又因为f′（x）为偶函数,所以a=0.

即f（x）=x3-3x.

函数f（x）在原点处切线的斜率k=f′（0）=-3,

所以切线方程为y=-3x.

答案:

y=-3x

2.【解析】y′=f′（x）=x2+1,在点处的切线斜率为k=f′

（1）=2.所以切线方程为y-=2（x-1）,即y=2x-,其与坐标轴的交点坐标为,,所以所求三角形的面积为××|-|=.

答案:

3.【解题提示】求实根个数可转化为求函数图象与x轴的交点个数,求导后,求出极大值和极小值,判断极值的符号来求解.

【解析】设f（x）=x3-6x2+9x-10,

f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）,

由此可知函数的极大值为f

（1）=-6<0,极小值为f（3）=-10<0,

所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.

答案:

1

4.【解析】因为函数-f（-x）与f（x）的图象关于原点对称,（x0,f（x0））是极大值点,那么（-x0,-f（-x0））就是极小值点.

答案:

④

5.【解析】设y=f（x）=x3-3ax,则f′（x）=3x2-3a,又因为y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线,所以3x2-3a=-1无解,即3x2=3a-1<0,所以a<.

答案:

a<

6.【解析】设t=ex,则x=lnt,故f（t）=lnt+t,

f′（t）=+1,所以f′

（1）=1+1=2.

答案:

2

7.【解析】设切点（x0,y0）,则切线为y-y0=4x0（x-x0）,过点A（0,-2）,则有得切点为（1,2）,切线为y-2=4（x-1）,切线与直线x=3的交点为（3,10）,故a<10.

答案:

a<10

8.【解析】函数f（x）的定义域为（0,+∞）,

f′（x）=2x-==,

由f′（x）>0得x>,

由f′（x）<0得0

要使函数在定义域内的一个子区间（k-1,k+1）内不是单调函数,

则有0≤k-1<

解得1≤k<,

即k的取值范围是.

答案:

9.【解析】对于①,当x≥时,f（x）=-x3+2x,

f′（x）=-x2+2=-（x+）（x-）<0,

所以,f（x）在[,+∞）上是减函数,因此①正确;

对于②,因为当x<0时,f（x）=ex+x-1为增函数,因此,f（x）

当x≥0时,f（x）在[0,）上为增函数,在[,+∞）上为减函数,

所以f（x）max=f（）=-+2=,因此②错误;

对于③,因为f（0）=0,所以x=0是f（x）的一个零点,又因f（）·f（3）=×（-3）<0,所以在（,3）上f（x）有一个零点,因此③正确;由②知④正确.

答案:

①③④

10.【解析】设y=f（x）=（ax-1）ex,则f′（x）=aex+（ax-1）ex,所以=（ax0+a-1）,

设y=g（x）=（1-x）e-x=,则g′（x）==,所以=,

又因为l1⊥l2,所以=-1,

即（ax0+a-1）·=-1,

所以（ax0+a-1）（x0-2）=-1,a（1+x0）-1=,

a=,

设3-x0=t,则x0=3-t,

所以a===,

又因为y=-t-+5在取值为,所以1≤a≤.

答案:

1≤a≤

11.【解析】当k=1时,f′（x）=ex（x-1）+ex-1,此时f′

（1）≠0,所以①②错误;当k=2时,f′（x）=ex（x-1）2+（ex-1）（2x-2）,此时f′

（1）=0,在x=1附近左侧,

f′（x）<0,在x=1附近右侧,f′（x）>0,所以x=1是f（x）的极小值点,所以③正确,④错误.

答案:

③

12.【解析】因为等比数列{an}中,a1=1,a2012=9,所以a1a2012=a2a2011=…=a1006a1007=9=32,

且f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a2012）+2,

所以f′（0）=（-a1）（-a2）…（-a2012）=a1a2…a2012=（a1a2012）（a2a2011）…（a1006a1007）

=32·32…32（1006个32相乘）=31006×2=32012,

所以函数f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为:

y-f（0）=32012（x-0）,

即y=32012x+2.

答案:

y=32012x+2

13.【解析】

（1）当a=1时,f′（x）=3x2-3,

令f′（x）=0,得x=-1或x=1.

当x∈（-1,1）时,f′（x）<0,

当x∈（-∞,-1）∪（1,+∞）时,f′（x）>0,

所以f（x）在（-1,1）上单调递减,在（-∞,-1],[1,+∞）上单调递增,

所以f（x）的极小值是f

（1）=-2.

（2）方法一:

f′（x）=3x2-3a,直线x+y+m=0,

即y=-x-m.

依题意,切线斜率k=f′（x）=3x2-3a≠-1,

即3x2-3a+1=0无解.

所以Δ=0-4×3（-3a+1）<0,所以a<.

方法二:

f′（x）=3x2-3a≥-3a,

要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线,当且仅当-1<-3a时成立,所以a<.

【变式备选】（2013·西城模拟）已知函数f（x）=,其中b∈R.

（1）若x=-1是f（x）的一个极值点,求b的值.

（2）求f（x）的单调区间.

【解析】

（1）f′（x）=.

依题意,令f′（-1）=0,得b=1.

经检验,b=1时符合题意.

（2）①当b=0时,f（x）=,

故f（x）的单调减区间为（-∞,0）,（0,+∞）;无单调增区间.

②当b>0时,f′（x）=.

令f′（x）=0,得x1=,x2=-.

列表:

x

（-∞,-）

-

（-,）

（,+∞）

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

↘

↗

↘

故f（x）的单调减区间为（-∞,-）,（,+∞）;

单调增区间为（-,）.

③当b<0时,f（x）的定义域为D={x∈R|x≠±}.

因为f′（x）=<0在D上恒成立,

故f（x）的单调减区间为（-∞,-）,（-,）,（,+∞）;无单调增区间.

14.【解析】

（1）f′（x）=-3x2+6x+9.

令f′（x）<0,解得x<-1或x>3,

所以函数f（x）的单调减区间为（-∞,-1）和（3,+∞）.

（2）因为f（-2）=8+12-18+a=2+a,

f

（2）=-8+12+18+a=22+a,

所以f

（2）>f（-2）.

因为在x∈（-1,3）上f′（x）>0,

所以f（x）在[-1,2]上单调递增.

又由于f（x）在[-2,-1]上单调递减,

因此f

（2）和f（-1）分别是f（x）在区间[-2,2]上的最大值和最小值,

于是有22+a=20,解得a=-2.

故f（x）=-x3+3x2+9x-2,

因此f（-1）=1+3-9-2=-7,

即函数f（x）在区间[-2,2]上的最小值为-7.

【方法总结】利用导数研究函数单调性的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域.

（2）求f′（x）.

（3）解方程f′（x）=0在定义域内的所有实数根.

（4）将函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间.

（5）确定f′（x）在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.

15.【解题提示】Pi在同一直线上有三种情况:

①xi相同;②yi相同;③（i≠j）为常数.

【证明】方法一:

设y=f（x）=,

所以f′（x）=·（nx）′=·,

所以Cn:

y=上一点P（xn,yn）处的切线Ln的斜率kn=f′（xn）=·,

Ln的方程为y-yn=·（x-xn）.

因为Ln经过点（-a,0）,所以yn=-·（-a-xn）=·（a+xn）,

又因为Pn在曲线Cn上,

所以yn==·（a+xn）,

所以xn=a,所以yn=,所以Pn（a,）总在直线x=a上,

即P1,P2,…,Pn